一元二次函数总结

-.z.一元二次函数的图象定义：一般地，如果是常数，，则叫做的一元二次函数.其中，*是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。二、一元二次函数y＝a*²＋b*＋c﹙a≠0﹚的图象(其中a,b,c均为常数)当a＞0时函数图象开口向上；对称轴为*＝﹣2a／b，有最小值且为﹙4ac－b²﹚／4a；当*∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递减；当*∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递增；当a＜0时函数图象开口向下；对称轴为*＝﹣2a／b，有最大值且为﹙4ac－b²﹚／4a；当*∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增；当*∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递减；△＝b²－4ac当△＞0时，函数图象与*轴有两个交点；当△＝0时，函数图象与*轴只有一个交点；当△＜0时，函数图象与*轴没有交点。(如下图所示)三、抛物线中，的作用决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.例1：画出的图象归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。例2：画出二次函数，的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与*轴垂直的直线，记为*=-1，顶点是（-1,0）；抛物线的开口向下，对称轴是*=1，顶点是（1,0）。例3：画出函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线？抛物线的开口方向向下、对称轴是*=-1，顶点是（-1，-1）。把抛物线向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线。归纳：一般地，抛物线与形状相同，位置不同。把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。抛物线有如下特点：当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下；对称轴是直线*=h；顶点坐标是（h，k）例4：画出的图象归纳：一般地，可以用配方法求抛物线的顶点与对称轴因此，抛物线的对称轴是，顶点坐标是的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.（2）a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|*1-*2|=,与y轴交点为(0,c)b2-4ac>0，a*2+b*+c=0有两个不相等的实根b2-4ac<0，a*2+b*+c=0无实根b2-4ac=0，a*2+b*+c=0有两个相等的实根四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件若*＜y＜m﹙m为*轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0┣﹣2a／b＜m┗f(m)＞0若m＜*＜y﹙m为*轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0┣﹣2a／b＞m┗f(m)＞0若*＜m＜y﹙m为*轴上的一点﹚，则需满足：若*,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为*轴上的一点﹚，则需满足：┏△＞0┣m＜﹣2a／b＜n┗f(m)＞0,f(n)＞0若m＜*＜n＜y＜p﹙m,n,p为*轴上的一点﹚，则需满足：┏f(m)＞0┣f(n)＜0┗f(p)＞0若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为*轴上的一点﹚，则需满足：┏△＝0┗m＜﹣2a／b＜n或f(m)·f(n﹚＜0┏f(m)＝0或┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2┏f(n)＝0或┗﹙n＋m﹚／2＜﹣2a／b＜n五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0,)(,0)(,)()六、二次函数图像的变换规律：抛物线y=a(*-h)2+k的图像，可以由y=a*2得图像移动而得到。y=a*2（a＞0）的图像.y=-a*2（a＞0）的图像当h＜0时，向左平移QUOTE个单位长度，当h＞0时，向右平移QUOTE个单位长度y=a（*-h）2的图像当k＞0时，向上平移QUOTE个单位长度当k＜0时，向下平移QUOTE个单位长度y=a（*-h）2-k的图像写成一般形式y=a*2+b*+c的图像规律：在原有函数基础上“h值正右移，负左移，k值正上移，负下移”七、直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）轴与抛物线得交点为()与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：程组有两组不同的解时与有两个交点;程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为由于、是方程的两个根，故由韦达定理知：八、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根。例5：观察函数的图象与*轴的交点，得出一元二次方程的根。可以看出：抛物线与*轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当*去公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程的根是-2,1.抛物线与*轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当*=3时，函数值是0.由此得出方程有两个相等的实数根3。抛物线与*轴没有公共点，可知，方程没有实根。归纳：一般地，从二次函数的图象可知，如果抛物线与*轴有公共点，公共点的横坐标时，则当及时方程的一个根。二次函数的图象与*轴的位置关系有三种：没有公共点（），有一个公共点()，有两个公共点()。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根()，有两个不相等的实数根()。九、