北师大版-必修五-第三章 不等式-§3 基本不等式 说课一等奖

《基本不等式》随堂练习一、选择题1．已知f（x）＝x＋eq\f(1,x)－2（x＜0），则f（x）有（）A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：∵x＜0，∴－x＞0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－（－x＋eq\f(1,－x)）－2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，等号成立的条件是－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1．答案：C2．若0＜x＜1，则f（x）＝x（4－3x）取得最大值时，x的值为（）A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)解析：∵0＜x＜1，∴4－3x＞0，∴x（4－3x）＝eq\f(1,3)·3x（4－3x）≤eq\f(1,3)·（eq\f(3x＋4－3x,2)）2＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时取得等号．答案：D3．（2009·重庆高考）已知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是（）A．2B．2eq\r(2)C．4D．5解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)≥eq\f(2,\r(ab))＋2eq\r(ab)≥2eq\r(2×2)＝4．当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4．答案：C4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）对称，则eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值是（）A．4B．6C．8D．9解析：由圆的对称性可得，直线2ax－by＋2＝0必过圆心（－1,2），所以a＋b＝1．所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(4(a＋b),a)＋eq\f(a＋b,b)＝eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)＋5≥2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＋5＝9，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时取等号．答案：D5．设M是△ABC内一点，且△ABC的面积为1，定义f（M）＝（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）＝（eq\f(1,2)，x，y），则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是（）A．8B．9C．16D．18解析：由△ABC的面积为△MBC，△MCA，△MAB的面积之和，所以eq\f(1,2)＋x＋y＝1，即x＋y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝（eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)）（2x＋2y）＝10＋eq\f(8x,y)＋eq\f(2y,x)≥18．当且仅当eq\f(8x,y)＝eq\f(2y,x)，即y＝2x时，即x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)时取等号．答案：D6．（2010·惠州模拟）某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0<t≤30）的关系大致满足f（t）＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为eq\f(f(10),10)）的月饼最少为（）A．18B．27C．20D．16解析：平均销售量y＝eq\f(f(t),t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18．当且仅当t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈[1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18．答案：A二、填空题7．（2010·南京模拟）若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．解析：∵logmn＝－1，∴m－1＝n，∴mn＝1，∵n＞0，m＞0且m≠1，∴3n＋m≥2eq\r(3mn)＝2eq\r(3)．答案：2eq\r(3)8．函数y＝eq\f(x2,x4＋9)（x≠0）的最大值为________，此时x的值为________．解析：y＝eq\f(x2,x4＋9)＝eq\f(1,x2＋\f(9,x2))≤eq\f(1,2\r(9))＝eq\f(1,6)，当且仅当x2＝eq\f(9,x2)，即x＝±eq\r(3)时取等号．答案：eq\f(1,6)±eq\r(3)9．当a＞0，a≠1时，函数f（x）＝loga（x－1）＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________解析：A（2,1），故2m＋n＝1∴4m＋2n≥2eq\r(4m·2n)＝2eq\r(22m＋n)＝2eq\r(2)．当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝eq\f(1,2)，m＝eq\f(1,4)时取等号．∴4m＋2n的最小值为2eq\r(2)．答案：2eq\r(2)三、解答题10．（1）求函数y＝x（a－2x）（x＞0，a为大于2x的常数）的最大值；（2）设x＞－1，求函数y＝eq\f((x＋5)(x＋2),x＋1)的最值．解：（1）∵x＞0，a＞2x，∴y＝x（a－2x）＝eq\f(1,2)×2x（a－2x）≤eq\f(1,2)×[eq\f(2x＋(a－2x),2)]2＝eq\f(a2,8)，当且仅当x＝eq\f(a,4)时取等号，故函数的最大值为eq\f(a2,8)．（2）∵x＞－1，∴x＋1＞0，设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，∴y＝eq\f((z＋4)(z＋1),z)＝eq\f(z2＋5z＋4,z)＝z＋eq\f(4,z)＋5≥2eq\r(z·\f(4,z))＋5＝9，当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号，∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．11．已知：a，b是正常数，x，y∈R*，且a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．解：∵x＋y＝（x＋y）（eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)）＝a＋b＋eq\f(bx,y)＋eq\f(ay,x)≥a＋b＋2eq\r(ab)当且仅当bx2＝ay2时等号成立．∴x＋y的最小值为a＋b＋2eq\r(ab)＝18又a＋b＝10．①∴2eq\r(ab)＝8，∴ab＝16．②由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积x为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为eq\f(162,x)米．则总造价f（x）＝400×（2x＋eq\f(2×162,x)）＋248×2x＋80×162＝1296x＋eq\f(1296×100,x)＋12960＝1296（x＋eq\f(100,x)）＋12960≥1296×2eq\r(x·\f(100,x))＋12960＝38880（元），当且仅当x＝eq\f(100,x)（x＞0），即x＝10时取等号．∴当长为16．2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为（2）由限制条件知设g（x）＝x＋eq\f(100,x)（10eq\f(1,8)≤x≤16），由函数性质易知g