第三章 集合代数

第三章集合代数第1页，共20页，2023年，2月20日，星期三第一节集合的基本概念一、集合的概念与表示[注]：a)集合的两个要素：元素互异；性质确定。b)常见集合：N,Z,Q,R,C;

特殊集合：，E（U）。定义’:具有共同性质的一些事物的全体称为集合。定义:一些不同的确定的对象的全体称为集合。1.集合的基本概念第2页，共20页，2023年，2月20日，星期三2.集合的表示：描述法（性质法）：给出一般元素所具有的性质，如列举法（枚举法）：对有限可列的集合进行表示，如第3页，共20页，2023年，2月20日，星期三a)包含：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作：A⊆B或B⊇A如果A不是B的子集，即在A中至少有一个元素不属于B，称B不包含A，记作：B⊉A或A⊈B3、集合间的关系第4页，共20页，2023年，2月20日，星期三b)相等：如果两个集合A和B的元素完全相同，则称这两个集合相等，记作A＝B。例如：A＝｛1，2，3，4｝B＝｛3，1，4，2｝C＝｛x|x是英文字母且x是元音｝

D＝｛a，e，i，o，u｝显然有A＝B，C＝D第5页，共20页，2023年，2月20日，星期三定义设A是有限集，由A的所有子集作为元素而构成的集合称为A的幂集，记作ρ(A)，即ρ(A)＝｛X|X⊆A｝在A的所有子集中，A和这两个子集又叫平凡子集。4、幂集例如：A＝｛1，2，3｝，则ρ(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}第6页，共20页，2023年，2月20日，星期三5、集合的阶及其应用1）定义：集合A中包含的元素个数称为A的阶（基数、元数），记为。b）若有限，称A为有限集，为无限，称为无限集。【注】：a）是反映集合A“大小”的数字特征。2）定理设A是有限集，|A|=n，则A的幂集ρ(A)的阶为2n。第7页，共20页，2023年，2月20日，星期三包含排斥定理设A、B为有限集合，|A|、|B|为其基数，则|A∪B|＝|A|+|B|-|A∩B|【注】：1）推广：设A，B，C为有限集合，则【注】:对任意集合A,,A∈ρ(A),当A≠时,则|ρ(A)|≥2，当A＝时,|ρ(A)|＝1第8页，共20页，2023年，2月20日，星期三

2）设为n个有限集合，则例1：15名居民中，有12名工人，5名干部，3名既是工人又是干部，求既不是工人又不是干部的居民人数。第9页，共20页，2023年，2月20日，星期三例2：假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？解设A,B分别表示英语成绩和数学成绩是优的学生组成的集合，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是A∩B。由题意可知|A|＝10|B|＝8|A∩B|＝6第10页，共20页，2023年，2月20日，星期三由包含排斥原理可得：|A∪B|＝|A|+|B|-|A∩B|＝10+8-6=12所以两门课都不是优的学生数为：20-|A∪B|＝8。第11页，共20页，2023年，2月20日，星期三1、集合的运算

用文氏图表示集合之间的并运算：

a)

并运算二、集合的运算

第12页，共20页，2023年，2月20日，星期三b)交运算[注]：若，则称A，B是分离的。

用文氏图表示为：第13页，共20页，2023年，2月20日，星期三c)

差运算例：E={1,2,3,a,b,c},A={1,2,a,b},B={2,3,b,c}则A-B={1,a},B-A={3,c}[注](1)差运算不满足交换律。(2)

第14页，共20页，2023年，2月20日，星期三d)补运算AU[注]：用文氏图表示为：第15页，共20页，2023年，2月20日，星期三e)对称差运算用文氏图表示为：第16页，共20页，2023年，2月20日，星期三三、集合恒等式（1）交换律：A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A（2）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)（3）分配律：(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)（4）同一律：A∪＝AA∩U＝A（5）互补律：A∪～A＝UA∩～A＝第17页，共20页，2023年，2月20日，星期三（6）零一律：A∪U＝UA∩＝（7）幂等律：A∪A＝AA∩A＝A（8）吸收律：A∪(A∩B)＝AA∩(A∪B)＝A（9）双重否定律：～(～A)＝A（10）狄·摩根定律：～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B

第18页，共20页，2023年，2月20日，星期三【注】1、对DeMorgan’sLaw的推广。a)b)设为n个集合，则2、对吸收律及,E