2023届上海市宝山区淞浦中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A． B． C． D．2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．3．同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（）A．48 B．56 C．60 D．1204．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.255．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则．③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．以上命题中，正确命题序号是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④6．某校学生一次考试成绩X（单位：分）服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝（）附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．A． B． C． D．7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.38．一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9．若，都是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是()A． B． C． D．11．中，若，则该三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形12．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线上一点到点的距离为9，则点到点的距离______.14．如图，在一个底面边长为cm的正六棱柱容器内有一个半径为cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.15．设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.16．向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9；(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A,若B＝{x∈R||2x－1|≤3},当A∪B＝A时，求实数a的取值范围．18．（12分）已知向量,满足，．(1)求关于k的解析式f(k)．(2)若，求实数k的值．(3)求向量与夹角的最大值．19．（12分）（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.20．（12分）若函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围.21．（12分）如图，菱形的对角线与相交于点，，，点分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）函数，，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长．详解：平面向量数量积，所以所以选C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题．2、C【解析】

根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．【详解】A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；C．在其定义域上既是奇函数又是增函数；D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．3、A【解析】

采用捆绑法，然后全排列【详解】宿舍长必须和班主任相邻则有种可能，然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有种不同的排法故选【点睛】本题考查了排列中的位置问题，运用捆绑法来解答即可，较为基础4、A【解析】解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于1，月接近于1，则效果越好．选A5、A【解析】

根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误【详解】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；与向量互为相反向量，故③错误；若与是共线向量，那么可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误，故选A.【点睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共线向量，它指两个向量方向相同或相反，这两个向量对应的起点和终点可以不在一条直线上，实际上共线向量就是平行向量．6、A【解析】

利用条件概率公式，即可得出结论.【详解】由题意，，，所以，故选A项.【点睛】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题.7、B【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．8、D【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，与所成角等于与所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解：还原正方体，如图所示，设，则，与所成角等于与所成角，余弦值为，故选D.点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9、A【解析】分析：先证明充分性，两边同时平方即可，再证明必要性，取特值，从而判断出结果。详解：充分性：将两边平方可得：化简可得：则，故满足充分性必要性：，当时，，故不满足必要性条件则是的充分而不必要条件故选点睛：本题考查了充分条件与必要条件的判定，可以根据其定义进行判断，在必要性的判定时采用了取特值的方法，这里也要熟练不等式的运用10、D【解析】

根据奇偶函数定义域关于原点对称求得的值.在根据单调性判断出正确选项.【详解】由于函数为偶函数，故其定义域关于原点对称，即，故函数的定义域为，且函数在上递增，故在上递减.对于A选项，，符合题意.对于B选项，符合题意.对于C选项，符合题意.对于D选项，，在上递减，不符合题意，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查含有绝对值函数的理解，属于基础题.11、D【解析】

利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：D【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.12、B【解析】分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）=＞1在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．详解：∵的几何意义为：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1和q+1在区间（1，2）内．不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故选A．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】

先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到，进而可求出的值，得到答案.【详解】双曲线，，，，和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，，解或，，或，故答案为：或.【点睛】本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距离应该不小于.14、【解析】

由题意可求球的体积，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为，将铁球从容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度．【详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积，水面高度为，此时正六棱柱容器中水的体积为，若将铁球从容器中取出，则水面高度，则水面下降.故答案为:.【点睛】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.15、1.【解析】

求出A中不等式的解集，确定出解集的自然数解确定A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集，即可作出判断．【详解】由A中不等式变形得：2﹣2≤2x≤24，即﹣2≤x≤4，x∈N，∴A={0，1，2，3，4}，由B中y=ln（x2﹣3x），得到x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，即B={x|x＜0或x＞3}，则A∩B={4}，即A∩B中元素个数为1，故答案为：1．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16、【解析】

建立平面直角坐标系，从而得到的坐标，这样即可得出的坐标，根据与共线，可求出，从而求出的坐标，即得解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1){x∈R|x<－6或x>3}．(2)[－1,0]．【解析】分析：（1）当a＝5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的取值范围.详解：(1)当a＝5时，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.①当x≥2时，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；②当－5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；③当x<－5时，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.综上所述，当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9的解集为{x∈R|x<－6或x>3}．(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B＝{x||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2},关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，∴当－1≤x≤2时，f(x)≤|x－4|恒成立．由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.∴当－1≤x≤2时，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．∴实数a的取值范围为[－1,0]．点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系.18、（1）（2）（3）【解析】

（1）根据向量的数量积即可．（2）根据向量平行时的条件即可．（3）根据向量的夹角公式即可．【详解】(1)由已知，有，．又因为，得，所以，即．(2)因为，，所以，则与同向．因为，所以，即，整理得，所以，所以当时，．(3)设与的夹角为θ，则．当，即时，取最小值，此时．【点睛】本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题．19、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合不等式的特征，两边平方，用分析法证明不等式即可；(2)利用反证法，假设这三个数没有一个大于或等于，然后结合题意找到矛盾即可证得题中的结论.试题解析：（1）因为和都是正数，所以要证，只要证，展开得，只要证，只要证，因为成立，所以成立.（2）假设这三个数没有一个大于或等于，即，上面不等式相加得（*）而，这与（*）式矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.点睛：一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.20、（1）（2）【解析】

（1）求导得到，，得到切线方程.（2），讨论，，三种情况，得到函数单调区间，判断是否有极值，计算极值解不等式得到答案.【详解】(1)当时，，则，，所以切线方程为.(2)，当时，在上单调递减，无极值；当时在上单调递增，在上单调递减，所以当时取得极小值，所以；当时，令或，设，当，当，，当时在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得极大值，设，从而，，所以在上单调递减，，所以不符合题意.当时在上单调递增，此时在上无极值，不合题意.综上：取值范围是.【点睛】本题考查了函数的切线方程，极值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、（1）见解析（2）【解析】

（1），可得，在菱形中，求出，由勾股定理的逆定理，即可证明；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出坐标