2023届天津市六校高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线x2A．23 B．2 C．3 D．2．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件与互斥 B．事件与互斥C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥3．已知随机变量的分布列为（）01若，则的值为（）A． B． C． D．4．函数的一个单调增区间是（）A． B． C． D．5．由曲线xy=1，直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（）A．116B．92C．16．的展开式中有理项系数之和为（）A． B． C． D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，f（－2）＝－3，数列{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋…＋f（a2018）＝（）A．－2 B．－3 C．2 D．38．复数（是虚数单位）的虚部是（）A.B.C.－D.－9．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．10．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ11．若随机变量的分布列为（）且，则随机变量的方差等于（）A． B． C． D．12．已知f(x)=2x,x<0a+log2x,x≥0A．-2 B．2 C．0 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某小组共8人，若生物等级考成绩如下：2人70分、2人67分、3人64分、1人61分，则该小组生物等级考成绩的中位数为______.14．曲线在点处的切线方程为__________．15．若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.16．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5=0，则=________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）学校某社团参加某项比赛，需用木料制作如图所示框架，框架下部是边长分别为的矩形，上部是一个半圆，要求框架围成总面积为.（1）试写出用料（即周长）关于宽的函数解析式，并求出的取值范围；（2）求用料（即周长）的最小值，并求出相应的的值.18．（12分）在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为AD，PC的中点．Ⅰ求证：平面BEF；Ⅱ若，求二面角的余弦值．19．（12分）设，，已知函数.（I）当时，求的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意，函数至少有三个零点，求实数的取值范围.20．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆，右焦点为．（1）若其长半轴长为，焦距为，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点到点的距离的最大值是．22．（10分）有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率(用数字作最终答案)：(1)恰好有5节车厢各有一人；(2)恰好有2节不相邻的空车厢；(3)恰好有3节车厢有人．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线．2、B【解析】

根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．3、A【解析】

先由题计算出期望，进而由计算得答案。【详解】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选A【点睛】本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。4、B【解析】

对函数在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项.【详解】对于A选项，当时，，所以，函数在区间上不单调；对于B选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减；对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减.故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题.5、C【解析】试题分析：由题意得，由xy=1和y=x，解得交点坐标为(1,1)，所以围成的封闭图形的面积S==(1考点：定积分求解曲边形的面积．6、B【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（1+）6的展开式的通项公式为Tr+1=•，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++=25=32，故选：B．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数7、B【解析】

分析：利用函数的奇偶性和对称性推出周期，求出前三项的值，利用周期化简式子即可．详解：定义在R上的奇函数满足，故周期,数列是等差数列，若，,故，所以：，点睛：函数的周期性，对称性，奇偶性知二推一，已知奇函数，关于轴对称，则，令代入2式，得出，由奇偶性，故周期.8、C【解析】试题分析：，虚部为。考点：复数的运算。9、C【解析】故选10、B【解析】

利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：，，是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ），，中至少有一个发生；（Ⅱ），，中最多有一个发生；（Ⅲ），，中至少有两个发生（Ⅳ），，最多有两个发生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故中的两个事件相互为对立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故中的两个事件不能相互为对立事件．故选：．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11、D【解析】分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量的方差.详解：由题得所以故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．12、C【解析】

由函数fx=2x,x<0a+log2【详解】∵函数fx∴f（﹣1）＝12∴f[f（﹣1）]=f12解得：a＝0，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、65.5【解析】

把8人的生物等级考成绩从小到大排列,最后按照中位数的定义可以计算出该小组生物等级考成绩的中位数.【详解】8人的生物等级考成绩从小到大排列如下：,所以该小组生物等级考成绩的中位数为.故答案为：【点睛】本题考查了中位数的计算方法,考查了数学运算能力.14、.【解析】分析：先求导求切线的斜率，再写切线方程.详解：由题得，所以切线方程为故答案为：.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，考查求切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是15、【解析】

由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.【详解】以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点：，所以概率故得解．【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.16、－11【解析】通过8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，所以＝＝＝－11.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），此时【解析】

（1）根据面积可得到与的关系，写出周长即可（2）根据（1）写出的，利用均值不等式求解即可.【详解】（1），，，由得.（2），，当且仅当，即等号成立.【点睛】本题主要考查了实际问题中的函数关系，均值不等式，属于中档题.18、(1)见解析;(2).【解析】

（1）连接交于，并连接，，由空间几何关系可证得，利用线面平行的判断定理可得平面.（2）（法一）取中点，连，，，由二面角的定义结合几何体的特征可知为二面角的平面角,计算可得二面角的余弦值为.（法二）以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则平面法向量可取：,平面的法向量,由空间向量的结论计算可得二面角的余弦值为.【详解】（1）连接交于，并连接，，，，为中点，，且，四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2）（法一）由为正方形可得，.取中点，连，，，侧面底面，且交于，，面，又，为二面角的平面角,又，，，，所以二面角的余弦值为.（法二）由题意可知面，，如图所示，以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则，，，.平面法向量可取：,平面中，设法向量为，则,取,，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判断定理，二面角的定义与求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（I）将代入函数的解析式，并将函数的解析式表示为分段函数的性质，再结合二次函数的性质得出函数的单调递增区间；（Ⅱ）将函数的解析式去绝对值，表示为分段函数的形式，并判断出该函数的单调性，结合零点存在定理判断函数的零点，得出关于与的不等式关系，利用不等式的性质求出的取值范围．【详解】（Ⅰ）当时，，所以的单调增区间为.（Ⅱ）因为，且，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.①若，则在和上无零点，由的单调性及零点的存在性定理可知，至多有两个零点；故，即对任意恒成立，可知.②当时，若或成立，则由的单调性及零点的存在性定理可知至多有两个零点，故，即成立，注意到，故，即对任意成立，可知，综上可知，.因为，所以.设，其顶点在，（即线段）上运动.若，显然存在字图与抛物线只有两个交点的情况，不符合题意，故，如图画出草图.显然当点自点向点运动时，两个图象总有，两个交点，故只需要字形图象右支与抛物线有交点即可，即有两个正根，满足，即对任意都成立，即，又，所以.【点睛】本题考查了绝对值函数单调区间的求解和函数的零点问题，利用单调性和零点存在定理是解决函数零点问题的常用方法，考查分类讨论思想和转化思想，属于难题．20、（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）【解析】

由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；故所求的概率为．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．21