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复习参考题(第110页)A组1.图略,共有n(n-1)+1(n∈)个圆圈.2.(n∈).3.因为(2)=(1)2=4,所以(1)=2,(3)=(2)(1)=8,(4)=(3)(1)=16……猜想(n)=2n.4.运算的结果总等于1.5.设0是四面体ABCD内任意一点,连结AO,BO,CO,D0并延长交对面于则=1.用“体积法”’证明:=1.6.证明:要证(1+tanA)(1+tanB)=2.只需证1+tanA+tanB+tanAtanB=2.即证tanA+tanB=1-tanAtanB.①另一方面,由A+B=,得tan(A+B)=1.又因为A,B≠,所以=1,变形即得①式.所以,命题得证.7.证明:(1)当n=1时,左边=-1,右边=(-1)1×1=-1,因此,左边=右边.所以,当n=1时等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk.那么,-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1[2(k+1)-1]=(-1)kk+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(-k+2k+1)=(-1)k+1(k+1).所以,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈都成立.B组1.可以发现:前n个质数的积加上1,所得的和仍然是一个质数.假设质数的个数是有限的.不妨设一共有n个质数,则由上述规律可知,前n个质数的积加上1,所得的和仍然是一个质数,而且与前n个质数都不相等.放与假设矛盾.因此,质数的个数是无限的.2.(1)25条线段,16部分(2)n2条线段.(3)最多将圆分割成n(n+1)+l部分.下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=l结论成立.②假设n=k时结论成立,即:k条线段,两两相交,最多将圆分剖成k(k+1)+1部分.当n=k+l时,其中的k条线段两两相交,最多将圆分割成k(k+1)+1部分,第k+l条线段与线段都相交,最多增加k+1个部分,因此,k+1条线段,两两相交,最多将圆分割成k(k+1)+l+(k+1)=(k+1)(k+2)+1部分.所以,当n=k+1时结论成立.根据①②可知,结论对任何n∈都成立.3.证明:要证cos4-cos4a=3.因为cos4-4cos4a=cos(2×2)-4cos(2×2a)=1-2sin22-4(1-2sia22a)=1-8sin2cos2-4(1-8sin2acos2a)=l-8sin2(1-sin2)-4[1-8sin2a(1-sin2a)],只需证1-8sin2(l-sin2)-4[1-8sin2a(1-sin2a)]=3.由已知条件得sina=,sin2=sincos.代入上式的右端得l-8sin2(1-sin2)-4[l-8sin2a(1-sin22a)]=-3-8sincos(1-sincos+32sin2a(1-sin2a)=-3-8sincos+8sin2cos2+2(1+2sincos)(3-
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