2023北京西城区高三一模数学统一试题参考答案及评分标准

第5页/共5页2023西城高三一模数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）C （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）D （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得． ………2分所以． ………4分因为， ………5分所以． ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得． ………7分由题设，，即为等腰三角形． ………8分所以． ………10分所以的面积为． ………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为； ………2分 估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． ………4分（Ⅱ）由题设，的所有可能取值为．估计为； ………5分估计为； ………6分估计为； ………7分估计为． ………8分估计的数学期望． ………10分（Ⅲ）与相互独立． ………13分（18）（共14分）解：选条件①：．（Ⅰ）因为，平面，所以平面． ………1分因为平面平面，所以． ………2分又，所以四边形为平行四边形．所以且． ………3分因为且，所以且．所以为的中位线． ………5分所以为的中点． ………6分（Ⅱ）又，所以两两相互垂直如图建立空间直角坐标系， ………7分则，，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，则，．于是． ………9分因为平面，且，所以平面．所以．又，且为的中点，所以．所以平面，所以是平面的一个法向量． ………11分． ………13分由题设，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． ………14分选条件②：．（Ⅰ）在中，． ………1分在直角梯形中，由，，可求得，所以． ………2分因为，所以为的中点． ………3分因为，平面，所以平面．因为平面平面，所以． ………5分所以．所以为的中点． ………6分（Ⅱ）以下同条件①．（19）（共15分）解：（Ⅰ）． ………1分所以，． ………3分所以曲线在点处的切线方程为． ………4分（Ⅱ）由题设，．所以． ………6分当时，因为，所以． ………8分所以在上单调递增． ………9分（Ⅲ）． ………10分证明如下： 设． ………11分则． ………12分由（Ⅱ）知在上单调递增，所以． ………13分所以，即在上单调递增． ………14分所以，即． ………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）当直线与轴垂直时，设其方程为． ………1分由点,关于轴对称，且，不妨设． ………2分将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．………3分所以直线的方程为． ………4分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知． ………5分当直线的斜率存在时，设其方程为．由得． ………6分由，得．设，，则，． ………8分因为，所以．所以．整理得． ………10分所以．解得，从而． ………11分设，其中．则． ………12分将代入椭圆的方程，得．所以，即． ………13分因为，所以，即． ………14分综上，的取值范围是． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，同理．又，同理．所以集合具有性质． ………4分（Ⅱ）当时，集合中的元素个数为．由题设． ………5分假设集合具有性质，则①当时，，矛盾．②当时，，不具有性质，矛盾．③当时，．因为和至多一个在中；和至多一个在中；和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．④当时，，不具有性质，矛盾．⑤当时，，矛盾．综上，不存在具有性质的集合． ………9分（Ⅲ）记，则．若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．假设存在使得，不妨设，即．当时，有或成立．所以中分量为的个数至多有．…11分当时，不妨设．因为，所以