四川省名校联盟高三下学期4月联考理科数学试题（解析版）

第25页/共25页四川省名校联盟高三4月联考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先求出，根据的特征求解【详解】由得，所以，故选：A2.设集合，，集合中恰好含有2个元素，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的定义结合已知即可得解.【详解】，，因为集合中恰好含有2个元素，所以.故选：B.3.我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说，有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示．已知圆O的半径为2丈，过C作圆O的两条切线，切点分别为M，N，若，则对角线AC长度为（）A.丈 B.丈C.丈 D.丈【答案】A【解析】【分析】结合图形的对称性和切线的性质，通过三角函数或勾股定理，由丈，，求出，可得对角线AC长度.【详解】记OC与MN相交于E，过O作AB的垂线，与AB相交于F点，如图所示，丈，丈，则丈，在中，，则，中，丈，中，丈，，则丈，所以丈.故选：A.4.国家统计局公报显示绘制出的2017-2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数（单位：万）统计图如下图所示，则下列关于2017-2021年说法正确的是（）A.每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长B.中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年C.本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年D.本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年【答案】D【解析】【分析】根据柱状图的数据，逐一分析选项即可得出答案．【详解】对于A：中等职业教育2017年招生人数为582万人,2018年招生人数为557万人，即2017-2018年中等职业教育招生人数出现减少，故A错误；对于B：2017-2021年中等职业教育和普通高中的招生人数差为：218万人，236万人，239万人，231万人，249万人，即中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的是2021年，故B错误；对于C：2018-2021年本专科每年的招生人数增幅为：，，，，即本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2019年，故C错误；对于D：2017-2021年本专科的招生人数所占比例为：，，，，，即本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年，故D正确，故选：D．5.已知等比数列的前n项和为，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先列方程组求得等比数列的首项和公比的值，进而求得其通项公式和前n项和公式.【详解】设等比数列的首项为，公比为q，则即解之得，则，故选：D6.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（）A.e B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出切点坐标，利用导数求切线斜率，得切线方程，分别令，得该切线分别与两坐标轴的交点，可求三角形面积.【详解】函数，有，，，切点坐标为，切线斜率为，切线方程为，分别令，得该切线分别与两坐标轴交于，两点，故三角形面积为.故选：C7.函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出函数为奇函数，排除选项C；再利用特值排除选项AB，进而得到正确选项D.【详解】函数定义域为，则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C；又，排除选项AB；故选：D8.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B点，，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据，和抛物线的定义得到，，然后根据，得到直线的倾斜角为，即可得到，最后将点坐标代入抛物线方程中求即可.【详解】过点，作准线垂线，交准线与，，过点作，交与点，因为，所以，又因为，所以，，，在直角三角形中，，，所以，即直线的倾斜角为，所以，将点坐标代入抛物线方程中可得，解得或（舍去）.故选：C.9.已知函数在区间内单调且，在区间内存在最值点，则当取得最大值时，满足的一个值可能为（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据单调区间长度及最值确定范围，再求函数值可能的值.【详解】在区间内单调且,,

在区间内存在最值点,,

则当取得最大值时，,

可能为,可得.故选:B.10.已知四棱锥的底面ABCD为梯形，，，，，为正三角形，平面平面ABCD，E，F分别为PA，PB的中点，则（）A.平面PADB.PD与平面ABCD所成角的正弦值为C.D.四棱锥的体积为【答案】A【解析】【分析】A选项根据四边形为平行四边形得到，然后利用线面平行的判定定理证明即可；B选项根据平面平面，得到为直线与平面所成角,然后求正弦值即可；C选项根据点为中点，得到，不垂直，即可得到，不垂直；D选项根据椎体体积公式求体积即可.【详解】A选项：连接，，因为，为，中点，所以，，因为，，，所以，，四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以∥平面，故A正确；B选项：取中点，连接，，因为为正三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，为直线与平面所成角，因为，，所以，，，，故B错；C选项：连接，因为，，，所以，，在三角形中，点为中点，，所以，不垂直，又因为，所以，不垂直，故C错；D选项：，故D错.故选：A.11.已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，由，得，设，根据相似可得，代入双曲线方程，进而得到，再结合二次函数性质求解即可.【详解】由双曲线，得，由，得，又，设，则，即，又在双曲线上，所以，即，即，整理，得，令，，则，因为函数对称轴为，在上单调递增，所以时，，即，所以.故选：D.12.已知函数，函数的图象与曲线有3个不同的交点，其横坐标依次为，，，设，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将表示为的函数后，利用换元法和导数可求其取值范围.【详解】因为函数的图象与曲线有3个不同的交点，所以有一个解且有两个不同的解.而，故且，且，故，故，其中.设，则，设，，故，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，而，，故在的值域为即的取值范围为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】由可得，，后由向量夹角的坐标表示可得答案.【详解】，则，则，又，则故答案为：.14.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船成功发射升空，在飞船入轨后未来6个月里，空间站将逐步解锁、安装并测试15个科学实验机柜，开展涵盖空间科学研究与应用、航天医学、航天技术等领域的40余项空间科学实验和技术试验．已知此科学实验机柜在投入使用前会进行调试工作，现有8个科学实验机柜，其中包括5个A类型、3个B类型，两名调试员计划共抽取3个机柜进行调试，则至少有1人抽到B类型机柜进行调试的概率为______．【答案】【解析】【分析】利用古典概型即可求得至少有1人抽到B类型机柜进行调试的概率.【详解】记“至少有1人抽到B类型机柜进行调试”为事件A，则则至少有1人抽到B类型机柜进行调试的概率为.故答案为：.15.已知正项数列的前n项和为，满足，则______．【答案】18【解析】【分析】根据题中条件，先求出，再判断数列是以为公差的等差数列，进而可求出.【详解】当时，由得，即，解得或，因为是正项数列，所以；当时，由得，则，整理得，所以，因此数列是以为公差的等差数列，则，所以.故答案为：.16.在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为______；若线段上存在一点P，使得，则______．【答案】①.6②.【解析】【分析】作出图形，根据线面的相关性质求出截面为平行四边形，进而求出面积，再利用勾股定理求出线段的比值即可.【详解】取上靠近点的一个四等分点，连接，因为，所以且，则四边形为平行四边形，所以且，过点作，连接，过作，连接，因为，所以四边形为平行四边形，则且，所以且，则截面为平行四边形，由直四棱柱的性质可得，，，，在中，由余弦定理得，，所以，则截面的面积为；如图，设，则，因为，在中，，在中，，则，解得，即，所以，故答案为：；.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①，，且；②；③中任选一个，回答下列问题．（1）求A；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）条件①：根据向量平行的坐标表示转化，求得；条件②：根据正弦定理转化为，求得；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得.（2）根据余弦定理及基本不等式求得面积的最大值．【小问1详解】选择条件①，因为，，且，所以，即，所以，由为锐角三角形可知，则，故，，选择条件②，因，由正弦定理可得，由为锐角三角形可知，所以，则，即，由为锐角三角形可知，故．选择条件③，因为，所以，即，由正弦定理可得，根据余弦定理可得，由为锐角三角形可知，故，【小问2详解】因为，由（1）可得，所以根据余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，满足条件．则，故面积的最大值为．18.在三棱锥中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面底面ABC，，，点E在线段SB上，且．（1）证明：平面ACE；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中点为D，连接SD，BD，由，得到，再由底面ABC是边长为4的正三角形，得到，进而得到平面SBD，则，然后由，得到，利用线面垂直的判定定理证明；（2）由（1）可得DC，DB，DS两两垂直，故以D为坐标原点，DC，DB，DS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面SAB的一个法向量为和平面SBC的法向量为，由求解.【小问1详解】证明：如图所示：取AC中点为D，连接SD，BD．因为，D为AC中点，所以．又侧面底面ABC，侧面底面，侧面SAC，所以底面ABC，．由于，，则，，由于，则，，因为，所以．又，，，且两直线在平面SBD内，所以平面SBD，且平面SBD，所以．又，且两直线在平面ACE内，所以平面ACE．【小问2详解】由（1）可得DC，DB，DS两两垂直，故以D为坐标原点，DC，DB，DS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面SAB的一个法向量为，则，即，令，则，，即，设平面SBC的一个法向量为，则，即，令，则，，即，则，，设二面角的平面角为，则，故二面角的正弦值为．19.锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．（1）当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（）；（2）正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布（单位：mm）．㈠梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？（精确到0.001）㈡为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树杆地径均小于235mm，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由．附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．【答案】（1）0.5632（2）（1）0.001；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求得红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率的取值范围，再利用条件概率公式即可求得三种幼苗均成活的概率；（2）㈠利用正态分布的性质即可求得树杆地径小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符合概率统计的原理，言之有理即可.【小问1详解】由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，故概率为，即，解得或（舍去）又，故p的取值范围为，故p的最大值为0.8，记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件A，经济作物幼苗成活为事件B，则有，．故所求概率为．【小问2详解】㈠设正常情况下，任意抽取一株梭梭树，树杆地径，由题意可知，因为，所以由正态分布的对称性及“”原则可知：．㈡理由①：农林管理员的判断是合理的．如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由（1）可知，随机抽取10棵梭梭树，树杆地径都小于235mm的概率约为，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的．理由②：农林管理员的判断是不合理的．由于是随机抽取了10棵梭梭树，所以不可控因素比较多，例如有可能这10颗树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所致．（答案不唯一，言之有理即可）20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B为其左、右顶点，M为椭圆上一点，且．（1）求C的离心率；（2）若左焦点到椭圆上的点的最大距离为3，且直线交C于另一点N，已知的面积是的2倍，求直线MN的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）利用题给条件得到出，进而求得椭圆C的离心率；（2）先求得椭圆C的方程并设直线，联立二者组成方程组，利用设而不求的方法求得m的值，进而得到直线MN的方程．【小问1详解】设，则有，则，又，，则，即，则，解得，故离心率．【小问2详解】由左焦点到椭圆上的点的最大距离为3可知，又，解得，，则，故椭圆C的方程为．则，设，，设点M位于x轴上方，点N位于x轴下方，则，．联立，消去x得，，则，，因为，所以，代入可知，则，又，即，结合椭圆对称性得，故直线MN的方程为或．21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）讨论，时的正负确定单调区间；（2）当时，先增后减，只需时恰有两个零点，当时，判断两个极值均大于0，不可能有两个零点.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，，则在上单调递减；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．综上可知，当时，函数在上单调递减；当时，函数在区间内单调递增，在上单调递减．【小问2详解】因为，，①当时，上只有一个零点2，不符合题意；②当时，求导得，令，解得或，（ⅰ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，要使函数有两个零点，必有，即，且，则函数在区间内存在一个零点；又因为，因为，则，又，则，，故，所以函数在区间内存在一个零点，故当时，函数有两个零点；（ⅱ）当时，函数有两个极值点和，因为，，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在区间内单调递减，所以，所以当时，，，则当时，函数的两个极值均大于零，且当时，，当时，，所以函数最多有一个零点．综上可得，实数a的取值范围为．【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个