2023年广东顺德华侨中学数学高二第二学期期末经典试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为A． B． C． D．2．已知，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．3．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（）A． B． C． D．5．设命题：，；命题：若，则，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．6．对于函数，有下列结论：①在上单调递增，在上单调递减；②在上单调递减，在上单调递增；③的图象关于直线对称；④的图象关于点对称．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④7．函数(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)8．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有()A．140种 B．84种 C．70种 D．35种9．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．10．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．3011．已知复数是纯虚数是虚数单位)，则实数等于（）A．-2 B．2 C． D．12．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足，且当时，，则__________．14．若曲线在矩阵对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为____.15．已知两直线的方向向量分别为，，若两直线平行，则________．16．在的展开式中，的系数为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知四棱锥的底面是菱形，且，，，O为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求点B到平面的距离.18．（12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．20．（12分）已知函数，.(1)解不等式；(2)若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知，:,:．（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围22．（10分）在中,角所对的边分别为且.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】∵函数，∴函数的最小值为故选B2、C【解析】

考虑到中不等号方向，先研究C，D中是否有一个正确。构造函数是增函数，可得当时，有,所以作差，，对可分类，和【详解】令，显然单调递增，所以当时，有,所以另一方面因为所以，当时，，当时，（由递增可得），∴，C正确。故选：C。【点睛】本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，说明不等式不成立，从而排除此选项，一直到只剩下一个正确选项为止。象本题中有两个选项结论几乎相反（或就是相反结论时），可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。如果这两个都为假，再考虑两个选项。3、D【解析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D。点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解。4、A【解析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.【详解】在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：恰有1件次品包含的基本事件个数为在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为故选：A【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.5、D【解析】分析：先判断命题的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得结论.详解：因为成立，所以，不存在，，故命题为假命题，为真命题；当时，成立，但不成立，故命题为假命题，为真命题；故命题均为假命题，命题为真命题，故选D.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查不等式的性质以及特称命题的定义，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.6、C【解析】

将原函数的导数求出来，分析其符号即可得出原函数的单调性，又，故函数的图象关于直线对称【详解】由得令得当时，，原函数为增函数当时，，原函数为减函数，故②正确因为所以函数的图象关于直线对称，故③正确故选：C【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及函数的对称性，属于中档题.7、B【解析】

根据零点存在性定理，即可判断出结果.【详解】因为，所以，，，所以，由零点存在定理可得：区间内必有零点.故选B【点睛】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.8、C【解析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有种；快译通1台和录音机2台，取法有种，根据分类计数原理知共有种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.9、C【解析】

根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故答案为C【点睛】本题主要考查正弦定理和线面位置关系，考查了几何体外接球的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键求外接球的半径．10、A【解析】

本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，故选A．【点睛】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．11、C【解析】

化简复数，根据复数为纯虚数得到答案.【详解】知复数是纯虚数且故答案选C【点睛】本题考查了复数计算，属于简单题.12、D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x∈R,满足f(x+1)+f(x)=0，∴f(x+1)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：14、.【解析】

在曲线上任取一点，得出，由变换得出，代入方程可得出椭圆方程，由此可计算出椭圆的离心率.【详解】在曲线上任取一点，得出，①设点经过变换后对应的点的坐标为，由题意可得，则有，即，代入②式得，则，，，因此，椭圆的离心率为，故答案为.【点睛】本题考查坐标变换，考查相关点法求轨迹方程，同时也考查了椭圆离心率的求解，解题的关键就是利用相关点法求出轨迹方程，考查运算求解能力，属于中等题.15、【解析】

根据题意可得出，从而得出m1﹣4＝0，解出m即可．【详解】∵；∴m1﹣4＝0；∴m＝±1．故答案为±1．【点睛】考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系．16、【解析】

由题意，二项式展开式的通项为，令，即可求解．【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，即，可得，即展开式中的系数为40.【点睛】本题主要考查了二项式展开式中项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)连结,推导出,由此能证明平面.(2)利用等体积法求距离即可.【详解】(1)证明:连结,四棱锥的底面是菱形,且，,,O为AB的中点...平面.(2)在中,,则,,.故点B到平面的距离.【点睛】本题考查线面垂直的判断定理,考查等体积法求点到面的距离,难度一般.18、(1).(2)采取方案二最好，理由见解析.【解析】

（1）设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，由题意可知，据此计算可得满足题意的概率值为.（2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【详解】（1）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（2）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（1）；（2）【解析】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20、（1）；（2）[-3,1].【解析】试题分析:（1）由，得，去掉绝对值写出不等式的解集;(2)对任意，都有，使得成立,则的值域为值域的子集,分别求出函数值域,建立不等式解出a的范围即可.试题解析:（1）由，得，解得或.故不等式的解集为.（2）因为对任意，都有，使得成立，所以.又因为，.所以，解得，所以实数的取值范围为.21、（I）（Ⅱ）【解析】试题分析：（1），是的充分条件，是的子集，所以；（2）由题意可知一真一假，当时，，分别求出真假、假真时的取值范围，最后去并集就可以．试题解析：（1），∵是的充分条件，∴是的子集，，∴的取值范围是．（2）由题意可知一真一假，当时，，真假时，由；