2023届内蒙古自治区阿拉善盟数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（）A．1 B． C． D．2．“k>1”是“函数f(x)=kx-lnx在区间A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）A．14 B． C．240 D．4．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2015)＋f(2016)＝()A．0B．2C．3D．45．已知集合，则（）A． B． C． D．6．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，垂足为A，如果为正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．127．抛物线上的点到定点和定直线的距离相等，则的值等于（）A． B． C．16 D．8．若，满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C．5 D．69．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A． B． C． D．10．设集合A=x1,x2,xA．60 B．100 C．120 D．13011．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．12．甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（）A．30 B．42 C．50 D．58二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，对于任意，都存在，使得，则的最小值为________.14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________15．在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含的项为______．16．某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的最小值；（3）若，使成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.19．（12分）已知函数f(x)=sin（1）若fx在0,π2（2）若a=1，g(x)=f(x)+ex且gx20．（12分）已知向量，设函数（1）求的最小正周期（2）求函数的单调递减区间（3）求在上的最大值和最小值21．（12分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设为产值不超过500万元的城市个数，求的分布列及期望和方差.22．（10分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲乙（1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由二项式定理可知，为正数，为负数，令代入已知式子即可求解.【详解】因为，由二项式定理可知，为正数，为负数，所以.故选：C【点睛】本题考查二项式定理求系数的绝对值和；考查运算求解能力；属于基础题.2、A【解析】分析：求出导函数f'（x），若函数f(x)=kx-lnx在(1,+∞)单调递增，可得f'（x）详解：f'（x）=k-1x，

∵若函数函数f(x)=kx-lnx在(1,+∞)单调递增，

∴f'（x）≥0在区间(1,+∞)上恒成立．

∴k≥1x，而y=1x在区间(1,+∞)上单调递减，

∴点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题．3、C【解析】

由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．【详解】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故选C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．4、B【解析】

根据条件判断函数f（x）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【详解】y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数，令x=﹣1，则f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，则f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），则函数的周期是2，又f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故选：B．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键．5、D【解析】

计算出A集合，则可以比较简单的判断四个选项的正误.【详解】可以排除且故选择D.【点睛】考查集合的包含关系，属于简单题.6、C【解析】

设准线l与轴交于点，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，这两个条件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的长．【详解】设准线l与轴交于点，所以，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本题选C．【点睛】本题考查了抛物线的定义．7、C【解析】

根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得．【详解】根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，且，，解得：.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对概念的理解，属于容易题．8、C【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【详解】解：变量，满足约束条件的可行域如图所示：目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，则此时目标函数取得最大值，由可得，目标函数的最大值为：5故选C．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．9、B【解析】

根据，第一步应验证的情况，计算得到答案.【详解】因为，故第一步应验证的情况，即.故选：.【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的理解和掌握.10、D【解析】

根据题意，xi中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案【详解】集合A中满足条件“1⩽xxi中取0的个数为则集合个数为：C5故答案选D【点睛】本题考查了排列组合的应用，根据xi中取0的个数分类是解题的关键11、B【解析】

由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．【详解】解：∵双曲线的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0）的距离为1，∴a＝1；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是yx，而抛物线的准线方程为x，因此﹣1（﹣2），﹣2，联立得，解得a＝2，b＝1，p＝1．故双曲线的标准方程为：．故选：B．【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．12、A【解析】

根据题意将4人分成3组，再进行排列，两步完成.【详解】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法第二步,将3组同学分配到3所学校，有种分法所以共有种分配方法故选：A【点睛】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】试题分析：由知，；由f（m）=g（n）可化为；故；令，t≤1；则，则；故在（-∞，1]上是增函数，且y′=0时，t=0；故在t=0时有最小值，故n-m的最小值为1；考点：函数恒成立问题；全称命题14、1【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1-27点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.15、【解析】

求出二项式展开式的通项，得出展开式前三项的系数，由前三项的系数依次成等差数列求出的值，然后利用的指数为，求出参数的值，并代入通项可得出所求项.【详解】二项式展开式的通项为，由题意知，、、成等差数列，即，整理得，，解得，令，解得.因此，展开式中含的项为.故答案为：.【点睛】本题考查二项式中指定项的求解，同时也考查了利用项的系数关系求指数的值，解题的关键就是利用展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解析】

由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差．【详解】解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：83，84，85，86，87，所剩数据的平均数为：，所剩数据的方差为：．故答案为1．【点睛】本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数的单调减区间是，增区间是；（2）；（3）.【解析】

（1）根据解析式求出g（x）的定义域和g′（x），再求出临界点，求出g′（x）<0和g′（x）>0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；（2）先求出f（x）的定义域和f′（x），把条件转化为f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再对f′（x）进行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把条件等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入进行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，结合（2）求出的a的范围对a进行讨论：和，分别求出f′（x）在[e，e2]上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较．【详解】由已知函数的定义域均为，且（1）函数，则，当且时，；当时，.所以函数的单调减区间是，增区间是；（2）因在上为减函数，故在上恒成立，所以当时，，又，故当，即时，,所以于是，故的最小值为；（3）命题“若使成立”等价于：“当时，有”，由（2），当时，，∴，问题等价于：“当时，有”，①当时，由（2），在上为减函数，则，故.②当时，由于在上为增函数，故的值域为，即.由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，，.所以，，与矛盾，不合题意.综上，得.【点睛】本题是利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”.确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”.不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决.本题的难点在于利用转化思想的灵活应用.18、（1）；（2）不存在，理由见解析【解析】

（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.【详解】（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.点为椭圆的右顶点时，的坐标为，即，，化简得：，即，解得或（舍去），所以；（2）椭圆的方程为，由（1）可得，联立得：，设B的横坐标，根据韦达定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，则，化简得：，，此方程无解，所以不存在使得成立.【点睛】此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.19、（1）a>0（2）见解析【解析】

（1）求出函数y=fx的导数，对实数a分a≤0和a>0两种情况讨论，结合导数的单调性、零点存在定理以及导数符号来判断，于此得出实数a（2）利用分析法进行转化证明，构造新函数Fx=g【详解】（1）已知f'当a≤0时，f'(x)≥0，∴f(x)在0,π2上单调递增，此时不存在极大值点；当a>0时，f''(x)=-sinx-a<0，又f'(0)=1>0，f'π2=-π2a<0，故存在唯一x0此时，x0是函数fx综上可得a>0；（2）依题g(x)=ex+∴g(x)=ex+∵g(0)=1,:x欲证x1+x2<0，等价证x令F(x)=g(-x)+g(x)-2=e∵F'(x)=e故x>0时，F'(x)单调递增∴F(x)单调递增，∴F(x)>F(0)=0，得证.【点睛】本题主要考查导数的应用，涉及极值点的存在性问题，以及二阶导数的应用，构造函数解决函数不等式的证明，考查函数思想，考查转化与化归数学思想的应用，属于难题。20、（1）；（2）；（3）最大值为1，最小值为【解析】

（1）先根据向量数量积坐标表示得，再根据二倍角公式以及配角公式得，最后根据正弦函数性质求周期，（2）根据正弦函数单调性得，解得结果，（3）先根据自变量范围得