2023届江西师大附中数学高二下期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量Z服从正态分布N（0，）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.9772．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）种（Ｂ）种（Ｃ）种（Ｄ）种3．己知命题P：单位向量的方向均相同，命题q：实数a的平方为负数。则下列说法正确的是A．是真命题 B．是真命题 C．是假命题 D．是假命题4．由直线，曲线以及轴所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．5．下列说法错误的是A．回归直线过样本点的中心B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小6．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．120种 B．180种 C．240种 D．480种7．如图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A． B．C． D．8．函数图象的大致形状是（）A． B． C． D．9．已知双曲线，两条渐近线与圆相切，若双曲线的离心率为，则的值为（）A． B． C． D．10．名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有（）种不同结果（用数字作答）A． B． C． D．11．某样本平均数为，总体平均数为，那么（）A． B． C． D．是的估计值12．已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B．1 C．-1 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．平面上两组平行线互相垂直，一组由条平行线组成，一组由条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是___________14．已知(1-2x)2018=a15．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的左视图如图所示，则该三棱锥的体积是________；16．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）如图，在三棱柱中，侧棱底面，且，是棱的中点，点在侧棱上运动.（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.18．（12分）现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为.(1)求直方图中的值；(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求的分布列和数学期望．19．（12分）已知矩阵，向量.（1）求的特征值、和特征向量、；（2）求的值.20．（12分）已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.21．（12分）已知函数（）.（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，证明：.22．（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选C.【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.2、C【解析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法故选C；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；3、D【解析】

先判断命题P，命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.【详解】命题P：单位向量的方向可以是任意的，假命题命题q：实数a的平方为非负数，假命题为假命题，A错误为假命题，B错误是真命题，C错误是假命题，D正确故答案选D【点睛】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.4、C【解析】

作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。【详解】如下图所示，联立，得，则直线与曲线交于点，结合图形可知，所求区域的面积为，故选：C。【点睛】本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。5、D【解析】

分析：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.详解：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心；B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.错误，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大故选：D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．6、C【解析】

根据题意，分两步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数，由分步计数原理计算即可得到答案。【详解】根据题意，分2步进行分析：（1）先将5项工作分成4组，有种分组方法；（2）将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，有种情况；分步计数原理可得：种不同的安排方式。故答案选C【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求，属于基础题。7、C【解析】

几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，代入体积公式计算即可.【详解】解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，

其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，所以几何体的体积.

故选：C.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算，属于基础题.8、B【解析】

利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.【详解】，，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.9、A【解析】

先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果.【详解】渐近线方程为：，又因为双曲线的离心率为，，所以，故渐近线方程为，因为两条渐近线与圆相切，得：，解得；故选A。【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.10、B【解析】

先安排甲以外的一人担任文娱委员，再从剩下的3人选一人担任班长即可．【详解】先从甲以外的三人中选一人当文娱委员，有3种选法，再从剩下的3人选一人担任班长，有3种选法，故共有种不同结果．故选：B.【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用,属于基础题.11、D【解析】

统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值.【详解】解：样本平均数为，总体平均数为，

统计学中，利用样本数据估计总体数据，

∴样本平均数是总体平均数的估计值.

故选：D.【点睛】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.12、C【解析】试题分析：∵函数的导函数为，且满足，，∴，把代入可得，解得，故选C.考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

分析矩形的组成：两个长，两个宽，然后利用分步乘法计数原理与排列组合思想计算可围成的矩形数.【详解】因为矩形由两个长，两个宽构成，第一步选长：从条直线中选条，共有种方法，第二步选宽：从条直线中选条，共有种方法，所以可围成的矩形数为：.故答案为：.【点睛】本题考查分步乘法计数原理和排列组合的综合应用，难度一般.对于计数问题，第一步可考虑是属于分类还是分步问题，第二步可考虑选用排列或组合的思想解决问题.14、3【解析】

根据题意，由二项式定理可得(1-2x)2018的展开式的通项，分析可知a1、a3、……a2017为负值，在【详解】根据题意，(1-2x)2018中，其展开式的通项为又由(1-2x)则a1、a3、则在(1-2x)2018中，令x=-1可得：又由a1、a3、则|a故答案为：32018【点睛】本题考查了二项式定理的应用，赋值法求项的系数和，属于中档题．15、【解析】

由左视图得出三棱锥中线面关系及棱的长度．【详解】由左视图知三棱锥的高为，底面等腰三角形的底边长为，又底面等腰三角形的腰长为2，这个等腰三角形的面积为，．故答案为：．【点睛】本题考查棱锥的体积，解题是由左视图得出棱锥的高为1，底面等腰三角形的底边长为，从而由体积公式可求得棱锥的体积，本题还考查了空间想象能力．16、2；【解析】

试题分析：由可得，即，故填2.考点：1.向量的运算.2.向量的数量积.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.试题解析：(1)取线段的中点，连结.∵,∴，且.又为的中点，∴,且.∴,且.∴四边形是平行四边形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得.∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即.又平面的一个法向量为,∴,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.18、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1求出x的值；（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望.详解：(1)由直方图可得,∴.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,,∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住.(3)的可能取值为,有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为,,,,,,则的分布列为01234的数学期望.点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.19、(1)当时，解得,当时，解得;(2)见解析.【解析】分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为3和-1，然后根据特征向量线性表示出向量，利用矩阵的乘法法则求出，从而即可求出答案.详解（1）矩阵的特征多项式为，令，解得，，当时，解得；当时，解得.(2)令，得，求得.所以点睛：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量.20、（1）；（2）.【解析】

（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，；（2）设斜率为的直线的方程为，且、，，椭圆的方程为，由，.消去得，又有.，解得：满足，直线的方程为.故到直线的距离，.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦