空间点线面间的位置关系教案

.空间点、直线、平面之间的地址关系考情解析1．本讲以观察点、线、面的地址关系为主，同时观察逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时观察应用公义、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公义、定理和已获得的结论证明一些空间图形的地址关系的简单命题．基础知识1．平面的基本性质(1)公义1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公义2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公义3：若是两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的会集是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条订交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的地址关系(1)地址关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：...3．直线与平面的地址关系有平行、订交、在平面内三种情况．4．平面与平面的地址关系有平行、订交两种情况．5．平行公义：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中若是两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意事项1异面直线的判断方法：(1)判判定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可以能平行、订交或证明两线不可以能共面，从而可得两线异面．(1)公义1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公义2的作用：公义2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公义3的作用：①判断两平面订交；②作两平面订交的交线；③证明多点共线．题型一平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析..以下列图，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案D【变式1】以下以下列图是正方体和正周围体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所..示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③题型二异面直线【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都订交B．只能与a，b中的一条订交C．最少与a，b中的一条订交D．与a，b都平行解析：若c与a、b都不订交，则c与、都平行．依照公义4，则∥.与、b异面ababa矛盾．答案：C【训练2】在以下列图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有填(上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH与MN异面．因此图(2)、(4)中GH与MN异面．..答案(2)(4)题型三异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的地址，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为．解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，因此A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解..如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，因此订交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四点共线、点共面、线共点的证明【例4】?正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B...E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，CE与D1F必订交，设交点为P，则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理∈平面11.ADDAP又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．【变式4】以下列图，已知空间四边形ABCD中，、H分别是边AB、EAD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明∵E、H分别为边AB、AD的中点，EH綉BD，而＝＝，＝，且FG∥BD.四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必订交于一点P...P∈直线EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．【例5】l1，l2，l3是空间三条不同样的直线，则以下命题正确的选项是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3123123共面C．l∥l∥l?l，l，lD．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面解析在空间中，垂直于同素来线的两条直线不用然平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；互相平行的三条直线不用然共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不用然共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案B牢固提高1．设A、B、C、D是空间四个不同样的点，在以下命题中，不正确的选项是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共..面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不用然等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C2．已知a、b、c、d是空间四条直线，若是a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )A．a∥b且c∥dB．a、b、c、d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a?β且b?β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，因此c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C3．对两条不订交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a?α，b?αB．a?α，b∥αC．⊥α，⊥αD．?α，⊥αabab解析：不订交的直线a，b的地址有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、；又只有当a⊥b时，D才可能成立．C答案：B..4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的地址关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD订交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD订交解：若三条线段共面，若是AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD订交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，应选D.答案：D5．a，