电磁场与电磁波第一章

电磁场与电磁波第一章第1页，共22页，2023年，2月20日，星期二1.1矢量及其矢量场1.矢量的表示方法a矢量的概念b矢量的特点两个变量确定：大小，方向c矢量的表示方法几何表示：代数表示：单位矢量（表示矢量的方向）（模为1，可以在空间中指向任意方向）直角坐标系：表示三个坐标轴方向的单位矢量xyz第2页，共22页，2023年，2月20日，星期二2.矢量的代数运算法a.加减法：法则和规律平行四边形法则：三角形法则：b.标积：满足乘法交换律：第3页，共22页，2023年，2月20日，星期二c.矢积的方向：满足右手法则例如：xyz矢积满足反交换律：第4页，共22页，2023年，2月20日，星期二d.混合积（三个矢量乘积）混合积中既有矢积（叉积）又用标积（点积），最后结果是标量！混合积要用到矢积（叉积）和标积（点积）的运算规则（1）几何意义：满足：第5页，共22页，2023年，2月20日，星期二（2）最后结果为矢量3.标量场与矢量场温度场电场，流速场，重力场时变场如：静态场如：场在空间的分布形式取决于：场源和周围物质环境第6页，共22页，2023年，2月20日，星期二1.直角坐标系2.圆柱坐标系3.圆球坐标系1．2三种常见坐标系中的矢量场场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量，不随空间的变化而变化；圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量。第7页，共22页，2023年，2月20日，星期二一：位置矢量（位矢）op位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。有向线段可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与参考点选择有关，与坐标系选择无关。二：正交坐标系1：直角坐标系单位矢量：（常矢量）xyzp(x,y,z)矢量场在p点对应矢量分别在本地三个坐标轴上的投影值—物理量投影分量。即：第8页，共22页，2023年，2月20日，星期二2：圆柱坐标系单位矢量：（不都是常矢量）坐标变量：p点到z轴的距离过p点和z轴的平面与XZ平面的夹角p点在Z轴上的投影值第9页，共22页，2023年，2月20日，星期二单位矢量：与之间的关系：O圆柱坐标系三个单位矢量不全是常矢量矢量场在同一空间位置点上圆柱坐标系中坐标分量与直角坐标系中坐标分量的关系（p6）第10页，共22页，2023年，2月20日，星期二3：圆球坐标系坐标变量：p点到坐标原点的距离，即p点所在位置矢量的长度p点位矢与Z轴的夹角过p点和Z轴平面与XZ平面的夹角第11页，共22页，2023年，2月20日，星期二单位矢量：（都不是常矢量）O与之间的关系：矢量场在同一空间位置点上圆球坐标系中分量与直角坐标系中分量的关系（p12）三种坐标系下坐标变换及坐标分量变换（p250）第12页，共22页，2023年，2月20日，星期二1.3梯度变矢量一元变矢如：矢性函数多元变矢也可以类似于多元函数进行微积分运算。但在直角坐标系下最为简便。场论标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度第13页，共22页，2023年，2月20日，星期二

1．梯度的定义

等值面：标量场中量值相等的点构成的面。方向导数表示标量场为一任意给定的方向为该方向上的单位矢量即求：的最大值——标量场沿哪个方向（）变化最为剧烈？标量场在p点沿方向的方向导数，大小与方向与有关。直角坐标系下：

可知：沿等值面法线

的方向导数最大。第14页，共22页，2023年，2月20日，星期二即有：且沿其方向，有最大值梯度：2.圆柱坐标系和圆球坐标系下的标量场梯度3.梯度运算法则▽C=0▽(CΦ)=C▽Φ▽(Φ+Ψ)=▽Φ+▽Ψ▽(ΦΨ)=Ψ▽Φ+Φ▽Ψ▽(Φ/Ψ)=(Ψ▽Φ-Φ▽Ψ)/Ψ²▽F(Φ)=F’(Φ)▽Φ

第15页，共22页，2023年，2月20日，星期二1.4矢量场的散度矢量场的通量一、通量若S为闭合曲面

定义矢量A

沿有向曲面S的面积分为矢量A

穿过有向曲面S的通量二、散度直角坐标系中散度的计算公式如果包围点P的闭合面S

所围区域

以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场在P点的散度。即第16页，共22页，2023年，2月20日，星期二拉普拉斯算符三、散度的物理意义

散度代表矢量场的通量源的分布特性。

矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。散度的在不同坐标系下的表示第17页，共22页，2023年，2月20日，星期二•A

=

0(无源）在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。•

A

=0(负源)

=0(正源)六、高斯定理(散度定理)式中S为

的外表面该公式表明了区域

中场与边界S上的场

之间的关系。第18页，共22页，2023年，2月20日，星期二1.5

矢量场的环量旋度一、环量定义矢量场A沿空间有向闭合曲线C的积分为A的环量二、旋度1.环量强度

过点P

作一微小曲面S,它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋关系。当S

收缩至P点附近时,存在极限环流的计算

该极限值与S

的形状无关，但与S的方向n有关。称为矢量场A在P

点沿n方向的环量强度2.旋度旋度是一个矢量，模值等于环量强度的最大值；方向为最大环量强度的方向。用表示它与环流强度的关系为第19页，共22页，2023年，2月20日，星期二举例第20页，共22页，2023年，2月20日，星期二在直角坐标系下三、旋度的物理意义

矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。