2020高考数学数列专题

数列专题一.解答题(共8小题).已知数列的前n项和为Sn,a1=3,、+i=什N*).(1)求a2,a3；%%，(2)求实数人使I”歹｝为等差数列，并由此求出an与Sn..在等比数列｛an｝中，公比qE(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列｛an｝的通项公式；、r w,.r 工〒、r iSLSt SflEar(2)设bn=log2an，数歹lj｛bn｝的前n项和为Sn，当丁?不+3\丁取最大值时，的值.第1页(共9页)

成等比数列..已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,公差dW0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(I)求数列U｛an｝的通项公式；? 1(II)设一,一，数歹U｛bn｝的前n项和为Tn，求证：Tn<-^.十1 3.已知数歹也a”｝的前n项和为Sn，且％=3,%=^^^>2).(1)求数列｛an｝的通项公式；1(2)当匕口二1□gman*时，求数歹1」｛代一｝的前n项和Tn.T bnbr±l第2页(共9页).已知数列｛a｝的前n项和为S.，且S「晟n2得n-I.(1)求数列｛册｝的通项公式；(2)若bn=an・2n，求数列｛bn｝的前n项和Tn..已知等比数列U｛an｝的前n项和为Sn，满足%二3%,力二15,nEN*(1)求数列｛an｝的通项公式及Sn(2)设数列｛3-］的前n项和为Tn，若M，求正整数n的取值范围%十1第3页(共9页).已知正项数列｛册｝的前n项和Sn满足2Sn=a%an-2.(I)求数列｛an｝的通项公式;(II)若bn1f(n@*),求数歹U｛bn｝的前n项和Tn..已知数歹U｛an｝中，ai=2,an-a11_2=4n(ngN*,n>2).(1)求数列｛an｝的通项公式：(2)设"二2；7,求数列｛bn｝的通项公式及其前n项和Tn.第4页(共9页)参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)1.已知数列的前n项和为Sn,a1=3,1+1二2%+2什l-l(nEN*).(1)求a2，a3；(2)求实数人使｛3一｝为等差数列，并由此求出an与Sn.【解答】解：(I)：a1=3, = 同*).a2=2a1+22-1=9.a3=2X9+23-1=25.(2)若存在实数人使f解得：入=-1.••首项为：号=1,第二项为：号~=2•・公差为1.」―• —1+n-1—n.2n•an=n,2n+1.Sn=n+2+2X22+3X23+……+n・2n.令Tn=2+2X22+3X23+……+n・2n.2Tn=22+2X23+……+(n-1)・2n+n・2n+1.i-i|f，i-il-L_］，-'|相减可得：-T=2+22+23+ +2n-n・2n+1= - n・2n+1.2-1化为：Tn=(n-1)・2n+1+2.Sn=(n-1)・2n+1+2+n.2.在等比数列｛an｝中，公比qG(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列｛an｝的通项公式；第5页(共9页)

%上取最大值时，求%上取最大值时，求nn(2)设bn=log2an，数列｛bn｝的前n项和为Sn，当寸一的值.【解答】解：（1）a1a3+2a2a4+a3a5=25,*可^得a22+2a2a4+a4=（a2+a4）2=25,由a3=2,即a1q2=2,^①，可得a1>0,由0<q<1,可得an>0,"可^得a2+a4=5,即a1q+a1q3=5,^②由①②解得q=^-（2舍去），a1=8,则an=8"（"!"）n」=24-n；（2）bn=log（2）bn=log2an=log224-n=4-n,则可得n=6或7时取最大值将-32且,则n的值为6或7.3.已知等差数列"an｝的前n项和为Sn，公差dW0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列U.TOC\o"1-5"\h\z(I)求数列U｛an｝的通项公式；9 1(II)设b“=一,一，数歹U｛bn｝的前n项和为Tn，求证：Tn<^.anPan+l 3|』廿13*50【解答】解：(1)由已知得，,v2, ,,(力+3d)已二日11,+12d)解得a1=3,d=2,•*&n=2n+1.(n)由已知得,LkAe念^^(n)由已知得,LkAe念^^r熹,4.已知数歹也an｝的前n项和为Sn，且a1二3,〃二j：G2).(1)求数列｛an｝的通项公式;第6页(共9页)(2)当匕口二1口自?。什1时，求数列｛-

~2r-4—｝的前〃项和*广小什1【解答】解：(1)由a1二3,&n二春—1伍泊・nr汨一1(2)当匕口二1口自?。什1时，求数列｛-

~2r-4—｝的前〃项和*广小什1【解答】解：(1)由a1二3,&n二春—1伍泊・nr汨一1c—1-3可付。2=可a=彳％=亍，可得册+1=/"与，又册=各“」，〃三2,相减可得知+「册=互即为%+1%,可得｛册｝为从第二项起,公比q为楙的等比数列,可得。“=。2夕"-2=(―)「&n=l可得an=⑵bn=log3anH=log3(-1)f,可得人卜1tHn(n+l)1n+F5贝U前n项和Tn=l- -之+…+工 =1-lJi_iin*.L5.已知数列入｝的前〃项和为5且S2得〃n+1n+1(1)求数列｛知｝的通项公式;(2)若九=%・2",求数列｛0｝的前〃项和图.【解答】解：(1)Sn=九三2时,an=Sn-Snr1 3不几2+~^~"-1，可得〃=1时，4]=S]=1；_123 .1r93( ।—―九，十—n~1-1)2\n~L2 2 2 2+l=n+l,1?n=ln+1,n>2'⑵bn=an-2»=\2,11=1」门+1)・现n>25当〃=1时，T]=b]=2；当〃22时，4=2+3X22+4X23+…+(〃+1)・2冏，第7页(共9页)

2Tn=4+3X23+4X24+…+(n+1)-2n+1,相减可得-Tn=10+23+24+…+2n-(n+1)-2n+1=10+S^~\(―--(n+1)-2n+1,化简可得Tn=n-2n+1-2.(n三2),上式对n=1也成立，综上可得Tn=n-2n+1-2.6.已知等比数歹U｛an｝的前n项和为Sn，满足三二3%,〃二15,nEN*(1)求数列｛an｝的通项公式及Sn5(2)设数列［3-］的前n项和为Tn，若里一M，求正整数n的取值范围%十1前n项和为Sn,满足【解答】解：(1)等比数歹"a前n项和为Sn,满足则a1+a2=3a1，即a则a1+a2=3a1，即a2=2a]，可得q=2=15则an=2n-1,S-1*解得a[=1,I一5,1।则T=(2+4+-+2n)-(2」+2-2+…+2-n)= 「：-3,若T 3，贝U2n+1+2-n>—,n211 2n即为22n+1>32,解得n>2,则正整数n的取值范围为n三3,neN*..已知正项数列｛an｝的前n项和Sn满足2Sn=a:+an-2.(I)求数列｛an｝的通项公式;、(II)若bn= J(neN*),求数列｛bn｝的前n项和Tn.第8页(共9页)

【解答】解：（I）正项数列｛an｝的前n项和Sn满足2Sn=a：+an-2.巳1，a.1-2可得n=1时，a1=S1=121一，解得a1=2（-1舍去），n三2时，an=Sn-Sn-1=^^^（an-an.1），化为an+an,1=an2-an.12=（（an-an.1），由an＞。，可得an-an_i=1，贝Uan=2+n-1=n+1；（II）bn=/g-1）Cn-l）2n2n+12nann（n+l）n+1n，则数列｛bn｝的前n项和Tn42841621324-…+2nH2nn+1nqlH-1 2.n+1.已知数歹U｛an｝中，a1=2,4-^^广匕如（n€N",n>2）.（1）求数列｛an｝的通项公式：（2）设说二？；_］，求数列｛bn｝的通项公式及其前n项和Tn.【解答】解：（1）由题意可知an-an-1=4n-2,an-1-an-2=4n-6,&n2-Qn3=4n-10,•一a2