大学概率论与数理统计复习资料

v1.0可编写可改正第一章随机事件及其概率知识点：概率的性质事件运算古典概率事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式常用公式(1)P(A)r/nP(A)L(A)/L(S)(2)P(AB)P(A)P(B)P(AB)(加法定理)nnP(Ai)P(Ai)设An两两互斥有限可加性(A1,A2,)i1i1nnP(Ai)1[1P(Ai)](A1,A2,An相互独即刻)i1i1(3)P(B/A)P(AB)/P(A)(4)P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B)P(AB)P(A)P(B)(A与B独即刻)P(AB)0(A,B互不相容时)(5)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(当BA时)n(6)P(B)P(Ai)P(B/Ai)(全概率公式)i1(其中A1,A2An为的一个区分,且P(Ai0))(7)P(Ai/B)P(Ai)P(B/Ai)(逆概率公式)nP(Ai)P(B/Ai)i11v1.0可编写可改正应用举例1、已知事件A,B知足P(AB)P(AB)，且P(A)0.6，则P(B)（）。2、已知事件A,B相互独立，P(A)k,P(B)0.2,P(AB)0.6，则k（）。3、已知事件A,B互不相容，P(A)0.3,P(B)0.5,则P(AB)（）。4、若P(A)0.3,P(B)0.4,P(AB)0.5,P(BAB)（）。5、A,B,C是三个随机事件，CB，事件ACB与A的关系是（）。6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（）。7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表示：到家时间5:30~5:405:40~5:505:50~6:006:00此后乘地铁乘汽车某日他抛一枚硬币决定乘地铁仍是乘汽车。1）试求他在5:40~5:50到家的概率；2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。解（1）设A1={他是乘地铁回家的}，A2={他是乘汽车回家的}，Bi={第i段时间到家的}，i1,2,3,4分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00此后则由全概率公式有2v1.0可编写可改正P(B2)P(A1)P(B2|A1)P(A2)P(B2|A2)由上表可知P(B2|A1)0.4，P(B2|A2)0.3，P(A1)P(A2)0.5P(B2)0.50.40.30.50.35（2）由贝叶斯公式P(A1B2)0.50.44P(A1|B2)0.357P(B2)8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。看作业习题1:4,9,11,15,16第二章随机变量及其散布知识点：连续型（离散型）随机变量散布的性质连续型（离散型）随机变量散布（包括随机变量函数的散布）常用散布重要内容散布函数的性质（1）F(x)单一递增，即x1x2F(x1)F(x2)（2）F()limF(x)0xF()limF(x)1x（3）F(x)右连续，即F(x0)F(x)(4)0F（x）1xR2．散布律的性质3v1.0可编写可改正1）非负性2）规范性

0pi1,(i1,2...)pi1i散布密度函数的性质1）非负性f(x)0（xR）（2）规范性f(x)dx1概率计算P(Xa)F(a)P(x1Xx2)P(Xx2)P(Xx1)P(Xa)F(a)F(a0)X为连续型随机变量：P(Xa)F(a)F(a0)0aP(Xa)f(x)dxP(aX)f(x)dxax2P(x1Xx2)f(x)dxx1常用散布二项散布:P{|4X|1}2(1)168.27%P{|X|2}2(2)195.45%P{|X|3}2(3)199.73%v1.0可编写可改正记为X~B（n,p）或X~b(n,p)P(Xk)Cnkpkqnk,(k0,1,...n)泊松散布X~()或X~P（）kP(Xk)e,(k0,1,...;0)k!kCnkpk(1p)nk泊松定理e,(np)k!条件：ｎ较大且ｐ很小平均散布X~U(a,b)f(x)1,axbba0，其他指数散布X~E()ex,x0,(0)f(x)0，其他正态散布X~N(,2)1(x)2f(x)e222,x(,)(1)(0)0.55v1.0可编写可改正(2)(x)1(x)F(x)

xP{|X|1}68.27%P{|X|2}95.45%P{|X|3}99.73应用举例1、设f(x)ke2x(x0)是某随机变量的密度函数，则k（）。2、设随机变量X的概率密度为f(x)1cosx,(x2)，则22P(1X0)＝（）。3、设随机变量X的散布函数为F(x)0,x1,lnx,1xe,则1,xe.P(X2)=（）。4、设X~N(,2),知足P(X1)P(X1)的参数（）。5、离散型随机变量X的散布律为P(X111,2,3)，则c=k)(kck!（）。6、土地粮食亩产量（单位：kg）X~N(360,602).按亩产量高低将土地分红等级.若亩产量高于420kg为一级，在360~420kg间为二级，在315~360kg间为三等，低于315kg为四级.求6v1.0可编写可改正等级Y的概率散布。((0)0.5,(1)0.8413,(0.75)0.7734)解1420X2360X420Y315X36034X3157、110在长度为t的时间(单位：h)间隔内收到的紧迫呼救的次数X听从参数为1t的泊松散布,而与时间间隔的起点无关.2求某一天中午12时至下午3时起码收到1次呼救的概率。e2t(t)k解X的散布律为P(Xk)2(k0,1,2,)k!中午12时到下午3时，表示t3求P(X1)8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，不论抽出的是正品仍是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数X的散布律。解X所有可能的取值为1,2,3Ai={第i次取到正品}（i1,2,3）看作业习题2:4，7,17，20，24，26,27，287v1.0可编写可改正第三章多维随机变量及其散布知识点：二维连续型（离散型）随机变量散布的性质二维连续型（离散型）随机变量的散布（包括边际散布）随机变量的独立性二维常用散布内容提要概率散布的性质离散型非负性pij0,i,j1,2,归一性pij1i1j1连续型归一性f(x,y)dxdy1二维概率计算8v1.0可编写可改正P{(X,Y)G}f(x,y)dxdyG边际密度函数计算fX(x)f(x,y)dy;fY(y)f(x,y)dx4.常用散布平均散布f（x，y）1（x，y）DA0其他二维正态散布(X,Y)~N(1,2,12,22,)X~N(1,12),Y~N(2,22)随机变量的独立性F(x,y)FX(x)FY(y)pijpipj(i,j1,2,)f(x,y)fX(x)fY(y)正态散布的可加性设i~N(i,i2)(i1,2n)且1,2,n相互独立,则9nn12n~N(i,i2)i1i1v1.0可编写可改正应用举例1、设X,Y的密度函数fx,ykex2y,x0,y0则k=（）。0,其他2、设离散型随机变量(X,Y)的结合散布律为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1/61/91/181/3且X,Y相互独立，则（）。3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、0其余i1,2,3抽到i等品，1求（1）X1和X2的结合散布律；（2）并求P(X1X2)。4、设随机变量(X,Y)在曲线yx，yx围成的地区D里听从平均散布，求结合概率密度和边缘概率密度。10v1.0可编写可改正5、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为21x2yx2y1求P(YX)f(x,y)40其余6、设随机变量X1,X2,X3相互独立，并且均听从正态散布Xi~N(i,i2),i31,2,3，则X(aiXibi)~（）。i1看作业习题3：1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18第四章随机变量的数字特点知识点：随机变量的数学希望的性质与计算随机变量的方差（协方差、有关系数）的性质与计算主要内容1、数学希望的计算11v1.0可编写可改正（1）已知X的散布,求E(X).离散型连续型E(X)xipiE(X)xf(x)dxi（2）已知X的散布,且Yg(X),求E(Y).离散型连续型E(Y)g(xi)piE(Y)g(x)f(x)dxi（3）已知(X,Y)的结合散布，且Zg(X,Y),求E(Z).离散型连续型E(Z)g(xi,yj)pijE(Z)g(x,y)f(x,y)dxdyijR2（4）已知(X,Y)的结合散布,求E(X)或E(Y).离散型连续型方法1:E(X)xipijE(X)xf(x,y)dxdyijR2离散型连续型E(Y)yjpijE(Y)yf(x,y)dxdyjiR2方法2:先求出边际散布,则离散型连续型E(X)xipi.E(X)xfX(x)dxi离散型连续型E(Y)yjp.jE(Y)yfY(y)dy2、性质jE(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)当随机变量相互独即刻12v1.0可编写可改正E(XY)E(X)E(Y);E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn).3、方差的计算即D(X)E(XEX)2易证D(X)E(X2)[E(X)]24,、方差性质(1)D(c)0(2)D(aXb)a2D(X)特别地,D(aX)a2D(X)(3)D(XY)D(X)D(Y)2E{[XE(X)][YE(Y)]}特别地,当X与Y独即刻,D(XY)D(X)D(Y)推广:当X1,X2Xn相互独即刻,有nnD(Xi)DXi5、协方差与有关系数i1i1协方差的计算Cov(X,Y)E[XE(X)][YE(Y)]COV(X,Y)EXYEXEYCOV(X,Y)

XYDXDYCOV(X,Y)有关系数的计算XYDXDY应用举例某农产品的需求量X(单位：吨)听从区间[1200,3000]上的平均散布。若售出这种农产品1吨，可赚2万元，但若销13v1.0可编写可改正售不出去，则每吨需付库房保存费1万元，问每年应准备多少吨产品才可获得最大平均收益解设每年准备该种产品k吨（1200<k<3000）,则收益Y为2kXk（此时无库存）Yｇ(X)X)Xk（此时有库存）2X(kE(Y)E[g(X)]设随机变量X和Y的方差存在且不等于０，则D(XY)D(X)D(Y)是X和Y（）。A、不有关的充分条件，但不是必要条件B、独立的充分条件C、不有关的充分必要条件D、独立的充分必要条件3.已知D(X)4,D(Y)2，X与Y相互独立，则D(aXbYc)=（）。设随机变量X与Y相互独立，且X与Y有相同的概率散布，数学希望与方差均存在，记2XY，X3Y，求解：因为X与Y相互独立，则E(XY)EXEYX与Y有相同的概率散布，则EXEY,DXDYCov(,)EEEDDDDE()E(2XY)(X3Y）=E(2X25XY-3EY2)=2EX25EXEY3EY2=EX25(EX)2看作业习题414v1.0可编写可改正第五章大数定律和中心极限定理知识点：切比雪夫不等式大数定律和中心极限定理内容提要切比雪夫不等式P{|XEX|}DX2P{|XEX|}1DX2独立同散布的中心极限定理设X1,X2X100独立同散布，且Xi~U[0,2]，则EXi1,DXi13100100)则（1）Xi~N(100,（近似）中心极限定理i13100Xi-100i1~N(0,1)（2）标准化后1003100Xi-100i1的散布函数是(x)，100315v1.0可编写可改正100Xi-100即P(i1100x)(x)310100a100Xi100(3)P(aXib)i1b100P(100100)i1100333(b100)(a100)10010033100100100D(Xi)3(4)P(Xi100)1i1122i1（切比雪夫不等式）11001(5)同理XXi~N(1,)（近似）100i13001100Xi-1100i1~N(0,1)标准化后13001100)11100D(Xi30012)100i1P(Xi1222275100i1（切比雪夫不等式）16v1.0可编写可改正3．定理2设随机变量Xn~B(n,p),(n1,2),则对随意xR,有XnnplimP{x}(x)nnp(1p)第六章数理统计的基本观点知识点：抽样散布内容提要1、基本观点样本统计量（常用统计量）2、抽样散布定理（1）设Xi~N(0,1)(i1,2n),且相互独立,称2222n22X1X2XnXi~（n）特别地：若X~N(0,1),则X2i12(1)~（2）设X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互独立,则称TX~t(n)T2~F(1,n)Y/n（3）设X1~2(n1),Y~2(n2),且X与Y相互独立,则称FX1/n1~F(n,n)1~F(n,n)12Y/n2F2117设X1,X2,Xn是从正态总体N(,2)中抽取的一个简单随机样本,则对样本均值X及样本方差S2,有:v1.0可编写可改正4）X~N(,12)nX~N(0,1)/nX~t(n1)s/n(n1)S22(n1)2~定理3设X1,X2Xn是来自N(1,2),1Y,YY是来自N(2,2)的两个独立样本,12n2X,Y分别表示样本均值,S2,S2表示样本方差.12(XY)(12)n22)~t(n1(n11)S12(n21)S22(11)n1n22n1n218v1.0可编写可改正2S1~F(n11,n21)S22设总体X,Y相互独立，且都听从N(0,32)，而(X1,X2,,X9)和（Y1,Y2,,Y9分别来自X和Y的样本，问：）（1）X1X2X9听从什么散布(2)若C(Y12Y22Y92)听从2散布，C?19v1.0可编写可改正解：Xi~N(0,32)i1,29X1X2X9~N(0,92)Y~N(0,32)i1,29iYi~N(0,1)i1,2939Yi)2~2(9)则(c=1/913i第七章参数估计知识点：点估计区间估计估计量的评论标准主要内容1、矩法20v1.0可编写可改正矩估计法的详细步骤:(1)求出vE(Xr)v(1,2,k)r1,2,krr(2)A1nrr1,2,,kXirni1(3)令vrAr这是一个包含k个未知参数1,2,,k的方程组.(4)解出其中,,,,??