人教版数学七年级下学期末考试高频考点分类汇编之七：平行线的判定与性质及性质的应用（解答题提升题）

试卷第=page22页，共=sectionpages55页试卷第=page33页，共=sectionpages55页人教版数学七年级下学期末考试高频考点分类汇编之七：平行线的判定与性质及性质的应用（解答题提升题）一、解答题1．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）三角形ABC中，∠ABC的平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，三角形ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．完成下面求∠EDB的过程．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠AED＝∠ABC．∴（______）．∴∠EDB＝∠______．∵BD平分∠ABC，∴．∴∠EDB＝45°．(2)如图2，三角形ABC是锐角三角形，过点E作，交AC于点F．依题意补全图2，用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明．(3)三角形ABC是钝角三角形，其中．过点E作，交AC于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．2．（2021春·北京房山·七年级统考期末）已知直线MNPQ，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动．点H为平面上一点，且满足∠AHB＝90°．设∠HBQ＝α．(1)如图1，当α＝70°时，∠HAN＝．(2)过点H作直线l平分∠AHB，直线l交直线MN于点C．①如图2，当α＝60°时，求∠ACH的度数；②当∠ACH＝30°时，直接写出α的值．3．（2021春·北京·七年级期末）如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，BF⊥BD，垂足为B，EG平分∠BED，∠CDE50，∠F25．⑴求证：EG∥BF；⑵求∠BDC的度数．4．（2020春·北京东城·七年级统考期末）阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．彤彤是这样做的：过点E作EFAB，则有∠BEF＝∠B．∵ABCD，∴EFCD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．5．（2020春·北京朝阳·七年级统考期末）线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线．（1）若点P在线段AD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AM与DN的位置关系，并证明；（2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由．6．（2022春·北京房山·七年级统考期末）如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形象，称为“形BAMCD”．(1)如图1，形BAMCD中，若，，则______°；(2)如图2，连接形BAMCD中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．7．（2022春·北京通州·七年级统考期末）已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．(1)当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；(2)当时，过点G作EG的垂线．①请在图2中补全图形；②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．8．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，(1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°；②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．9．（2021春·北京·七年级期末）如图，点，分别在直线，上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动，设旋转时间为t（s）．(1)当射线经过点时，直接写出此时的值；(2)当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）(3)当EM//FN时，求的值．答案第=page2020页，共=sectionpages1616页答案第=page1919页，共=sectionpages1616页参考答案：1．(1)同位角相等，两直线平行；(2)，证明见解析(3)【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行解答即可；（2）延长、交于，利用平行线的性质得，再利用三角形外角的性质可得结论；（3）由（2）同理解决问题．【详解】（1）解：，．，．（同位角相等，两直线平行）．．平分，．．故答案为：同位角相等，两直线平行；；（2）如图，，理由如下：延长、交于，，，平分，，是的外角，，；（3）．如图，，，是的外角，，．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．2．(1)20°(2)①∠ACH=15°；②α=75°【分析】（1）延长BH与MN相交于点D，根据平行线的性质可得∠ADH=∠HBQ=70°，再根据三角形外角定理可得AHB=∠HAN+∠ADH，代入计算即可得出答案；（2）①延长CH与PQ相交于点E，如图4，根据角平分线的性质可得出∠BHE的度数，再根据三角形外角定理可得∠HBQ=∠HEB+∠BHE，即可得出∠HEB的度数，再根据平行线的性质即可得出答案；②根据平行线的性质可得∠HEB的度数，再根据三角形外角和∠HBQ=∠HEB+∠BHE，即可得出答案．【小题1】解：延长BH与MN相交于点D，如图3，∵MN∥PQ，∴∠ADH=∠HBQ=70°，∵∠AHB=90°，∴∠AHB=∠HAN+∠ADH，∴∠HAN=90°-70°=20°．【小题2】①延长CH与PQ相交于点E，如图4，∵∠AHB=90°，CH平分∠AHB，∴∠BHE＝∠AHB＝45°，∵∠HBQ=∠HEB+∠BHE，∴∠HEB=60°-45°=15°，∵MN∥PQ，∴∠ACH=∠HEB=15°；②α=75°．如图4，∵∠ACH=30°，∴∠HEB=30°，∵∠AHB=90°，CH平分∠AHB，∴∠BHE＝∠AHB＝45°，∴∠HBQ=∠HEB+∠BHE=30°+45°=75°，∴α=75°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．3．(1)见详解;(2)115°．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BED=∠CDE=50°，由角平分线的定义得到∠DEQ=25°，然后根据平行线的性质即可得到结论；（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE=50°，∴∠BED=∠CDE=50°，∵EG平分∠DEB，∴∠DEQ=25°，∵∠F=25°，∴BF∥EG，∵FB⊥BD，∴EG⊥BD；（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，∵∠FBD=90°，∴∠EBD=65°，∵AB∥CD，∴∠CDB=115°．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（1）65°；（2）【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF=∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．即∠BED=∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=30°，∠EDC=∠ADC=35°，∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=∠ABC=，∠EDC=∠ADC=，∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣+．答：∠BED的度数为180°﹣+．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．5．（1）①图见解析；②，证明见解析；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，．【分析】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作和的平分线即可；②先根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，．理由：先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据对顶角相等可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得证．【详解】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作和的平分线，如图1所示：②，证明如下：∵AM平分，DN平分，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，，证明如下：如图2，设DN交BA延长线于点F，延长MA交DN于点E，∵，∴，∵，∴，∵AM平分，DN平分，∴，，∴，∵（对顶角相等），∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键．6．(1)60(2)(3)或【分析】（1）如图，过作证明可得结合已知条件可得答案；（2）如图，过作于交于点K，证明可得由（1）得：而，从而可得答案；（3）如图，当D，C位于AM的两侧时，利用三角形的外角的性质可得从而可得答案；当D，C位于AM的同侧时，如图，，从而可得答案．（1）解：如图，过作∴故答案为：（2）解：理由如下：如图，过作于交于点K，∴而∴由（1）得：而，（3）如图，当D，C位于AM的两侧时，∴当D，C位于AM的同侧时，如图，综上：或【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，三角形的外角的性质的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．7．(1)，解答过程见解析(2)①补全图形见解析；②或或或【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEG+∠EGC=180°，则∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入计算即可求解；（2）①分点E在G的左侧，F不在AB、CD之间；点E在G的左侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F不在AB、CD之间四种情形画图即可；②根据①中四种情形分别求解即可．(1)解：∵，∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，又，，，∴(2)解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，；当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，；当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，；当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，；②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，，∵，∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，∵，∠FEG=45°，∴∠EGC=，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，∵，∴∠AEG=∠EGD，∵，∠FEG=45°，∴，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，，∵，∴∠AEG=∠EGD，∵，∠FEG=45°，∴，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，∵，∠FEG=45°，∴，∵，∴∠AEG=∠EGD=，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及能够进行正确分类讨论是解题的关键．8．(1)①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析；(2)α+β=105°或α-β=15°【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可；②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可；（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．（1）解：①如图1：标出∠3和∠4由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20°∴∠1+∠2=60°∴∠2=60°-20°=40°故答案为：40；②∠1+∠2=60°，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4