人教课标实验B版-必修4-基本初等函-任意角的三角函数-三角函数的定义全国获奖

任意角的三角函数·知识点剖析·概念篇

1．任意角的三角函数设α是一个任意大小的角。角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是，，，，，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。在角的终边上的位置无关，只同角的大小有关；②sinα不是sin与α的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，实质就是“f（x）”。其它五个三角函数记号也一样。任意角的三角函数定义是本章的最重要、最基本的概念，在后续的学习中将有广泛的应用。它是采用坐标方法定义的。2．三角函数的定义域确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键。需要注意当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零。由此可启发我们得出定义域。对函数，的定义域还可写成对函数，的定义域还可写成3．三角函数值的符号各三角函数值在每个象限的符号。4．同角三角函数的基本关系式（1）关系式：（2）这些关系式都是恒等式；都是对于使它们有意义的那些角而言的。以后所说的恒等式都是指这个意义下的恒等式。（3）sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α的平方的正弦，两者是迥然不同的。tan（-100°）·cot（-100°）=1，而sin2α+cos2β=1就不一定成立。（5）同角函数的八个关系式，实质告诉我们六个同角三角函数值中，“可知一求五”。要求学生牢固掌握，并能灵活运用每一个关系式，此外还要能灵活写出公式的某些变形。5．诱导公式（1）一共九组，每组四个，共三十六个。公式一：sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα。tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα。（k∈Z）公式二：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=cosα。tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotgα。公式三：sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα。tan（-α）=-tanα，cot（-α）=-cotα。公式四：sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα。tan（π-α）=-tanα，cot（π-α）=-cotα。公式五：sin（2π-α）=-sinα，cos（2π-α）=cosα，tan（2π-α）=-tanα，cot（2π-α）=-cotα。当k为偶数时，得角α的同名函数值；当k为奇数时，得角α相应的余函数值；然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。（3）诱导公式的主要作用就是求任意角的三角函数值。一般可按下面的步骤进行：6．已知三角函数值求角（1）已知角α的一个三角函数值求角α，应注意所得的解不是惟一的，而是有无数多个。（2）解法步骤是①决定角α所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角α1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角α；③根据角α所在的象限，得出0～2π间的角——如果适合已知条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果在第三或第四象限，则它是π+α1或