状态重构与状态观测器设计

状态重构与状态观测器设计..第一页，共76页。概述状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引入适当的状态反馈才能够实现。状态可控的线性定常系统可通过线性状态反馈来进行任意极点配置，以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。但是，由于1)

描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的，2)而且有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。这些情况下，用状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。第二页，共76页。为此，提出了状态变量的重构或观测估计问题?Reconstruction,observation,estimation所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一个物理上可实现的动态系统,它以原系统的输入和输出作为它的输入而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值或者其某种线性组合则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律第三页，共76页。这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（stateobserver），它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或软件)来对状态变量进行估计。状态观测器是指在不考虑噪声干扰下，状态值的观测或估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可用卡尔曼(Kalman)滤波理论来分析讨论(最优估计)。第四页，共76页。本节主要讨论状态观测器理论。重点掌握:状态观测器的结构、误差分析、设计方法带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析第五页，共76页。10.3.1全维状态观测器及其设计Full-dimensionalstateobserver下面分别介绍开环状态观测器渐近状态观测器第六页，共76页。1.开环状态观测器

Open-loopstateobserver设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即其中系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到,如何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)？第七页，共76页。对此问题一个直观想法是：利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质（即有同样的系数矩阵A,

B和C）的如下系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值（即重构被控系统的状态变量）:其中为被控系统状态变量x(t)的估计值。第八页，共76页。该状态估计系统称为开环状态观测器，简记为图3-1开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。第九页，共76页。比较系统(A,B,C)和

的状态变量，有则状态估计误差的解为第十页，共76页。显然,当

时,则有,即估计值与真实值完全相等。但是，一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:2.若矩阵A

的某特征值位于s

平面的虚轴或右半开平面上(实部Res0),则矩阵指数函数eAt

中包含不随时间t

趋于无穷而趋于零的元素。1.有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保证

;此时若

或出现对被控系统状态x(t)或状态观测器状态

的扰动,则将导致状态估计误差将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。第十一页，共76页。所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零,易受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。仔细分析可以发现，这个观测器只利用了被控系统输入信息u(t)，而未利用输出信息y(t)，其相当于处于开环状态，未利用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。即,由观测器得到的

只是x(t)的一种开环估计值。为了和下面讨论的状态观测器区分开来,通常把该观测器称为开环状态观测器。第十二页，共76页。2.渐近状态观测器Asymptoticstateobserver前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳可以预见，如果利用输出变量对状态估计值进行修正，即进行反馈校正，则状态估计效果将有本质性的改善。下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。其估计误差将会因为矩阵A

具有在s

平面右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或产生等幅振荡。第十三页，共76页。如果对任意矩阵A

的情况都能设计出相应的状态观测器,对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态,则称该状态估计器为渐近状态观测器。第十四页，共76页。根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的状态观测器:其中G

称为状态观测器的反馈矩阵。于是重构状态方程为该状态估计器称为全维状态观测器,简称为状态观测器,其结构如下图所示。第十五页，共76页。图3-2渐近状态观测器的结构图第十六页，共76页。定理3-1

（观测器的存在条件）线性定常系统(A,

B,

C)具有形如(3-1)的状态观测器的充分必要条件是系统的不可观部分（或不可观模态）是渐近稳定的。证明：充分性。因为(A,B,C)不可观时，按可观性进行结构分解，故这里不妨假定(A,B,C)已具有如下形式：定理10-2（P255）第十七页，共76页。其中(A11,C1)可观测，A22的特征值具负实部。现构造如下的动态系统根据前面的分析：第十八页，共76页。因为于是定理的充分性得证。定理的必要性证明略去。

证毕。可控，适当选择，可使的特征值，亦即的特征值均具负实部；而A22是系统的不可观部分，由可检测的假定，A22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即第十九页，共76页。先定义如下状态估计误差:其中A

–

GC

称为状态观测器的系统矩阵。则有根据上述误差方程，被控系统(A,

B,

C)的渐近状态观测器，也可简记为

。下面分析状态估计误差是否能趋于零。第二十页，共76页。显然，上述状态估计误差方程的解为当状态观测器的系统矩阵A-GC

的所有特征值位于s

平面的左半开平面,即具有负实部,因此，状态观测器的设计问题归结为求反馈矩阵G，使A-GC

的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度即状态观测器的极点是否可任意配置问题。对此有如下定理。则无论

等于x(0)否,状态估计误差

将随时间t趋于无穷而衰减至零,观测器为渐近稳定的。第二十一页，共76页。定理

渐近状态观测器的极点可以任意配置,即通过矩阵G任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对(A,C)可观。证明证明过程的思路为：A-GC的极点可由G任意配置两者极点相等AT-CTGT的极点可由GT任意配置经状态反馈GT系统(AT,CT)的极点可由GT任意配置对偶性原理(A,C)状态可观需证明的结论?系统(AT,CT)状态可控极点配置的充要条件定理10-3（P255）第二十二页，共76页。证明过程为：由于A-GC

的特征值与AT-CTGT的特征值完全相同，则A-GC

的特征值可由G

任意配置等价于AT-CTGT的特征值可由GT

任意配置，即等价于系统(AT,CT)可通过状态反馈阵GT进行任意极点配置。而(AT,CT)的极点可任意配置的充分必要条件为矩阵对(AT,CT)可控，由对偶性原理知，即矩阵对(A,C)可观。因此,A-GC

的特征值可任意配置的充要条件为矩阵对(A,C)可观。可见，只要被控系统状态可观，则一定存在可任意极点配置的渐近状态观测器。第二十三页，共76页。与状态反馈的极点配置问题类似，对状态观测器的极点配置问题，对期望的极点的选择应注意下列问题:1.对于n阶系统，可以而且必须给出n

个期望的极点。2.期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数。3.为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的暂态过渡过程，状态观测部分应比原被控系统和闭环系统的控制部分有更快的时间常数(衰减更快),即状态观测部分的极点比其它部分的极点应当更远离虚轴。由上述分析过程，类似于状态反馈的极点配置技术，有如下状态观测器的设计方法。第二十四页，共76页。方法一方法一的思想:利用对偶性原理，将状态观测器设计转化为状态反馈极点配置，然后利用状态反馈极点配置技术求状态观测器的反馈阵G。其具体方法是，将可观矩阵(A,C)转换成对偶的可控矩阵对(AT,CT)，再利用极点配置求状态反馈阵GT，使得AT-CTGT的极点配置在指定的期望位置上。相应地，G

即为被控系统(A,

B,

C)的状态观测器(A-GC,

B,

C)的反馈矩阵。计算过程可图解如下:第二十五页，共76页。可观性矩阵对(A,C)可控性矩阵对(AT,CT)由状态反馈极点配置技术计算GT配置AT-CTGT的极点由反馈矩阵G配置状态观测器的A-GC的极点由对偶原理计算由对偶原理计算第二十六页，共76页。方法二方法二的思想:先通过非奇异线性变换,将状态完全可观的被控系统Σ(A,C)变换成可观标准型

,即有第二十七页，共76页。其中ai*和ai(i=1,2,…,n)分别为期望的状态观测器的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的特征多项式的系数。对可观标准型进行极点配置，求得相应的可观标准型的观测器的反馈阵如下因此,原系统Σ(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为第二十八页，共76页。例3-1

设线性定常系统的状态空间模型为（P265习题10-5-5）

解

：方法一：1.先利用对偶性方法，求得原系统的如下对偶系统:试设计一状态观测器，使其极点配置为-3,-4,-5。第二十九页，共76页。2.

将上述可控状态空间模型化为可控标准型的变换矩阵为其中第三十页，共76页。3.

求对偶系统的状态反馈阵。由于被控系统的特征多项式和期望极点的特征多项式分别为f(s)=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60则对偶系统的状态反馈阵K为第三十一页，共76页。即所求状态观测器的反馈阵G=KT=[202512]T则相应状态观测器为第三十二页，共76页。(2)方法二。1.

先将原系统化成可观标准型，相应的变换矩阵T

为其中第三十三页，共76页。2.

因此可观标准型的状态观测器的反馈矩阵为则原被控系统的状态观测器的反馈矩阵G为可见，用方法二求得的G矩阵与方法一完全相同。第三十四页，共76页。例：设被控对象传递函数为试设计全维状态观测器，将极点配置在-10，-10.解：被控对象的传递函数为可直接写出系统的可控标准形其中第三十五页，共76页。显然，系统可控且可观。

观测器特征多项式为期望的特征多项式为令上述两特征方程同次项系数相等，可得

即第三十六页，共76页。第三十七页，共76页。10.3.2带状态观测器的闭环控制系统Close-loopcontrolsystemswithstateobserver状态观测器解决了状态变量不能直接测量的系统的状态估计问题，它为利用状态反馈实现系统闭环控制奠定了基础。但状态观测器对状态反馈闭环系统的稳定性和其它性能品质指标的影响如何，则是一个需要细致分析的问题。本节主要研究利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统的特性,以及它和直接采用状态变量为反馈量时的异同。下面首先导出带状态观测器的状态反馈闭环控制系统的状态空间模型，并以此来进行该闭环系统的特性分析。第三十八页，共76页。设系统(A,B,C)可控可观，则该系统可通过状态反馈进行极点配置，以及能建立全维状态观测器并对其进行极点配置。若系统(A,B,C)的状态变量不能直接测量，则可由状态观测器提供的状态变量的估计值来构成状态反馈律。即对线性定常连续系统其全维状态观测器为设基于状态观测值

的状态反馈律为第三十九页，共76页。带全维状态观测器的状态反馈闭环系统的结构图。图3-3带状态观测器的状态反馈闭环控制系统结构图第四十页，共76页。下面分析上述带状态观测器的状态反馈闭环系统的观测误差：首先，定义状态观测误差为另外，闭环控制系统的状态方程又可记为代入被控系统和状态观测器的输出方程增加/减去-BKx项则有第四十一页，共76页。因此，带全维状态观测器的状态反馈闭环控制系统的状态空间模型为第四十二页，共76页。上述带全维状态观测器的闭环控制系统的特性:1.分离特性

SeparationProperty(Principle)由闭环系统状态空间模型的状态方程可知，整个闭环系统的特征值由矩阵块A-BK

的特征值和矩阵块A-GC

的特征值所组成,即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特征值所组成。这两部分的特征值可单独设计(配置)，互不影响，这种特性称为状态反馈控制与状态观测器的分离特性(原理)。一般在工程上，为了保证有较好的控制精度、快速性和超调量等动态指标，状态观测器部分A-GC

的特征值的实部应远小于状态反馈部分A-BK

的特征值的实部，即更远离虚轴。第四十三页，共76页。2.传递函数的不变性由闭环系统状态空间模型，可得带观测器的闭环系统的传递函数阵如下:因此，带观测器的闭环系统的传递函数阵完全等于直接采用状态变量作反馈量的闭环系统的传递函数阵即状态观测器不改变闭环系统的传递函数阵,也就是不改变闭环系统的外部输入输出特性。第四十四页，共76页。3.状态观测误差不可控由闭环控制系统状态方程可知，状态观测误差是不可控的，即不能由外部输入去影响它，即与K无关。只要矩阵A-GC的特征值具有负实部，则不管输入信号如何，一定按A-GC所确定的衰减速度衰减至零。第四十五页，共76页。

习题-1（掌握）:给定线性定常系统

其状态不能直接测得，指定期望的闭环极点为-1+j，-1-j，观测器的特征值为-2，-4，试设计一个观测器—状态反馈系统，并画出系统的模拟结构图，计算整个闭环系统的传递函数。第四十六页，共76页。解:

1.检查控制系统的能控性和能观性

所以系统是状态完全能控能观的。从而存在矩阵K,G使得系统及观测器极点任意配置。2.设计状态反馈矩阵K

设K

[k1,k2],

则引入状态反馈后系统的特征多项式为

由希望极点确定的特征多项式为:

(s1j)(s1j)s22s

2

从而得到:k1

2,

k2

2,即K[2,2]。第四十七页，共76页。

3.设计状态观测器的输出反馈矩阵G

状态观测器的特征多项式为

(s2)(s4)s26s

8

设G

[g1,g2]T，则状态观测器子系统的特征多项式为

比较可得:g1

6,

g2

8,即G[6,8]T。

4.闭环系统的传递函数如何?由传递函数的不变性可得GK,G(s)=1/(s22s

2)第四十八页，共76页。

习题-2（P259，例10-3，掌握）:给定线性定常系统

试设计带状态观测器的状态反馈系统，是反馈系统的极点配置在-1+j，-1-j，观测器的特征值为-5，-5。第四十九页，共76页。第五十页，共76页。第五十一页，共76页。第五十二页，共76页。设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为解:系统完全可观测的，可构造任意配置特征值全维状态观测器。1)由,得；例3-2

：给定系统的状态空间表达式为第五十三页，共76页。2)观测器的期望特征多项式为得3)4)第五十四页，共76页。5)6)第五十五页，共76页。得全维状态观测器第五十六页，共76页。其模拟结构图如下所示模拟结构图第五十七页，共76页。10.3.3降维状态观测器及其设计*Reduced-dimensionstateobserver用上述方法设计的状态观测器是n阶的，即n维状态变量全部由观测器获得，所以该观测器又可称为全维状态观测器。由输出方程可知，其实状态变量的部分信息可直接由输出变量的测量值提供，如在特殊形式的下述输出方程中状态变量向量x2即为输出变量y,故该系统只要对x1设计状态观测器即可,对x2就没有必要再设计状态观测器。第五十八页，共76页。因此,所设计的状态观测器的维数就少于状态变量的维数n。该类状态观测器称为降维状态观测器。由线性代数知识可知,任何输出方程,只要输出矩阵C满秩(行满秩),总可以找到非奇异的线性变换将输出方程变换成(a)所示的输出方程。变换方法介绍如下:第五十九页，共76页。首先，对任何输出矩阵为满秩的状态空间模型，经过对状态变量的重新排列顺序，都可变换成如下形式的状态空间模型其中矩阵C2为m×m维的可逆方阵;状态变量向量x1和x2分别为n-m维和m维的。第六十页，共76页。当选取变换矩阵P为第六十一页，共76页。对状态空间模型

，状态变量

即为输出变量y(t),因此只需对状态变量

设计降维状态观测器即可。在求得状态变量

的状态估计值后，作上述线性变换的逆变换，则可求得原状态变量x(t)的估计值。经上述变换后，状态变量

所满足的状态方程为下面介绍降维状态观测器的设计方法。第六十二页，共76页。其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法，构造状态变量的全维状态观测器如下:

是该降维状态观测器的输出变量，即变换后的系统的状态变量

的估计值;矩阵F,G,H和L为适宜维数的待定常数矩阵。第六十三页，共76页。降维状态观测器的结构图如图3-4所示。图3-4降维状态观测器的结构图第六十四页，共76页。下面讨论如何选取降维状态观测器(b)的各矩阵，才能使得将上