2019年数学真题及解析-2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置

上.

1.（5分）已知集合4={7,0,1,6},8={x|x>0,xCR},贝U4nB=.

2.（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是

3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

/输出S/

*

结束

4.（5分）函数>=在心_*2的定义域是-

5.（5分）已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.

6.（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学

中至少有1名女同学的概率是.

2

7.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线％2-台=1（6>0）经过点（3,4）,则该

双曲线的渐近线方程是.

8.（5分）己知数列{“〃}（〃CN*）是等差数列,%是其前〃项和.若。205+48=0,59=27,

则S8的值是.

9.（5分）如图，长方体ABC。-AiBiCiOi的体积是120,E为C。的中点，则三棱锥E-

BCD的体积是.

10.(5分)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+&(x>0)上的一个动点，则点尸到

X

直线工+y=0的距离的最小值是.

11.(5分)在平面直角坐标系％0)，中，点A在曲线)，=/心上，且该曲线在点A处的切线经

过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

12.(5分)如图，在△A8C中，。是8C的中点，E在边A8上，BE=2EA,与CE交于

点0.若瓦•正=6^6•前，则幽的值是.

AC

13.(5分)已知一tanQ^.—=-2,则sin(2a+2L)的值是_______.

tan(a+个)34

14.(5分)设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4,g(x)的

周期为2,且f(x)是奇函数.当xe(0,2］时，f(x)=Vl-(x-l)2,g(X)=

k(x+2),0<x(l,

-1//其中k>0.若在区间(0,9］上，关于x的方程/(x)=g(x)

F,l<x%2,

有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.(14分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

(1)若a=3c,cosB=—,求c的值；

3

(2)若sinA=cosB,求(fi+-_L)的值.

a2b2

16.(14分)如图，在直三棱柱ABC-48i。中，D,E分别为BC,4c的中点，AB=BC.

求证：(1)AiBi〃平面DEC1；

(2)BE±CtE.

4

G

月弋-广卜-'二吵3

22

17.（14分）如图，在平面直角坐标系X。），中，椭圆C：2一+工丁=1（a>〃>0）的焦点为

a”bz

尸1（-1,0）,尸2（I,0）.过尸2作无轴的垂线I,在x轴的上方，1与圆Fit（x-1）2+/

=4/交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF\并延长交圆F1于点B,连结BF1交椭圆C

于点E,连结。Fi.已知。Fi=3.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求点E的坐标.

18.（16分）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有

桥AB（48是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,

QA,规划要求：线段PB,QA上的所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.已知点A,

8到直线/的距离分别为AC和BO（C,。为垂足），测得AB=10,AC=6,80=12（单

位：百米）.

（1）若道路尸8与桥48垂直，求道路尸8的长；

（2）在规划要求下，尸和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路和QA的长度均为d（单位：百米），求当“最小时，P、

。两点间的距离.

DC

19.(16分)设函数/'(x)=(x-a)(x-b)(x-c),b,。尔f(x)为/(%)的导

函数.

(1)若〃=b=c,f(4)=8,求〃的值；

(2)若aWb,b=cf且/(x)和/(x)的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求/(幻的

极小值；

(3)若“=0,0<b^l,c=l,且/(x)的极大值为M,求证：MW-L.

27

20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.

(1)已知等比数列｛〃“｝(H6N*)满足：〃244=45,。3-4。2+4。1=0,求证：数列｛〃“｝为

“加-数列”；

(2)已知数列｛b｝(〃6N")满足：bi=l,-二—，其中S”为数列｛为｝的前〃

$nL^n+1

项和.

①求数列｛仇｝的通项公式；

②设加为正整数，若存在“M-数列”｛c“(〃€N*),对任意正整数4,当时，都

有ckWbk，k+l成立，求m的最大值.

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.

若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.［选修

4-2：矩阵与变换|(本小题满分10分)

21.(10分)已知矩阵A=131.

,22

(1)求人2；

(2)求矩阵A的特征值.

B.|选修4-4：坐标系与参数方程|(本小题满分10分)

22.(10分)在极坐标系中，已知两点A(3,2L),B(a,-2L),直线1的方程为psin

42

(0+2L)=3.

4

(1)求A,8两点间的距离；

(2)求点B到直线/的距离.

C.［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分0分)

23.设x€R,解不等式|x|+|2x-“>2.

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24.(10分)设(1+x)"uao+aix+azr2+…+。,一‘，«GN*.已知。32=2。2a4.

(1)求〃的值；

(2)设(1+料)"=a+八石，其中小旄N*,求a?-3户的值.

25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集4={(0,0),(1,0),(2,0),…，(〃,

0)},Bn={(0,1)

,(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),...,(〃，2)},〃eN*.令

BnUCn.从集合M”中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.

(1)当〃=1时，求X的概率分布；

(2)对给定的正整数”(〃23),求概率P(X，)(用〃表示).

2019年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置

上.

1.(5分)已知集合人={-1,0,1,6},8={_r|x>0,x6R},则408=",6}.

【考点】1E：交集及其运算.

【分析】直接利用交集运算得答案.

【解答】解：VA={-1,0,1,6),”{小>0,xGR},

.*.AAB={-1,0,1,6}n{jc|x>0,x€R}={l,6}.

故答案为：{1,6}.

【点评】本题考查交集及其运算，是基础题.

2.(5分)已知复数Q+万)(1+/)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数”的值是2.

【考点】A5：复数的运算.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值.

【解答】解：V(<a+2z)(1+/)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,

.'.a-2=0>即a—2.

故答案为：2.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.(5分)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5.

/输出■?/

(结束］

【考点】EF：程序框图.

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的

值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

X—19S=0

5=0.5

不满足条件x24,执行循环体，x=2,5=1.5

不满足条件x24,执行循环体，x=3,S=3

不满足条件x24,执行循环体，x=4,5=5

此时，满足条件x24,退出循环，输出S的值为5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得

出正确的结论，是基础题.

4.(5分)函数v="71Gx入2的定义域是卜1，71.

【考点】33：函数的定义域及其求法.

【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.

【解答】解：由7+6x-720,得/-6x-7W0,

解得：-1WXW7.

函数)，={7+6x_X2的定义域是[-L7].

故答案为：I-1,7J.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题.

5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是”.

一旦一

【考点】BC：极差、方差与标准差.

【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10的平均数，由此能求出该组数据的方差.

【解答】解：一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为：

x=—(6+7+8+8+9+10)=8,

6

,该组数据的方差为：

(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=A.

63

故答案为：旦

3

【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

6.（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学

中至少有1名女同学的概率是工.

~10~

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

【分析】基本事件总数“=（^=10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事

件个数〃?=C：c；+（^=7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.

【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，

基本事件总数几=「2=1（）,

选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：

m=r1r1+「2=7,

...选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是

n10

故答案为：J_.

10

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能

力，考查数形结合思想，是基础题.

2

7.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线/-台=|1>0）经过点（3,4）,则该

双曲线的渐近线方程是—上三土近*

【考点】KB：双曲线的标准方程.

【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得6,则双曲线的渐近线方程可求.

2

【解答】解：•.•双曲线f=1（匕>0）经过点（3,4）,

b2

解得廿=2,即

b2

又a=l,...该双曲线的渐近线方程是y=±&X.

故答案为：y=±&X.

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题.

8.(5分)已知数列｛a”｝(nGN*)是等差数列，S是其前〃项和.若a2a5+a8=0,59=27,

则我的值是16.

【考点】85：等差数列的前n项和.

【分析】设等差数列｛〃”｝的首项为m,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组，求

解首项与公差，再由等差数列的前"项和求得S8的值.

【解答】解：设等差数列｛坳｝的首项为山，公差为"，

'(a1+d)(a[+4d)+a[+7d=0(_

贝小QX8,解得&।.

9al+2d=27.d—2

8>7d

As8-gai+^=6X(-5)+15X2=16.

故答案为：16.

【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前”项和，是基础题.

9.(5分)如图，长方体A5C。-4B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点，则三棱锥E-

BCD的体积是10

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】推导出7ABeD-ABCD=ABXBCX")I=120,三棱锥E-BCD的体积：VE.

BCD=A_XSABCDXCE=£"X}XBCXDCXCE==XA8><BCXD£>I,由此能求出结

OO4J.4

果.

【解答】解：：长方体ABC。-AIBICIDI的体积是120,E为C。的中点,

・"ABCD-A冉CD=A8XBCXmi=12。,

三棱锥E-BCD的体积：

VE.«CD=1XSABCDXCE

=^-XyXBCXDCXCE

O4

=-L-XABXBCXDD\

12

=10.

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础

知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

10.（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+W>（x>0）上的一个动点，则点尸到

x

直线x+y=0的距离的最小值是4.

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+&（x>0）的切点，再由点到直

X

线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.

【解答】解：由尸x+_l（x>0）,得y'=1-冬，

xx2

设斜率为-1的直线与曲线y=x+&（x>0）切于（xo,Xn4^-）,

X0X。

由解得x二&（刈>。）・

x0

曲线y=x+3（x>0）上，点尸（&,372）到直线x+y=0的距离最小，

X

最小值为单巨1=4

V2

故答案为：4.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的

应用，是中档题.

II.（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线），=/nx上，且该曲线在点A处的切线经

过点（-e,-1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e,1）.

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】设A（AO,/nxo）.利用导数求得曲线在4处的切线方程，代入已知点的坐标求

解xo即可.

【解答】解：设A（刈，/nxo）,由得y'=—,

:TI_则该曲线在点A处的切线方程为y-/〃M）=」」（x-Xn），

0

x=x（）Xqx0

'・,切线经过点（-e,-1）,/.-l-lnx=——-r

UnY.

x0

即1nxi=■'则M）=e.

UiY.

XQ

・・・4点坐标为（e,1）.

故答案为：（e,1）.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不

同，是中档题.

12.（5分）如图，在AABC中，。是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AQ与CE交于

点0.若标•正=6菽1•前，则细_的值是

AC一~~~

上

BDC

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算.

【分析】首先算出AO=^AD，然后用AB、人牌示出AO、EC-结合标•正=6正•前得

2

掘2=_|正2,进一步可得结果.

【解答】解：设A0dAD=J-（AB+AC），

2

A0=AE+E0=AE+HEC=AE+H（AC-AE）

=（1-n）AE+nAC=-^-AB+nAC

3

（入JRf、1

_A—

,23.2

彳2IF

.••AO=1AD=-（AB+AC）.

24

EC=AC-AE=dAB+AC，

3

6A0-EC=6xl(AB+AC)x(-上语正)

43

卷桐+资・,AC+AC2)

=弓屈2+而语■2,

••,AB-AC=-1AB2+AB•正+匏2,

.2

•1—^2_3^_*2•AB一2

••方AB-5AC…•二7一3，

Z/AC

；AB=气金

"AC.

故答案为：w

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力.

13.（5分）已知一tanC1--=-2,则sin（2a+工）的值是返.

tan（a+子）34―迎一

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值.

【分析】由已知求得tana,分类利用万能公式求得sin2a,cos2a的值，展开两角和的正

弦求sin（2a+2L）的值.

4

+anQQtana2

［解答］解：由一但仃=2得------------L二三，

tan（a+亍）3tanQ+tarry

7T-

1-tanCltarr^-

.,・1理，（1-tan。）二解得tana=2或tanQ二」

1+tanCl33

2

当tana=2时,sin2a=-_=A,cos2a

1+tan2a51+tan2a5

•人皿（2a+十）=$壮2CLco^H:os2asi4=当X号,X喙噜；

2

仪——_n

当tana=sin2a=-21.“Cos2a=r=—,

31+tan2a51+tan2a5

.♦0,兀、_TT7T_3V24V2V2

■•sin（2a+—）—s£n2acos.+cos2CI.sin~r-~X-X--in,

综上，sin（2a+2L）的值是返.

410

故答案为：返.

10

【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式

的应用，是基础题.

14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，/(%)的周期为4,g(x)的

周期为2,且f(x)是奇函数.当A-G(0,2］时，f(x)g(X)=

fk(x+2),0<x<l,

—其中上>0.若在区间(0,9］上，关于x的方程f(x)=g(x)

11-^.x2,

有8个不同的实数根，则k的取值范围是_［工，返)

3-4-

【考点】5B：分段函数的应用.

【分析】由己知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案.

【解答】解：作出函数/(x)与g(x)的图象如图，

由图可知，函数f(x)与g(x)=-L(l〈xW2,3<xW4,5<xW6,7<xW8)仅有2

2

个实数根；

要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，

则/(X)=h(xT产尤(0,2］与g(x)=k(x+2),(0,1］的图象有2个不同

交点，

由(1,0)到直线H-y+2A=0的距离为I,得_因一解得)t=：Z2a>o),

历4

•••两点(-2,0),(L1)连线的斜率无=工,

_3

:.Lwk<®.

34

即人的取值范围为［1,返).

34

故答案为：［工，返).

34

【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想

方法，是中档题.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.(14分)在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.

(1)若a=3c,b—y/2,cosB—^,求c的值；

(2)若更逑_=滔殳，求sin(B+—)的值.

a2b2

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HR：余弦定理.

2222

【分析】(1)由余弦定理得：cos"a+c-b=.1°&=Z.=2,由此能求出C的值.

2ac6c23

(2)由皂逑_=滔殳，利用正弦定理得2sin8=cosB,再由sin2B+cos2B=1,能求出sinB

a2b

=返，cosB=Z运，由此利用诱导公式能求出sin(8+工)的值.

552

【解答】解：(1)•.•在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c.

a—3c,b—yTi'cosB——,

3

...由余弦定理得：

2222

cosB_a+c-b-10c-2_2

2ac6c23

解得。=返.

3

(2)vsinA—cosB

•~2b-，

...由正弦定理得：sinA=sinB叁包,

ab2b

2sinB=cosB,

*/sin2B+cos2B=l,

.入山8=返,3sB=2、5,

55

sin(8+^-)=CGSB=35..

25

【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公

式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

16.(14分)如图，在直三棱柱ABC-4B1C1中，D,E分别为8C,4C的中点，AB=BC.

求证:(1)A1B1〃平面DECi；

(2)BEYCiE.

【考点】L2：棱柱的结构特征；LS：直线与平面平行.

【分析】(1)推导出DE//AB,AB//A\B\,从而DE//A\B\,由此能证明A1B1〃平面DEC\.

(2)推导出BELA4,BELAC,从而BE,平面ACCiAi,由此能证明BELC1E.

【解答】证明：(1)•••在直三棱柱ABC-4B1C1中，D,E分别为BC,AC的中点，

J.DE//AB,AB//A\B\,：.DE//A\B\,

：OEu平面OEC1,481仁平面OEG,

二4Bi〃平面DEC\.

解：(2)•.,在直三棱柱ABC-481。中，E是AC的中点，AB=BC.

：.BELAA\,BELAC,

又A4mAe=4,：.BEmACC\A},

•.♦Cifu平面ACCiAi,：.BELC\E.

【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

22

17.(14分)如图，在平面直角坐标系X。)，中，椭圆C：三_+工_=1(〃>6>0)的焦点为

Fi(-I,0),尸2(1,0).过F2作x轴的垂线I,在x轴的上方，1与圆尸2：(x-1)2+/

=4/交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF\并延长交圆尸2于点B,连结BF2交椭圆C

于点E,连结。Fi.已知。Fi=反.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求点E的坐标.

【分析】(1)由题意得到尸1。〃8尸2,然后求4力，再由AD=£>尸1=反求得”，则椭圆方

2

程可求；

3_

(2)求出。的坐标，得到写出8尸2的方程，与椭圆方程联立即

DF

BFZi24

可求得点E的坐标.

【解答】解：(1)如图，,/F2A=FiB,：.ZF2AB=ZF2BA,

"：FiA=2a=FiD+DA=F2D+F1D,：.AD=F\D,则NZMFi=NQFiA,

NDF1A=ZF2BA,则F1D//BF2,

22

：c=l,.•.扇=/_i,则椭圆方程为三+/_=],

1

a2Ta2-11

222

取x=l,得丫=•曳二L,则AO=2a-且=L=总」L.

D&aa

又Z)FI=5,a+1-j-,解得4=2(a>0).

2a2

22

.♦•椭圆C的标准方程为三+'=i；

43

(2)由(1)知，D(1,2),Fi(-1,0),

2

3

k=k=，WljBF2：

,",BF2DF1y^f尸卷&-1)，

y=-1-(x-l)

联立，22，得217-18x-39=0.

解得i或X2毕舍）.

【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明。FI〃BF2

是解答该题的关键，是中档题.

18.（16分）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有

桥AB（AB是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,

QA,规划要求：线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,

B到直线/的距离分别为4c和8。（C,。为垂足），测得48=10,AC=6,87）=12（单

位：百米）.

（I）若道路P8与桥AB垂直，求道路P8的长；

（2）在规划要求下，尸和。中能否有一个点选在。处？并说明理由：

（3）在规划要求下，若道路P8和。4的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、

。两点间的距离.

DC

【分析】(1)设80与圆。交于M,连接AM,以C为坐标原点，/为x轴，建立直角坐

标系，则A(0,-6),8(-8,-12),D(-8,0)

设点P(xi,0),PB1AB,运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求得P的坐标，可

得所求值；

(2)当时，QA上的所有点到原点。的距离不小于圆的半径，设此时。(孙0),

运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求得Q的坐标，即可得到结论；

(3)设P(a,0),QCb,0),则aW-17,,结合条件，可得。的最小值，由

一2

两点的距离公式，计算可得PQ.

【解答】解：设与圆O交于M,连接AM,

A8为圆。的直径，可得

即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,

以C为坐标原点，/为x轴，建立直角坐标系，则A(0,-6),B(-8,-12),D(-

8,0)

(1)设点P(xi,0),PBA.AB,

则kBP*kAB=-1>

[in0-(~12).-6-(-12)__1

即百商不百r

解得X1=-17,所以P(-17,0),PB="(_]7+8)2+(O+]2)2=15；

(2)当QAJ_A8时，QA上的所有点到原点。的距离不小于圆的半径，设此时Q(x2,0),

则kQA'kAB--1,即0-(-6).二5T、Td，L=-1,解得血=一旦，。(-旦，0),

x2-o0-(-8)22

由-17V-8<-旦，在此范围内，不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半

2

径，

所以P,。中不能有点选在。点；

(3)设P(〃，0),Q(h,0),贝iJaW-17,-XPB2=(tz+8)2+144^225,

2

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之

积为-1,以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档

题.

19.(16分)设函数/(x)=(x-a)(x-6)(x-c),a,b,cGR,f(x)为/(无)的导

函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若aWb,b=c,且f(x)和/(x)的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求f(x)的

极小值；

(3)若a=0,0C6W1,c=l,且/(x)的极大值为M,求证：

27

【考点】6D：利用导数研究函数的极值.

【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x-\根据/(4)=8,可得(4-tz)3=8,

解得a.

(2)a丰b,b=c,设f(x)=(x-a)(x-b)2.令/(x)=(x-a)(x-b)2=0,解

得x=〃，或x=A.f(x)=(x-/?)(3x-b-2a),令，(x)=0,解得x=b,或x

=红也根据/(X)和/(x)的零点均在集合4=｛-3,1,3｝中，通过分类讨论可

3

得：只有a=3,b—-3,可得士乃卜一=生注=leA,可得：f(x)=(%-3)(x+3)2.利

33

用导数研究其单调性可得X=1时，函数/(X)取得极小值.

(3)a=0,0<bWl,c=1,f(x)=x(x-ft)(x-1).f(x)=3,-(2b+2)x+b.△

>0.令/(x)=3/-(2/?+2)x+b=0.解得：xi=b+lJb-匕+屋©皿=

33J

b+l+1b2-b+l

XI<JC2,可得x=xi时，f(x)取得极大值为M,通过计算化简即可证

3

明结论.

【解答】解：(1)*：a=b=c,(X)=(x-〃)3,

V/(4)=8,・・・(4-a)3=8,

.*.4-a=29解E得a=2.

(2)aWb,b=c,设/(x)=Cx-a)(x-b)2.

令/(x)=(x-a)(x-Z?)2=0,解得x=a,或x=b.

f(x)=(x-b)2+2(x-a)(x-/;)=(x-b)(3x-b-2a).

令/(x)=0,解得x=b,或x=2a+b.

3

,：f(x)和/(x)的零点均在集合4={-3,1,3}中,

若：a=-3,h=\,则2空h_=—.6+L=-&A,舍去.

333

a=l,h=-3,则在也=2Z^_=-ZA,舍去.

333

a=-3,6=3,则乙&+匕.=二6+3=-L舍去..

33

a=3,b=\,则2a+2=.6+L=_ZjgA,舍去.

333

a=l,b=3,则叁也=&A,舍去.

33

a=3,b=-3,则2&+bleA,.

33

因此a=3,h=-3,2a+b_=iGA,

3

可得：/(x)=(x-3)(x+3)2.

f(x)=3[x-(-3)](x-1).

可得x=I时，函数/(x)取得极小值，/(I)=-2X42=-32.

(3)证明：a=0,OV〃W1,c=l,

f(x)=x(x-h)(x-1).

f(x)=Qx-b)(x-1)+x(x-1)+x(x-b)=37-(2/?+2)x+b.

△=4(6+1)212b=4。2-46+4=4（b弓）=“

令/(x)=3?-⑵+2)x+b=0.

解得:k三五（。,如四山声…3

X1+无2=/b+2-,x\X2=—I

33

可得x=xi时，/(x)取得极大值为M,

•:f(xi)=2-(26+2)川+人=0,可得：/=■1[⑵+2)xi-0,

JJX]A|o

M=f(xi)=x\(xi-b)(xi-1)

/、,今、、(2b+2)xi-bIo79

=(xi-h)(丫2-%])=z(xi-h)(-------------xi)=—\(2b-1)x丫2-2b2x\+b1]

X1331

i(2b+2)Xi-b9o1o

22220

=W1(2b-l)------弓------2bX1+b]=^[(-2b+2b-2)X1+b+b]^

：-2■+26-2=-2(b2)2-3<0，

在Xie(0,工上单调递减,

3

Y(5b2+5b-2

+b2+b)=

27

27

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、

等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.

(1)已知等比数列｛〃〃｝(nGN*)满足：“244=45,。3-4。2+4。1=0,求证：数列｛〃"｝为

数列”；

(2)已知数列｛包｝(«GN*)满足：61=1,A.=_2_-_^_,其中S为数列｛包｝的前“

SnLbn+1

项和.

①求数列｛〃”｝的通项公式；

②设〃，为正整数，若存在数列”｛cn｝("6N*),对任意正整数4,当kW〃?时，都

有ckWbkWck+i成立，求m的最大值.

【考点】8K：数列与不等式的综合.

【分析】(1)设等比数列｛即｝的公比为4，然后根据42〃4=纺，a3-4〃2+4ai=0列方程求

解，在根据新定义判断即可；

(2)求出左，加，从猜想加，然后用数学归纳法证明；

(3)设｛cn｝的公比为q,将问题转化为［岫］4［)区］.,然后构造函数/(x)

k1112K］min

=-(x>3)>«(X)=当&43)，

XX-1

分别求解其最大值和最小值，最后解不等式应或血，即可.

3飞ID-1

【解答】解：(1)设等比数列｛四｝的公比为q,则

由42a4=45,43-4"2+4“1=0,得

(244,

31q=31<1.ai=l

、q2-4a]q+qa[=0、q=2

数列｛”“｝首项为1且公比为正数

即数列｛即｝为“M-数列”；

(2)①=,

,nL^n+1

.•.当〃=1时，」-」-二2一L,二历=2,

S।b[b]k>2

当〃=2时，—―一-2,...03=3,

S2b[+b2b2b3

当〃=3时，-L------1----------2,.•北4=4,

++

S3bit>2b3b3b4

猜想儿=”，下面用数学归纳法证明；

(/)当71=1时,61=1,满足加=〃，

(")假设〃=攵时，结论成立,BPbk=k,则"=4+1时，

由」--....—,得

Skbkbk+l

k(k+l)

2Q1k

2bkSk一2-一，，

故"=A+1时结论成立，

根据(i)(»)可知，加="对任意的〃eN*都成立.

故数列｛尻｝的通项公式为bn=