2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（三）（含解析）

2021年(老高考)数学(文)模拟试卷(三)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.)

1.[2020•惠州市高三第一次调研考试试题]已知集合P={川一2忘》忘2},Q={x|lgx>0},

那么PCQ=()

A.(-2,0)B.[1,2)C.(1,2]D.(0,2]

1I,

2.[2020•南昌市高三年级摸底测试]复数z满足一=l—i,则|z|=()

A.2iB.2C.iD.1

3.[深圳市普通高中高三年级统一考试]已知tana=-3,则sin2(a+*=()

3344

A.§B.C.gD.一§

4.[2020•合肥市高三第一次教学质量检测]下列不等关系，正确的是()

A.Iog23<log34<log45B.Iog23>log45>log34

C.Iog23<log45<log34D.Iog23>log34>log45

5.[2020•安徽省示范高中名校高三联考]如图所示的程序框图是为了求出满足3〃一2〃>2

A.A>2020?和〃=〃+1B.A>2020?和〃=〃+2

C.AW2020?和〃="十1D.AW2020?和几=〃+2

6.[2020•山西省八校高三第一次联考]如图是根据某气压机厂两个车间2016-2019年四

年中的年产值情况制成的折线统计图，从图中可以清楚地看出两个车间年产值增减变化的情

况，根据折线图，给出下列四个结论：

-----第一车间

年产值/万元-----第二车间

2000

1500

1000

500

2016201720182019年份

①2017〜2018年第一车间年产值的增长速度比第二车间快；

②第二车间四年的年产值的中位数是第一车间四年的年产值中位数的2倍；

③第二车间2019年的年产值是2016年的4倍；

④第二车间四年的年产值的平均数是第一车间四年的年产值的平均数的1.5倍.

其中所有不正确结论的编号是()

A.①④B.①②C.②③D.②④

7.[2020・广州市高三年级阶段训练题]已知函数危)满足yU—x)=/(l+x),当时，危)

2

=x-J则{x|/(x+2)>l}=()

A.{x|x<—3或无>0}B.{x|x<0或x>2}

C.{x|x<—2或x>0}D.{x|x<2或x>4}

8.［2020•南昌市高三年级摸底测试］自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关

的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二

进制.二进制以2为基数，只用0和1两个数码表示数，逢2进1,二进制数与十进制数遵循

一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)io=lX29+0X28+0X27+0X26+0X25+0X24

+lX23+0X22+0X2i+lX2°=(1000001001)2.我国数学史上，清代汪莱的《参两算经》是较

早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口诀：(7X7)8=(61)8，(7X6)8=(52)8,

(7X5)8=(43)8，…，则八进制下(6X5%等于()

A.(36)8B.(37)8C.(40)8D.(41)8

9.［2020•广州市普通高中毕业班综合测试］已知直线/：y=x-2与x轴的交点为抛物线C：

y2=2px(p>0)的焦点，直线/与抛物线C交于A,B两点，则A8的中点到抛物线C的准线的

距离为()

A.8B.6C.5D.4

10.［2020.长沙市高三年级统一模拟考试］函数尸乔(其中e为自然对数的底数)的图象

大致是()

ABCD

11.［2020・临川二中模拟］关于函数火x)=|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：

①Ax)是偶函数；②兀是1Ax)的最小正周期；

③/U)在［与，竽］上单调递增；④Ax)的值域为［-2,2］.

上述结论中，正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

12.［2020・湖南四校联考］在边长为2小的菱形A8CO中，ZBAD=60°,沿对角线BO折

叠至二面角A-2£>-C的大小为120。，连接4C,构成四面体A8CQ(如图)，则此四面体的外接

球的表面积为()

A.28兀B.77r

C.14兀D.21兀

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在题中的横线上.)

‘2x+y—220

13.［2020•福州市高中毕业班质量检测］设x,y满足约束条件〈》-2)，+4>0,则z=x—

3y的最小值为.

14.［2020•深圳市普通高中高三年级统一考试］设数列{”“}的前n项和为Sn,若S„=2a„-n,

则df>—.

15.［2020-河南省豫北名校高三质量考评］某药材公司与枳壳种植合作社签订收购协议，

根据协议，由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验，并对标准园的枳壳成品按不低于

当年市场价的价格进行订单式收购，形成“龙头企业+合作社+农户”的快速发展模式.该

合作社对2016~2019年的收益情况进行了统计，得到如下所示的相关数据：

年份2016201720182019

年份代码X1234

收益y/万元14264058

根据数据可求得y关于x的线性回归方程，为《=短-2,贝瑞=.

16.[2020•安徽省示范高中名校高三联考]双曲线%一%=1(〃>0,h>0),F\,尸2为其左、

右焦点，线段垂直直线y=»,垂足为点A,与双曲线交于点8,若a=B]，则该双曲

线的离心率为.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)[2020•湖南省长沙市高三调研试题旧知△ABC的内角A,B,C对应的边分别

为a,b,c,V3a=^pccosB+bsmC.

(1)求角C的大小；

(2)如图，设P为△ABC内一点，PA=\,PB=2,且求AC+BC的

最大值.

18.(12分)[2020•江苏卷]在三棱柱ABC-A/iCi中,ABLAC,平面ABC,E,F分别

是AC,BiC的中点.

(1)求证：EF〃平面A8C1；

(2)求证：平面ABC平面ABBi.

19.(12分)[2020.长沙市四校高三年级模拟考试]为了研究每周累计户外暴露时间是否足够

(单位：小时)与近视发病率的关系，对某中学七年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如

下数据：

近视不近视

足够的户外暴露时间2035

不足够的户外暴露时间3015

(1)用样本估计总体思想估计该中学七年级学生的近视发病率;

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为近视与户外暴露时间有关系？

n(ad—bc¥

附：K2—

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

其中"=4+6+C+〃

P(K22他0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

20.(12分)[2020•合肥市高三调研性检测]已知兀v)=e'-,"x.

(1)若曲线y=lnx在点^2)处的切线也与曲线y=/(x)相切，求实数机的值;

(2)试讨论函数40零点的个数.

•77I

21.(12分)[2020•合肥市高三教学质量检测]已知椭圆C的方程为，+]=l,斜率为抽直

线/与椭圆C交于A,B两点，点P。，号在直线/的左上方.

(1)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点Fi，求此时直线/的方程；

(2)求证：△以8的内切圆的圆心在定直线x=l上.

选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分.)

22.(10分)[2020•南昌市高三年级摸底测试]在直角坐标系直下中，曲线C的参数方程为

fx=2cosafx'—2x

&6[0,2兀)，a为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换，

[y=2sina(y=y

得到曲线Ci，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(p为极径，。为极角).

(1)求曲线C的普通方程和曲线G的极坐标方程；

(2)若射线。4：6=做＞。)与曲线G交于点A,射线OB：。=£+倒＞0)与曲线C\交于点B,

求|。4|2+|0砰的值，

_/+]

23.(10分)[2020•南昌市高三年级摸底测试]已知函数,危)=X-+|x-1|(^＞0),g(x)

=4—|x+l|.

(1)当a=l时，求不等式火x)23的解集；

(2)若关于x的不等式;(x)Wg(x)的解集包含[1,2],求a的取值集合.

2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（三）

1.答案：c

解析：由已知，得。=3x>l},所以PCQ=（1,2],故选C.

2.答案：D

解析：解法一z=^j=f=i,则|z|=l.

,,H+ilV2

解法二团一厂「

3.答案：D

解析：解法一因为mna=-3,所以黑吃3,则sina=—3cosa,代入sin%+cos2a

=1得9cos2Q+COS2a=1,所以cos2a=击，所以sin2(a+：)=sin(2a+，)=cos2a=2cos2a—1

14

=g-l=—5，故选D.

22

解法二sin2（a+^?9cosa-sina1-tan2a1—9

2a+z=COS2a=8$-。_5出”=.2“+«^。=嬴目=乔7

=-7,选D.

4.答案：D

缸A,1.1。lg_3,.里4.ulg_5.1^2电4

斛析：解法一Iog23=]g2，]°g34=]g3，]0g45=]g4，..log23-log34=lg2-1o3

lg21g3>1g21g3—1g21g3>1g21g3一°，

/.Iog23>log34,同理可证Iog34>log45,故选D.

lg(/7+l),lg(〃+2)

解法二log„(n+l)=怆〃,log(〃+M〃+2)=[o(〃+]),log„(/i+1)—log(w+1)(n+2)=

2lg〃+lg(〃+2)}

lg(〃+1)lg(〃+2)_1g2(〃+)—lg川g(〃+2)-(〃D_2j

lg〃lg(«+1)lg〃lg(〃+1)>lgn\g(n+1)

12+2，，+1)

ig^+i)-[^9)

lg〃皿〃+1)>-1)=0,•••1唠3>1哂4>感5,故选D.

5.答案：D

解析：因为在判断框之后，“否”退出循环，“是”继续循环，所以在判断框中应该填

入“AW2020?”；因为求满足3"-2">2020的最小偶数«,所以在处理框中填入“〃=〃+

2”.故选D.

6.答案：D

解析：由折线图可得2017〜2018年第一车间年产值的增长速度比第二车间快，①正确；

第二车间四年的年产值的中位数是1।250=]125（万元），第一车间四年的年产值的中位

数是6251100°=812.5（万元）,812.5X2=1625^1125,②错误；第二车间2019年的年产值

八2良代一”、心”十人皿0500+1000+1250+2000

是B2016年的4倍，③正确；第二车间四年的年产值的平均数是----------4------------------=1

■一代~4-、4f必」，k400+625+1000+1125.一

187.5（万兀），第一车间四年的年产值的平均数是----------4----------------=787.5（万兀），

787.5X1.5=1181.25^1187.5,④错误.因此结论不正确的为②④，故选D.

7.答案：C

解析：由人i—x)=yu+x)知函数y(x)的图象关于直线x=i对称.因为当时，yu)=x

2

-易知函数式x)在［1,+8)上单调递增，且42)=1,所以/(X)在(-8,1)上单调递减，式0)

=1,所以由y(x+2)>l,得x+2>2或x+2<0,解得x>0或x<—2,故选C.

8.答案：A

解析：类比二进制数与十进制数转化的规则得，(61)8=6X8+1X8°=(49)io,而已知(7X7)8

=(61)8,所以(7X7)8=(49)IO.类比可知(6X5)8=(3O)IO,X(36)8=3X8+6X8°=(3O)io,所以

(6X5)8=(36)8,故选A.

9.答案：A

解析：直线/：y=x—2与x轴的交点为(2,0),所以抛物线C的焦点为(2,0),所以5=2,p

=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.设A(M,弘)，伙及，”)，由｛>=》一,二和消去并化

2

简得X—12x+4=0,所以x\+%2=12,X「X2=4,所以|AB|=41+py(xi+x2)2—4笛尤2=啦

X4122—4X4=16.根据抛物线的定义可知，AB的中点到抛物线C的准线的距离为怨=竽=

8,故选A.

一题多解在求|AB|的过程中，由于直线/过抛物线的焦点，所以|4用=为+及+0=12+4

=16.

10.答案：D

解析：令於)=y=jrr，则yu)=/(一九)，所以7U)为偶函数，其图象关于y轴对称.当x20

jp-—

时，函数Xx)=y=”，/a)=；FL，令，(x)=o得犬=0或X=2.当x£［0,2］时，，。)20,

兀0单调递增，当尢£(2,+8)时，/(幻<0,“外单调递减，所以当尢£［0,+8)时，大无)有且

只有一个极大值点，是x=2,故结合选项知以D.

11.答案：B

解析：J(x)=|cosx\+cos|2x|=|cosx\+cos2x=|cosx|+2cos2x—1=2|cosx|2+|cos-1,

由/(—x)=2|cos(—x)F+|cos(—X)|—l=/(x),得«x)为偶函数，故①正确；

由于y=|cosx|的最小正周期为兀，可得yu)的最小正周期为兀，故②正确；

令f=|cosx|,得函数於)可转化为g⑺=2户+，-1,£［0,1］,

易知f=|cosM在［季兀上单调递增，在［兀，用上单调递减.

由g⑺=2卜+；)2一芥可得g⑺在［0,1］上单调递增，

所以©在序小单调递增，在［兀，用上单调递减，故③错误.

因为g⑺在［0,1］上单调递增，所以g⑺的值域为［-1,2］,即1x)的值域为［-1,2］,故④错误.

综上，正确的个数为2,故选B.

12.答案：A

解析：如图所示，取8。的中点M,由正弦定理易知△C8。和△ABO的外接圆半径均为

连接AM,CM,设△CB。和△AB。的外心分别为Oi,02,易知。”。2分别在CM,AM

上，它们到8。的距离均为1.

设外接球的球心为O,半径为R

连接OOi,OO2,OM,则可得四边形。0|加。2的外接圆的直径为OM=2.

连接。8,在直角三角形O8M中，0序=8吩+。"=（_罚2+22=7,

解得08=巾，即/?=巾，

所以外接球的表面积S=4兀R2=28TL故选A.

13.答案：一7

解析：依题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，作出直线>=%,并平移该直线，当

直线y=/x—z）经过点B时，目标函数Z=x—3y取得最小值由｛x—2y+4=x=2，得8（2,3）,

所以Zmin=2—3义3=17.

14.答案：63

解析：解法一由Si=m=2〃i—1可得〃]=1,同理由S2=〃I+〃2=2〃2—2可得〃2=3,

由4+。3=2〃3—3可得的=7,由11+。4=2a4—4可得。4=15,由26+恁=2a5—5可得的=31,

由57+。6=2%—6可得%=63.

=

解法二由Si=〃]=2〃i—1可得〃]=1,当时，an=Sn—Sn-\2an—n—2〃“一|十（〃一

1）=2斯一2斯一1一1,所以斯=2%-i+l,所以④+1=2（如一1+1），所以数列｛斯+1｝是以2为首

项，2为公比的等比数列,所以如+1=2X2〃」=2",所以如=2〃-1,故〃6=26—1=63.

15.答案：14.6

解析：由题表知，x=2.5,y=34.5.因为样本点的中心（x,y）在回归直线y=bx-2上,

所以34.5=2.56—2,解得£=14.6.

16.答案：小

解析：解法一由题意知，直线&A的方程为y=—3x—c）,

与直线y=，联立得交点A的坐标为件，喻又@=BX,所以B为线段F2A的中点，

所以用，因为点8在双曲线上，所以代入双曲线方程得层乂整=

a2b2,得<?=2。2,所以6=§=也.

解法二由题意可知为坐标原点），由于焦点到渐近线的距离为仇所以IABI

=b,且|0码=。，所以|。川=〃，且cos/OF2A=£由&=函，知B为线段BA的中点，所以

h

|BBI=S，又点8在双曲线上，所以|BF||一|BF2l=2a,贝”BQ|=2a+5.在△所内中，由余弦定

理IMFWIBF+MFTFIBIIBFZICOSNOBA,#^2«+5）2=4c2+j-2X2cx|xp化简得

a=b9所以

17.解析：（1）:•小a=WccosB+bsinC,

・••小sinA=y[3sinCeosB+sinBsinC,

/.V3sin（B+C）=-\/3sinCeosB+sinBsinC,

.,.•\/3(sinBcosC+sinCeosB)=小sinCeos8+sinBsinC,

・••小sinBcosC=sinBsinC,/.tanC=小.

又C£(0,7c),・•・，=1.

(2)由(1)与NAPB+NAC8=7i,#ZAPB=y.

由余弦定理，得A82=B42+p4一2%.产氏0§乙4尸3=1+4—2XlX2Xcos_y=7.

/SAC+BC

又AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=(AC+BC)2-3ACBC^(AC+HC)2-3[-5—

(AC+BC)2

=4'

...4C+BCW2市(当且仅当AC=BC时取等号).

：.AC+BC的最大值为2市.

18.解析：(1)因为E,尸分别是AC,BC的中点，

所以EF//AB\.

又EFd平面ABC,ABC平面ASG,

所以平面481G.

(2)因为8C_L平面ABC,ABU平面ABC,

所以B]C±AB.

XABLAC,B|CU平面48|C,

ACU平面ABC,BiCAAC=C,

所以AB_L平面ABXC.

又因为ABU平面ABBi,

所以平面ABiCJ_平面ABB\.

19.解析：(1)由题中表格可知，100名学生中，近视的学生有20+30=50(名)，

所以可估计该中学七年级学生的近视发病率为益=/

100X(20X15—35X30)2

(2)心=55X45X50X50—勺9.09>6.635,

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为近视与户外暴露时间有关系.

20.解析：(1)曲线y=lnx在点七2・2)处的切线方程为y—2=*(尤一e2),即y=5+l.

令该切线与曲线段:)=e”一的相切于点(沏，w加沏)，则切线方程为y=(ex°—m)x—exo(xo

—1)，

•'.{exo—"?=e2xo—沏ex()=l,.*.(/w+e2)[1—ln(/?2+e2)]=1.

令m+e~2=t,则/(I—Int)=1.

记g⑺=f(l—Inf),则g，(0=1—(1+lnr)=_lnt.

于是，g⑺在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

••・g(r)m“x=g(l)=l,于是f=m+e-2=l,m=1—e—2.

(2)f(X)=ex—m.

当机<0时，，(x)>0恒成立，於)在R上单调递增，且10)=1>0,

娟=弓-1<0，

・•・函数/(X)在R上有且仅有一个零点.

当m=0时，y(%)=e工在R上没有零点.

当加>0时，令/a)>o,则即函数yu)的增区间是(inm，+8),

同理，减区间是(一8,intn),/./(x)min=/(Inni).

①若0</??<e,则7(x)min=m(l—Inm)>0,共幻在R上没有零点；

②若/w=e,则y(x)=e，-ex有且仅有一个零点；

③若m>e,则/(x)min=1—1n机)<0,

2

fi2\nm)=in-2m\nm=m(m-2inm)9

2

令〃(m)=m—21n加，则〃'(nz)=1—,

当m>e时，/i(〃2)单调递增，h(m)>h(e)>0,

.\/21nm)=m2—2tn\n(机一21n/w)>n?(e—2)>0,又/(0)=l>0,

・・JU)在R上恰有两个零点.

综上所述，当0式〃?<e时，函数段)没有零点；当〃?vO或"?=e时，函数«¥)恰有一个零点；

当m>Q时，函数人犬)恰有两个零点.

21.解析：(1)设直线/的方程为y=%+机，A(xi,yi),B(X2,yi).

由]，+左=y=5+m得/+g+疗一3=0,由/=m2—4(/w2—3)>0,解得一2<相<2,九1

+x2=—m,XIM=〃P—3.

《1,I)在直线/的左上方，••.一2<m<1.

;点

若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点6,贝必22必F2=0,

即(1一为，及，—玖)=0,

.,.(1—xi)(l—x2)+yiy2=0,

(1一为)(1—功)+(51++次)=0,

l)(xi+x2)+^x\X2+m2+1=0,

/.6"?-1)(­777)+/加2—3)+机2+1=0,

化简整理得7m?+4加—11=0,解得m=-9或m=1(舍去).

・••直线/的方程为