人教课标实验B版-必修4-第三章三角恒等变换-3.1和角公式-3.2.3两角和与差的正切

两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差的正弦及正切·教案

教学目标知识与技能：使学生掌握两角和与差的正弦公式及两角和与差的正切公式，并会应用这些公式解决一些有关三角函数的求值问题．情感态度与价值观：在公式的推导过程中使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表达方式．教学重点与难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的正弦公式及两角和与差的正切公式．学生学了公式以后往往是记住了公式的主体而忽略了公式成立的条件．难点是使学生对公式成立的条件有较深刻的印象，并且在应用公式的时候时刻注意公式成立的条件．在解决一个数学问题时，要会把这一数学问题适当的转化，有时要求进行等价转化，有时转化不要求必须是等价的，这要看具体问题而定．化归与转化的思想是数学中的重要思想．在化归与转化、函数与方程、数形结合、分类讨论这四个重要的数学思想中，化归与转化的思想是首当其冲的占第一位的重要的数学思想，在教学中要给以充分的重视．教学过程设计师：我们先把上节课的内容复习一下，然后作一个小结．请同学们回答下面公式的右端是什么？（教师板书公式左端如下）cos（α+β）＝cos（α-β）＝（学生回答后教师小结，再提下面问题．）师：请同学们回答出下面几个诱导公式的右端．（教师板书公式左端如下）（学生回答后再提下面问题．）师：大家能证明下面一组共4个诱导公式吗？怎样证明？（教师板书下面4个诱导公式，然后请同学说出证明过程．）（通过学生的回答，教师进一步强调后两个公式各自成立的条件，为π-a而得到．）师：大家还能证明下面一组共4个诱导公式吗？怎样证明？（教师板书下面4个诱导公式，然后请同学说出证明过程．）生：……（略）α）＝-tanα不是对于任意的α都成立，而是各自对于使两边都有意义的α方能成立．）首先大家注意一下公式两端三角函数名称有什么规律？生：这16个诱导公式中的每一个都是两端正弦与余弦互换了，正切与余切互换了．师：答得很好．那么这16个公式只要再记住什么时候等式右端有“-”号，什么时候没有“-”号，也就是什么时候右端是“＋”号就可以了．关于“±”号的问题，我们想什么办法记住呢？（在教师的引导下指出：既然公式对于使式子有意义的一切α均成所在的象限，从而也容易判断它们的各三角函数值的正、负．α是锐角的各三角函数值如果是正的则公式右端取“＋”号，如果是负的则公式右端取“-”号．由于公式对于使式子有意义的一切α均成立，那么α不是锐角时公式亦成立．）师：请大家利用诱导公式说出下面等式的右端．sin（270°+100°）＝（这时，可能有学生说右端应当是-cos100°，也有学生可能说右端应当是cos100°．）师：如果写成sin（270°＋100°）＝cos100°，那么怎么想的呢？生：……（可能会回答：因为270°＋100°=370°，这个角在第一象限，故其正弦值应为正，所以等式右端取“＋”号．）师：请同学们仔细看一下，是不是正是因为取了“＋”号而等式反面不成立了呢？sin370°的值是正的，而cos100°的值是负的，它们怎么能够相等呢！这就是弄巧成拙了！等式两端的值的正负是要一致的，右端恰恰是添上一个“-”号才使-cos100°的值成为正的．因此，请同学们切记：考虑公式右端是写“＋”号还是写“-”号时，是把α当成锐角去考虑的，考虑好了之后，如α不是锐角时你方才考虑的结果也不能改变．因此，在考虑符号时，α不是锐角时也要把它当成锐角来考虑！这一点务必请同学们牢记．师：请同学们计算cos15°，cos75°，sin15°，sin75°的值．（同学们计算之后，教师指出这几个三角函数的值也是特殊角的三角函数值，请同学们像记30°，45°，60°的三角函数值那样把它们也记住．可结合0°～90°范围内三角函数的增减性来记忆．还要结合了cos75°的值．注意到函数的增减性，则sin15°，sin30°，sin45°，师：刚才我们复习了Cα±β两个公式及由它们推出的十六个诱导公式，同学们自然会想：用α与β的三角函数去表示sin（α+β）与sin（α-β）应是怎样的呢？下面我们就来研究一下这个问题．我们能不能继续扩大战果，利用Cα±β这个公式解决公式Sα±β的推导问题？因此要考虑sin（α+β）=cos（？）师：我们的目标是用α与β的三角函数表示sin（α+β）．因此在（接下来，很自然地会得出下面推导过程．）＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．师：这公式对于怎样的α及β成立？生：对于任意α，β∈R公式都成立．师：请同学们推导公式Sα-β．生：只要把公式Sα+β中的β换成-β则有sin（α-β）=sinα·cos（-β）＋cosα·sin（-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ．师：请同学们总结公式中三角函数名称上与符号上的特征，然后牢记这两个公式．每个同学可根据各自的记忆习惯采取不同的记忆方法．下面是一种记忆方法，供参考．sin（α±β）→“赛抠”±“抠赛”，cos（α±β）→“抠抠”“赛赛”．这好像是英文单词缩写，只写字头，但汉字化了．师：我们知道了怎样用α与β的弦函数表示α±β的弦函数，下面应再考虑什么公式呢？生：用α与β的切函数表示α±β的切函数．（在教师的指导下，学生不难得出下面的推导过程．）tanα＋β）（怎样用弦函数表示切函数？）师：我们把这一公式简记为Tα＋β，那么怎样推导公式Tα-β呢？生：把公式Tα＋β中的β换成-β则可得公式Tα-β．师：回答的很好．再请大家考虑，这两个公式是不是对于任意的α与β都成立呢？由公式推导过程一步步地看．首先，在什么条件下才可师：这时分母会不会是零呢？生：在刚才的条件下已保证了cos（α＋β）≠0，这一步的推导不需再有其它条件限制．（k∈Z）．师：这样，我们得到的公式是师：还用不用附加上一个条件：tanα·tanβ≠1呢？（学生可能考虑不清，有的学生可能说应当附加上这个条件．）师：不必附加tanα·tanβ≠1这一条件．因为在tan（α＋β）存在时一定是cos（α＋β）≠0，即cosαcosβ-sinαsinβ≠0时，即1-tanαtanβ≠0，因此，不必附加条件tanαtanβ≠1．同样地，我们可以知道公式师：请同学们判断下面哪些式子可以利用两角和或差的正切公式，哪些式子不能用．tan（75°+15°），tan（90°-15°），tan（0°＋0°）．生：……（略）师：tan（75°＋15°）不能，因为它无意义；tan（90°-15°）不能针对90°与15°用两角差的正切公式，但可将其改写为tan（90°-15°）＝tan（45°＋30°）再用两角和的正切公式，也可用诱导公式得tan（90°-15°）=cot15°；tan（0°+0°）可以用两角和的正切公式．师：下面通过几个例题看一下公式的应用．例1

不查表，求tan15°，tan75°，cot15°，cot75°的值．（过程略．15°与75°的三角函数值要作为特殊角三角函数值记住．）例2解例3

不查表，求下列各式的值：（1）sin13°cos17°＋cos13°sin17°；（2）sin70°cos25°-sin20°sin25°．解

（1）sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin（13°＋（2）sIn70°cos25°-sin20°sin25°=cos20°cos25°-sin20°sin25°例4（过程略．）例5

不查表，求下列各式的值：解

（1）（过程略．）师：在三角函数的有关习题中，1有时有巧妙的应用，如1=tan45°，1=cot45°，1=sin2α＋cos2α，1＝tanα·cotα，1＝sinα·cscα，1＝sec2α-tan2α等，要引起同学们的注意．例6

不查表求tan22°＋tan23°＋tan22°·tan23°的值．师：公式可灵活运用，灵活运用有怎样的形式呢？生：从左往右正着用，或从右往左倒着用．师：还有别的应用方式吗？如变形后再用．生：tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1-tanαtanβ）．因此可得如下解法．解tan22°＋tan23°＋tan22°·tan23°＝tan（22°＋23°）（1-tan22°tan23°）＋tan22°tan23°=tan45°（1-tan22°tan23°）＋tan22°tan23°）=1-tan22°tan23°+tan22°tan23°=1．师：今天我们学习了公式Sα±β，Tα±β．要求大家不但要记住这几个公式还要知道它们是怎么推导出来的．对于公式Tα±β要注意公式成立的条件，公式成立的条件不要死记硬背，其成立的条件是自然而然地产生于公式的推导过程之中的．例7

在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1，则△ABC

[

]A．是钝角三角形B．是锐角三角形C．是直角三角形D．形状不能确定解

△ABC中若有tanA·tanB＞0，则可知tanA与tanB均为正不会均为负，否则A与B就都是钝角了．因此，A与B均为锐角．又由因此C为钝角．所以，△ABC是C为钝角的钝角三角形，故选A．师：下面我们布置作业．先复习一下今天这几个公式，注意公式的推导过程及公式Tα±β成立的条件．笔答作业；课本P210第2，3，4题；P213习题十五第1，4，6题．课堂教学设计说明本节中公式Sα±β与Tα±β的推导是比较容易的，得到公式以后要求学生记住，并通过一定数量的练习之后，达到能灵活或较灵活地应用也不是很困难的．困难的是使学生能自觉地注意公式Tα±β成立的条件，且在解题过程中不出错．不只这两个公式，在其它公式中也存在着要注意公式成立条件的问题．不少情况下都是公式中表示变量的字母取任意值时公式都成立，因此，公式成立的条件这一问题往往并未引起多数人的重视．为了能引起学生对这一问题的重视，我们不妨强调，在