2017-2019年高考真题圆锥曲线解答题全集（含详细解析）

2017-2019年高考真题圆锥曲线解答题全集（含详细解析）

22

1.（2019•天津）设椭圆二+==13>/;>0）的左焦点为尸，左顶点为A,上顶点为己

ab~

知g|Q4|=2|O3|（O为原点）.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设经过点F且斜率为3的直线/与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与X轴和直

4

线/相切，圆心C在直线x=4上，且。C//4P.求椭圆的方程.

2.（2019•天津）设椭圆5+4=1（4>6>0）的左焦点为F,上顶点为8.已知椭圆的短轴

储b2

长为4,离心率为白.

（I）求椭圆的方程；

（II）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线尸5与x轴的交点，点N在

y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|（O为原点），且。PJ.MN,求直线网的斜率.

3.（2019•新课标HI）已知曲线C:y=二元2，。为直线》=-工1上的动点，过。作C的两条切

22

线，切点分别为A,B.

（1）证明：直线AB过定点.

（2）若以E（0,|）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.

22

4.（2019•新课标H）已知小鸟是椭圆。:二十%=1（。>%>0）的两个焦点，P为。上的

a-b

点，。为坐标原点.

（1）若APO鸟为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P,使得尸耳J.PR,且的面积等于16,求。的值和a的取值范围.

5.（2019•浙江）如图，已知点F（l,0）为抛物线V=2*（/7>0）的焦点.过点厂的直线交抛

物线于A,3两点，点C在抛物线上，使得&4BC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点

Q,且。在点尸的右侧.记&4FG,ACQG的面积分别为52.

（I）求〃的值及抛物线的准线方程；

（II）求号的最小值及此时点G点坐标.

S?

6.(2019•新课标H)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与3M的斜率之

积为一L记M的轨迹为曲线C.

2

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,。两点，点P在第一象限，PE_Lx轴，垂足为E,连

结QE并延长交C于点G.

⑴证明：APQG是直角三角形；

(»)求APQG面积的最大值.

7.(2019•北京)已知抛物线C:x?=-2py经过点(2,-1).

(I)求抛物线C的方程及其准线方程；

(H)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点加，N,

直线y=-l分别交直线。〃，CW于点A和点3.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两

个定点.

22

8.(2019•北京)已知椭圆。:=+4=1的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1).

a~b

(I)求椭圆C的方程；

(II)设。为原点，直线/:y=Ax+f(/w±l)与椭圆C交于两个不同点尸、Q,直线AP与x

轴交于点〃，直线A。与x轴交于点N.若|OM||CW|=2,求证：直线/经过定点.

22

9.(2019•江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：T+3=1(a>/>>0)的焦点为

6(-1,0),6(1,0).过写作x轴的垂线/,在x轴的上方，1与圆巴：(x-l)2+y2=4/交于

点A,与椭圆C交于点。.连结并延长交圆且于点5,连结B入交椭圆C于点E,连

结。耳.己知。耳=*.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求点求的坐标.

Z

Y1

10.(2019•新课标III)已知曲线C:y=],O为直线y=-5上的动点，过。作C的两条切

线，切点分别为A,B.

(1)证明：直线AB过定点；

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段他的中点，求四边形453E的

面积.

11.(2019•新课标I)已知抛物线C：V=3x的焦点为斜率为|■的直线/与C的交点为A,

B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|8F|=4,求/的方程；

(2)若AP=3P8,求|AB|.

12.(2019•上海)已知抛物线方程V=4x,尸为焦点，尸为抛物线准线上一点，。为线段

P/7与抛物线的交点，定义：d(P)=f1^.

Q

(1)当时，求d(P)；

(2)证明：存在常数。，使得2"(P)=|PF|+a；

(3)《，p2,8为抛物线准线上三点，且1621=12/1，判断“(6)+d(A)与2d(2)的关

系.

22

13.(2018•全国)双曲线5=1,耳、鸟为其左右焦点，C是以心为圆心且过原点的

圆.

(1)求C的轨迹方程；

(2)动点尸在C上运动，M满足=求M的轨迹方程.

14.（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:丁=4x上存在

不同的两点A,3满足24,的中点均在C上.

（I）设4?中点为证明：对7垂直于y轴；

2

（II）若尸是半椭圆Y+匕=l（x<0）上的动点，求面积的取值范围.

15.（2018•新课标HI）已知斜率为上的直线/与椭圆C:工+匕=1交于A,3两点，线段4?

43

的中点为M（l,m）｛m>0）.

（1）证明：

2

（2）设尸为C的右焦点，P为C上一点，且FP+E4+FB=0.证明：|E4|,\FP\,\FB\

成等差数列，并求该数列的公差.

16.（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系宜万中，椭圆C过点（"；），焦点阡（-心，0）,

鸟（后，0）,圆。的直径为月鸟.

（1）求椭圆C及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

/7

②直线/与椭圆。交于A,B两点.若AOA3的面积为?干，求直线/的方程.

17.（2018•新课标III）已知斜率为左的直线/与椭圆C:三+工=1交于A,B两点，线段AB

43

的中点为M（l,m）（m>0）.

（I）证明：k<--；

2

（2）设尸为C的右焦点，尸为C上一点，且FP+E4+F8=0,证明：2|PPRE4|+|EB|.

18.（2018•上海）设常数，>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2,0）,直线=

曲线「:V=8x（脸/f,y?O）./与x轴交于点A、与「交于点8.P、。分别是曲线「与

线段上的动点.

（1）用f表示点B到点F的距离；

（2）设，=3,|尸。|=2,线段。。的中点在直线EP上，求AAQP的面积；

（3）设f=8,是否存在以fP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点£在「上？若存在，求点

P的坐标；若不存在，说明理由.

工2V2

19.（2018•天津）设椭圆二+与=1（。>6>0）的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离

a厅

心率为|A8|=.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线/:y=Ax（Z<0）与椭圆交于P,。两点，1与直线4?交于点“，且点P,M

均在第四象限.若AfiRW的面积是ABPQ面积的2倍，求攵的值.

22

20.（2018•天津）设椭圆r方+v方=l（a>b>0）的左焦点为尸，上顶点为已知椭圆的离

心率为半，点A的坐标为S,0）,且||A31=6夜.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线/:丫=区（我>0）与椭圆在第一象限的交点为产，且/与直线A3交于点Q.若

尚=竽豆!140f2(0为原点)，求左的值.

21.(2018•北京)已知椭圆M:[+]=l(a>b>0)的离心率为如，焦距为2近.斜率为

ab~3

«的直线/与椭圆/有两个不同的交点A,B.

(I)求椭圆A7的方程；

(II)若k=l,求|48|的最大值；

(IH)设尸(-2,0),直线与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆〃的另一个交点

为£>.若C,。和点Q(-(,：)共线，求k.

22.(2018•新课标I)设椭圆C:'+y2=i的右焦点为F,过F的直线/与C交于A,B两

2-

点，点M的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：NOMA=NOMB.

23.(2018•北京)已知抛物线C：V=2px经过点P(l,2),过点。(0,1)的直线/与抛物线C有

两个不同的交点A，B,且直线Q4交y轴于〃，直线P8交)轴于N.

(I)求直线/的斜率的取值范围；

(H)设。为原点，QM=2QO,QN=RQO,求证：?+，为定值.

24.(2018•新课标II)设抛物线C:V=4x的焦点为尸，过F且斜率为k(k>0)的直线/与C

交于A,B两点，|A8|=8.

(1)求/的方程：

(2)求过点A,8且与C的准线相切的圆的方程.

25.(2018•新课标I)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线/与C交

于M,N两点.

(I)当/与x轴垂直时，求直线助0的方程；

(2)证明：NABM=NABN.

26.(2018•上海)已知aeR,双曲线「与一丁小

(1)若点(2,1)在「上，求「的焦点坐标

(2)若〃=1,直线>=代+1与「相交于A、8两点，且线段AB中点的横坐标为1,求实

数k的值

27.（2018♦上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，

某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2

是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点。、

A、3在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，。CJ_A8于C,A8=3米，OC=4.5米

（1）求抛物线的焦点到准线的距离

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SO,AB、OE是圆锥底面的直径，求圆锥的

母线与轴的夹角的大小（精确到0.01。）

图1图2图3

22

28.（2017•全国）设椭圆C:=+[=l（a>6>0）的中心为。，左焦点为尸，左顶点为A,

a'b'

短轴的一个端点为B,短轴长为4,A4所的面积为有-1

（1）求a,b；

（2）设直线/与。交于尸，。两点，M（2,2）,四边形OPMQ为平行四边形，求/的方程.

29.（2017•上海）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆r《+y2=],A为「的上顶点，P

为「上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.

（1）若P在第一象限，且|OP|=&,求P的坐标；

（2）设2»』），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

55

（3）若,直线A。与「交于另一点C,且AQ=24C,PQ=4PM,求直线AQ

的方程.

比21

30.（2017•天津）设椭圆:+4=1（。>6>0）的左焦点为F，右顶点为A,离心率为已

a'b'2

知A是抛物线r=2Px（p>0）的焦点，尸到抛物线的准线/的距离为;.

（7）求椭圆的方程和抛物线的方程;

(〃)设/上两点P,。关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线B。与X轴

相交于点。.若的面积为渔，求直线AP的方程.

2

2

31.(2017•新课标H)设。为坐标原点，动点M在椭圆C：L+V=1上，过M作x轴的垂

2

线，垂足为N,点P满足NP=&MW.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点0在直线x=-3上，且0PPQ=1.证明：过点尸且垂直于。。的直线/过C的左

焦点F.

f2

32.(2017•天津)己知椭圆"+v4=13>6>0)的左焦点为尸(-。,0),右顶点为4,点E的

a'b-

序

坐标为(0,c),AEE4的面积为一.

2

(/)求椭圆的离心率；

(〃)设点Q在线段AE上，|F0|--c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点N在x轴上，

PMHQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

⑴求直线EP的斜率；

(〃)求椭圆的方程.

33.(2017•山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:[+与=1(a>6>0)的离心率为立，

a'b-2

焦距为2.

(I)求椭圆E的方程.

A

(II)如图，动直线/:y=&x-苧交椭圆E于4,B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC

的斜率为网，且｛&=曰，M是线段0c延长线上一点，且|MC|:|AB|=2:3,M的

半径为|MC|,OS,。7"是M的两条切线，切点分别为S,T,求NSO7的最大值，

并求取得最大值时直线/的斜率.

34.（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:=+4=1（〃>。>0）的离心率为

a~b~

孝，椭圆C截直线y=l所得线段的长度为2啦.

（I）求椭圆C的方程；

（II）动直线/:y=日+皿机*0）交椭圆C于A,B两点，交y轴于点M.点N是M关于。

的对称点，N的半径为|NO|.设。为的中点，DF与N分别相切于点E,

35.（2017•北京）己知抛物线C:_/=2px过点尸（1,1）.过点（0，）作直线/与抛物线C交于

不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,5,其中。

为原点.

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段的中点.

22

36.如图，在平面直角坐标系xOv中，椭圆£二十与=l（a>h>0）的左、右焦点分别为月，

ab-

居，离心率为_L,两准线之间的距离为8.点尸在椭圆E上，且位于第一象限，过点耳

-2

作直线尸石的垂线/1,过点名作直线P居的垂线/?.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线/「/?的交点。在椭圆E上，求点P的坐标.

37.（2017•北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2,O）,8（2,0）,焦点在x轴上，离心率

为冬

（I）求椭圆C的方程；

（II）点。为x轴上一点，过。作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过。作40

的垂线交BN于点E.求证：ASDE与ASDN的面积之比为4:5.

38.（2017•新课标m）在直角坐标系xQy中，曲线y=d+，nr-2与x轴交于A、8两点，

点C的坐标为（0,1）,当〃?变化时，解答下列问题：

（1）能否出现4CL3c的情况？说明理由；

（2）证明过A、B、C三点的圆在），轴上截得的弦长为定值.

39.（2017•新课标I）已知椭圆。:£+2=13＞。＞0），四点I。/），6（0,1），平），

舄（1,弓）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线/不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,

证明：/过定点.

40.（2017•新课标I）设A,3为曲线C:y=工上两点，A与8的横坐标之和为4.

4

（1）求直线的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线平行，且求直线4?

的方程.

41.(2017•浙江)如图，已知抛物线d=y，点A(-g,；),S(|,'),抛物线上的点P(x,

y)(—4<x<3),过点5作直线AP的垂线，垂足为。.

(I)求直线AP斜率的取值范围；

(II)求|「4||尸。|的最大值.

42.(2017•新课标IH)已知抛物线Uy?=2x,过点(2,0)的直线/交C于A,3两点，圆〃

是以线段4?为直径的圆.

(1)证明：坐标原点。在圆M上；

(2)设圆M过点P(4,-2),求直线/与圆M的方程.

43.(2017•上海)已知双曲线直线/:丫=履+皿加片0),/与「交于产、

。两点，户为P关于)，轴的对称点，直线PQ与y轴交于点N(0,〃)；

(I)若点(2,0)是「的一个焦点，求「的渐近线方程；

(2)若b=l,点P的坐标为(-1,0),且NP'=-P'Q,求k的值；

2

(3)若"?=2,求〃关于b的表达式.

2017-2019年高考真题圆锥曲线解答题全集（含详细解析）

参考答案与试题解析

解答题（共43小题）

1.（2019•天津）设椭圆二+与=13>6>0）的左焦点为尸，左顶点为4,上顶点为8.己

arkr

知G|（M|=2|O8|（O为原点）.

（I）求椭圆的离心率；

（II）设经过点产且斜率为3的直线/与椭圆在x轴上方的交点为尸，圆C同时与x轴和直

4

线/相切，圆心C在直线x=4上，且OC//AP.求椭圆的方程.

【解答】解：（I）y/3\OA\=2\OB\,即为耳=26,

即a=2c,h=\/3c,

22

可得椭圆方程为r二十v与=1，

4c23c2

设直线EP的方程为y=：（x+c）,

代入椭圆方程可得7x2+6cx-13c2=0,

解得光=<:或工=-,

7

代入直线PF方程可得丫=主或y=-生（舍去），

214

可得尸（C,主），

2

圆心C在直线x=4上，且。C//AP,可设C（4,f）,

3c

可得%系’解得‘=2’

即有C（4,2）,可得圆的半径为2,

由直线尸尸和圆C相切的条件为〃=r,

可得小高产=2,解得

可得。=4,b=2G，

可得椭圆方程为E+《=i.

1612

22

2.（2019•天津）设椭圆=+二=1（。＞匕＞0）的左焦点为尸，上顶点为3.已知椭圆的短轴

a'b-

长为4,离心率为害.

（I）求椭圆的方程；

（II）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点〃为直线与x轴的交点，点N在

y轴的负半轴上.若|ON|=|O尸1（0为原点），且OPLMN,求直线总的斜率.

【解答】解：（I）由题意可得26=4,即6=2,e=£=好，a2-b2=c2,

a5

解得a—垂＞1c=1,

JV2

可得椭圆方程为二+匕=1；

54

（II）B（0,2）,设依的方程为y="+2,

代入椭圆方程4/+5y2=20,

可得(4+542)/+20履=0,

解得x=或x=0,

4+5公

即有P（-上々8-10A:2

4+5公4+5公

2

y=kx+2f令y=0,可得〃(——,0),

k

又N(0,-l),OP±MN,

行4曰8—10攵21,2廊

可得——-——-=-1，解得％二±—

-20k25

T

可得总的斜率为士等.

j-21

3.（2019•新课标m）已知曲线C:y=],方为直线y=-]上的动点，过。作C的两条切

线，切点分别为A,B.

（1）证明：直线钻过定点.

（2）若以E（0,j）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段他的中点，求该圆的方程.

【解答】（1）证明：设>Ag,y),则X；=2yl

1

yiH—

由于y=x,.切线ZM的斜率为百，故-----=Xj

x,-t

整理得：2rxl—2%+1=0.

设3（w，%），同理可得2/-2y2+1=0.

故直线AB的方程为2tx-2y+\=0.

直线AB过定点（0,；）;

（2）解：由（1）得直线4?的方程y=fx+g.

1

y="+孑

由，,”,可得/-2a-1=0.

厂

尸石

于是玉+W=2f,y+%=，(玉+W)+1=2r+1.

设M为线段AB的中点，则MQ-+g）,

由于EW_LA8,而EM=(r,r-2),AB与向量(1")平行,

.」+(*-2»=0,解得r=0或"±1.

当t=0时，|EM|=2,=4；

当「=±1时，所求圆的方程为f+（y—|）2=2.

2;2

4.（2019•新课标II）已知正月是椭圆。：二+4=l（a＞匕＞0）的两个焦点，P为C上的

ab「

点，。为坐标原点.

（1）若APO行为等边三角形，求C的离心率;

(2)如果存在点尸，使得心J.PR,且△6P鸟的面积等于16,求。的值和a的取值范围.

【解答】解：(1)连接由APOE为等边三角形可知在△耳产工中，

ZF}PF2=90°,\PF2\=C,|P/"=J5c,于是2«=|尸耳1+1%1=(8+l)c，

故曲线c的离心率6=£=6-1.

a

(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当：-\y\2c=\6,

2

x十cx—ca

即c|y|=16,①

x24-y2=c2,②

由②③及。2=6+。2得y2=又由①知9=,故匕=4,

CC

•?

由②③得f=之(。2-/),所以C?.方，从而/=从+/..2加=32,故a.4夜，

C

当人=4,a.4及时，存在满足条件的点P.

所以h=4,a的取值范围为［4立，+oo).

5.(2019•浙江)如图，已知点F(l,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点尸的直线交抛

物线于A,8两点，点C在抛物线上，使得MBC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点

Q,且。在点尸的右侧.记入4FG,ACOG的面积分别为S,S2.

(I)求p的值及抛物线的准线方程；

【解答】解：（I）由抛物线的性质可得：R=i,

2

「・p=2,

一.抛物线的准线方程为无=-1；

A

（II）设A（X，yA）»BQ],,%）,C（xc,yc）,重心G（%，Jc）»

令力=2ar^O,则

t2_i

由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=--y+1,

2t

X2

代入>2=4,得：2_2(r-l)=0,

t

•*-2)B=~4，即%=~~，,

又见=g(%A+4+%)，兄=3(%+%+%)，重心在X轴上，

2

/.2t-----F=0，

.-.C((--/)2,2(17)),G(2l:2/+2,0),

tt3r

・•・直线AC的方程为3-2/=2心一/）,得。（产-1,0）,

。在焦点尸的右侧，

4

1I口「11I।2/-2广+1..0.

£=]FG||%|"I37""I"

44

S?^\QG\\yc\[f2_1_2/-2r+2||2_2f|r-l

23rt

令m=『-2,则〃2>0,

二当，=招时，今取得最小值为1+日，此时G（2,0）.

§22

6.（2019•新课标II）已知点A（-2,0）,8（2,0）,动点满足直线AW与8”的斜率之

积为记M的轨迹为曲线C.

2

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点尸在第一象限，PEJ.X轴，垂足为E,连

结QE并延长交C于点G.

⑴证明：APQG是直角三角形；

（〃）求APQG面积的最大值.

【解答】解：（1）由题意得上x上=」，

x+2x—22

r22

整理得曲线C的方程：亍+、v=1（忏0）,

曲线C是焦点在X轴上不含长轴端点的椭圆;

⑴设P（%，%）,则。（-/，-%）,

E5，0），G（xc,yc）,

二直线QE的方程为：y=^-（x-Xu）,

2x°

与1+曰=1联立消去y,

得（2/2+%?）12—2x^y^x+$2yo'_8叫「=0，

x（）X）-8%）

2代+%?

「一（8f2»。

••人G-C2,2

2工0+y（）

•口=.%f）=当/©

4（）/玉）十九

k_打一打

KpG~

%一戈0

）b（4-x：-%2）

一""一）。

-（8-%2）r

0

4%---2%玉2-%3

-

8%--voyo-2Xg-xoyo-

%（4-3天:

2M4-y；-xj）

把与2+2%2=4代入上式,

得k广%（4_3/2_4+/2）

'「玉’（4-%2-4+2%2）

一%X2x；

2%%2

=-幺，

%，

'1-kgxkPG=—x（—-）=—1,

%y0

PQIPG,

故APQG为直角三角形；

=；।正।x（%-q）

1,、

=5%（%+为）

=gx>](8一-%，%

+%]

2x『+城

1）8-y（：+2X（；+y；

=22嫣+为2

.%厮（4+々；）

2与2+%2

先*0（*0+2%+x（））

2x°+y0

2乂吊（山（）+），（））

2x；+y；

8.%Xo（x（；+）J）

（2与2+%2）52+2%2）

二8（%x；+XoX：）

一20+2%4+5堞%2

8（&+%）

=.%%

2臣+当2+1

%X。

令小区+生,则r..2,

%X。

c8/8

7

ZzH—

t

利用“对号”函数/Q）=2f+1在[2,+oo）的单调性可知，

t

1Q

/0）..4+]=1«=2时取等号），

。816/山I2A/3.

S&PQG，,=—（此时犬o=y（）=—^―），

2

故面积的最大值为孩.

7.（2019•北京）已知抛物线C:d=-2py经过点（2,-1）.

（I）求抛物线C的方程及其准线方程；

（H）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点加，N,

直线y=-l分别交直线。〃，CW于点A和点3.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两

个定点.

【解答】解：（I）抛物线C:V=-2py经过点（2,-1）.可得4=22，即p=2,

可得抛物线C的方程为d=-4y,准线方程为y=l：

（II）证明：抛物线丁=一^的焦点为尸（0,-1）,

设直线方程为丫=履-1,联立抛物线方程，可得V+4履-4=0,

设M（X1,y）,N（X2,y2）,

可得X1+x2=-4k,x（%2=-4,

直线OM的方程为旷=&-即丁=一±工，

/4

直线ON的方程为》=^^,即、=—三工，

x24

可得4(二4，-1),B(4—,-1),

%x2

-Ab

可得AB的中点的横坐标为2(1L+1-L)=2*=2〃，

&x2-4

即有4?为直径的圆心为(2k,-1),

半径为四1二」也一巴|=2.婀而=2后,

22%w4

可得圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(1+公)，

化为x2-4fcc+(y+l)2=4,

由x=。，可得y=l或-3.

则以45为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1),(0,-3).

22

8.(2019•北京)已知椭圆。:=+斗=1的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1).

ab

(I)求椭圆C的方程；

(0)设。为原点，直线/:y=fcv+r(fH±l)与椭圆C交于两个不同点尸、Q,直线”与x

轴交于点M,直线A。与x轴交于点N.若［O例||ON|=2,求证：直线/经过定点.

【解答】解:(I)椭圆C'.—+~^=1的右焦点为(1,0),且经过点40,1).

a~b~

可得b=c=l,a=\jh2+c2=5/2,

则椭圆方程为^+)，2=1；

(II)证明：y=履+，与椭圆方程%2+2;/=2联立,可得(1+2公)/+4依+2--2=0,

设P(玉，y),Q(X2,y2),

△=16J12?-4(1+2*2)(2?-2)>0,x+x,=--竺r，占々=生二，

1气1+2公"-\+2!c

好的方程为》=入二1+1,令y=0,可得>=」」，即M(』-,0)；

XIf1-%

A。的方程为y=*Ux+l,令)，=0,可得即N(-^,()).

士］一必1一%

(1-)\)(1-、2)=1+凹必-(X+%)=1+(3+t)(kx-,+t)-(kxy+kx2+2t)

=­)+公*Rj(一邙(If

1+2公

\OM\\ON\=2,即为|」——上一|=2,

1->,1-^2

即有|/一1|=«-1)2，由f*±l,解得r=0,满足△＞(),

即有直线/方程为丫=依，恒过原点(0,0).

22

9.(2019•江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆。:+斗=1(4＞。＞0)的焦点为

邛-1,0),5(1,0).过鸟作x轴的垂线/,在x轴的上方，1与圆马：(x-l)2+y2=4/交于

点A,与椭圆C交于点。.连结4耳并延长交圆居于点5,连结B入交椭圆C于点E,连

结。”.已知。耳=g.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点E的坐标.

【解答】解：(1)如图，F2A=F2B,.-.ZF2AB=ZF2BA,

F2A=2a=F2D+DA=F2D+FtD,:.AD=FtD,则NZMf；=,

ZDFtA=ZF2BA,则FtD//BF2,

2

c=\,.-.h2=a2-\,则椭圆方程为J+Tv—=1,

a2a2-l

TT-,zCl"~1mrl”cca2"2+1

取尤=1,得By0=----,贝!JAD=2ci-------=-----•

aaa

又DF.=—9/."+1=—,解得ci=2(a>0).

2a2

22

椭圆c的标准方程为士r+匕v=1；

43

(2)由(1)知，D(l,1),耳(-1,0),

3

o33

•・^明BF=k0l,Fh\=一2=—4,则2BK^:4y=、—(x/—1),

得21/-39=0.

解得N=-1或”半(舍).

10.(2019•新课标HD已知曲线C:y=],。为直线y=-g上的动点，过。作C的两条切

线，切点分别为A,B.

(1)证明：直线A3过定点；

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线A3相切，且切点为线段A3的中点，求四边形4)况的

面积.

【解答】解：(1)证明：y=[■的导数为y'=x,

22

设切点4公，%),3(工2，%)，即有凹=千，%=妄-，

2

切线ZM的方程为y-y=%(x-xj,y=xtx-^-,

切线DB的方程为y=x2x-^-,

联立两切线方程可得》=1(占+占)，

2

可得y=，即玉&=-1，

直线43的方程为y-冬=比/(彳-玉)，

2xi-x2

r21

即为y----——(A,,4-X2)(X-X1),

可化为y=g(Xi+电)工+；,

可得回恒过定点(0-)；

2

(2)设直线他的方程为y=fcc+g,

由(1)可得%+工2=2攵，百9二一1,

AS中点H(A]+1),

由H为切点可得E到直线AB的距离即为|E"|,

=次+(%2_2)2,

解得％=0或2=±1,

即有直线AB的方程为y=g或y=±x+；,

由y=g可得|AB|=2,四边形AD3E的面积为之昭+5乂叨=3*2、(1+2)=3；

由),=±x+g,可得|AB|=>ATT>/^=4衣，

此时码,等到直线钻的距离为

|1--|

£(0,|)到直线AB的距离为々2-=&,

则四边形ADBE的面积为SMRK+鼠板,=；x4五x(夜+0)=8；

综上可得四边形ADBE的面积为3或8.

11.(2019•新课标I)已知抛物线C:丁=3x的焦点为F,斜率为|的直线/与C的交点为A,

B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|8F|=4,求/的方程;

(2)若4P=3PB,求|48|.

【解答】解：(1)设直线/的方程为y=3(x-f),将其代入抛物线V=3x得:

999

设4

X电%

9

M

2-4

%+◎

93-

4-

437

由抛物线的定义可得：|AF|+|B/n=%+x,+p=2f+-+±=4,解得r=一，

3212

直线/的方程为＞=3尤-？.

28

(2)若AP=3尸8,则y=—3乂，^(XI-/)=-3X1(A2-Z),化简得芯=-3々+今，③

由①②③解得f=l,Xj=3,Xj=-,

3

--1AB1==孚-

12.(2019•上海)已知抛物线方程V