平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定第1页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出1.空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？αβ第2页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究(一):平面与平面平行的背景分析

思考1：根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？思考2:若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一个平面内有一条直线与另一个平面有公共点，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？第3页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3：三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？思考4：三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？A第4页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考5:

建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行？第5页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考6：一般地，如果平面α内有一条直线平行于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？如果平面α内有两条直线平行于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？αβ第6页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究(二):平面与平面平行的判定定理

思考1:对于平面α、β，你猜想在什么条件下可保证平面α与平面β平行？思考2:设a，b是平面α内的两条相交直线，且

a//β，b//β.在此条件下，若α∩β=l

，则直线a、b与直线l的位置关系如何？labαβ第7页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述出该定理的内容吗？定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.第8页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:上述定理通常称为平面与平面平行的判定定理，该定理用符号语言可怎样表述？且abαβP第9页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考5:在直线与平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”

，可用什么条件替代？由此可得什么推论？推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.αβab第10页，共108页，2023年，2月20日，星期一理论迁移例1在正方体ABCD-A′B′C′D′中.求证：平面AB′D′∥平面BC′D.BAA′B′C′D′CD第11页，共108页，2023年，2月20日，星期一PABCDEF例2在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.MN第12页，共108页，2023年，2月20日，星期一平面与平面垂直第13页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出

1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？(1)顶点在棱上；(2)边在两个面内；(3)边垂直于棱.第14页，共108页，2023年，2月20日，星期一

2.直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？我们从理论上作些探讨.第15页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（一）：两个平面垂直的概念

思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？第16页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？第17页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？αβαβ第18页，共108页，2023年，2月20日，星期一αβ思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？第19页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（二）：两个平面垂直的判定

思考1:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考2:如图，∠AOB为直二面角Α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？αβABOl第20页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？αβmla第21页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.第22页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考5:结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？αβl第23页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考6:过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？αPlαl第24页，共108页，2023年，2月20日，星期一理论迁移例1如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO第25页，共108页，2023年，2月20日，星期一例2如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF第26页，共108页，2023年，2月20日，星期一例3在四面体ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE第27页，共108页，2023年，2月20日，星期一平面与平面平行的性质第28页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出1.平面与平面平行的判定定理是什么？2.平面与平面平行的判定定理解决了平面与平面平行的条件问题，反之，在平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.第29页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究(一):平面与平面平行的性质分析

思考1:若，则直线l与平面β的位置关系如何？lβα思考2：若，直线l与平面α平行，那么直线l与平面β的位置关系如何？lβαl第30页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:若，平面α与平面γ相交，则平面β与平面γ的位置关系如何？思考3:若，直线l与平面α相交，那么直线l与平面β的位置关系如何？βαlβα第31页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考5:若，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？abαβγ第32页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究(二):平面与平面平行的性质定理

思考1:由下图反映出来的性质就是一个定理，分别用文字语言和符号语言可以怎样表述？定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.abαβγ第33页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考2:上述定理通常称为平面与平面平行的性质定理，该定理在实际应用中有何功能作用？abαβγ判定两直线平行的依据第34页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:如果两个相交平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线的位置关系如何？αβγablbαβγal第35页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:若，那么在平面β内经过点P且与l

平行的直线存在吗？有几条？βlαP思考5:若平面α、β都与平面γ平行，则平面α与平面β的位置关系如何？βγα第36页，共108页，2023年，2月20日，星期一理论迁移例1

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.DαBβACγ第37页，共108页，2023年，2月20日，星期一例2

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M在CD′上，试判断直线B′M与平面A′BD的位置关系，并说明理由.A′B′C′D′ABCDM第38页，共108页，2023年，2月20日，星期一例3

如图，已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面β.ABCDαMNβEl第39页，共108页，2023年，2月20日，星期一平面与平面垂直的性质第40页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出

1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？

2.平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？定义和判定定理第41页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理

思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种可能？αβllαβlαβ第42页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理

思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ第43页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D1第44页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:一般地，

,垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为什么？αβABDCE第45页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考5:据上分析可得什么定理？试用文字语言表述之.定理若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.αβABDC第46页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考6:上述定理通常叫做两平面垂直的性质定理，结合下图，如何用符号语言描述这个定理？该定理在实际应用中有何理论作用？αβlm第47页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究

思考1:若α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线，垂足为B，那么点B在什么位置？说明你的理由.BαβA第48页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实际应用中有何理论作用？BαβA第49页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ，，那么直线l与平面γ的位置关系如何？为什么？αβγlab第50页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:上述结论如何用文字语言表述？该性质在实际应用中有何理论作用？如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.αβγl第51页，共108页，2023年，2月20日，星期一理论迁移例1如图，已知α⊥β，l⊥β，，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由.αβlma第52页，共108页，2023年，2月20日，星期一例2如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.PABCDE第53页，共108页，2023年，2月20日，星期一直线与平面平行的判定第54页，共108页，2023年，2月20日，星期一一观察实例：

1.教室中墙面与地面的相交线与地面的位置关系3.天花板与墙面的相交线和地面的位置关系.2.两墙面的相交线和地面的位置关系.

直线和平面平行第55页，共108页，2023年，2月20日，星期一1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号分别可表示为第56页，共108页，2023年，2月20日，星期一（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）用符号分别可表示为用符号分别可表示为第57页，共108页，2023年，2月20日，星期一2．线面平行的判定定理：

如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

第58页，共108页，2023年，2月20日，星期一判定定理:如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.l∥α已知:求证：lα，mα,l∥m线线平行,则线面平行第59页，共108页，2023年，2月20日，星期一例1已知空间四边形中，分别是的中点，求证：

ABCDEF第60页，共108页，2023年，2月20日，星期一ABCDEF证明：EF∥平面BCD连结BD，在△ABD中，因为E、F，分别是AB、AD的中点，EF∥BD又EF平面BCD，BD平面BCD，第61页，共108页，2023年，2月20日，星期一练习一、判断题1、一条直线平行于一个平面，

这条直线就与这个平面内的

任意直线不相交。2、过平面外一点有且只有一条

直线与已知平面平行。3、过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。4、a、b是异面直线，则过b存在

唯一一个平面与a平行。()()()()第62页，共108页，2023年，2月20日，星期一5、过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行.

７、若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.８、若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行.６、如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。()

()

()()第63页，共108页，2023年，2月20日，星期一练习二：如图，长方体的六个面都是矩形，则(1)与直线AB平行的平面是(2)与直线AD平行的平面是(3)与直线AA1

平行的平面是平面A1C1与平面DC1

平面BC1与平面A1C1

平面BC1与平面DC1

第64页，共108页，2023年，2月20日，星期一练习三：

已知：E、F、G、H分别为空

间四边形ABCD中各边

的中点，

求证：AC∥平面EFGH，

BD∥平面EFGH。第65页，共108页，2023年，2月20日，星期一PABCDQ

作业：

已知：P是平行四边形ABC所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ

第66页，共108页，2023年，2月20日，星期一方法一根据定义判定方法二根据判定定理判定直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线线平行线面平行第67页，共108页，2023年，2月20日，星期一直线与平面平行的性质第68页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出1.直线与平面平行的判定定理是什么？2.直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.第69页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究(一):直线与平面平行的性质分析

思考1:如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？思考2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？aαaα第70页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？αaαa第71页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？αabb思考5:如果直线a与平面α平行，那么经过平面α内一点P且与直线a平行的直线怎样定位？Pαa第72页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究(二):直线与平面平行的性质定理

思考1:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.第73页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？αabβ第74页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？作平行线的方法，判断线线平行的依据.αabβ第75页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4:教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？第76页，共108页，2023年，2月20日，星期一理论迁移例1如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.（1）要经过面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？AA′CBDPD′B′C′第77页，共108页，2023年，2月20日，星期一例2

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.cabα如图，已知直线a，b和平面α

，a∥b，a∥α,a，b都在平面α外.求证：b∥α.第78页，共108页，2023年，2月20日，星期一直线与平面垂直的概念和判定第79页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究.2.直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？第80页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（一）：直线与平面垂直的概念

思考1：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？第81页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？第82页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？

ABC第83页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？

如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.

第84页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考5：在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？lα第85页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考6：如果直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.那么过一点可作多少条平面α的垂线？过一点可作多少个直线l的垂面？lαA垂线垂面垂足第86页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（二）：直线与平面垂直的判定

思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？第87页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考2：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？第88页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考3：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系.ABCDABCD第89页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考4：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法？ABCDABCD如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌面所在的平面垂直？第90页，共108页，2023年，2月20日，星期一定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.思考5：上述定理通常称为直线和平面垂直的判定定理，它是判定直线与平面垂直的理论依据.结合下图，怎样用符号语言表述这个定理？αalPb第91页，共108页，2023年，2月20日，星期一思考6：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？第92页，共108页，2023年，2月20日，星期一理论迁移例1已知.求证：αabcd第93页，共108页，2023年，2月20日，星期一例2在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD第94页，共108页，2023年，2月20日，星期一例3侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1，说明你的理由.AA1BCDB1C1D1第95页，共108页，2023年，2月20日，星期一直线与平面垂直的性质第96页，共108页，2023年，2月20日，星期一问题提出

1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？

2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？第97页，共108页，2023年，2月20日，星期一知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理

思考1:如图，长方