湖南省五市教研教改共同体高二上学期期中联考数学试题

姓名________准考证号________（在此卷上答题无效）绝密★启用前五市教研教改共同体上学期高二期中联考数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：年份2019202020212022年份代号x1234年销量y1520m35若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（）A．25 B．28 C．30 D．323．已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．4．某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（）A．60 B．72 C．120 D．1445．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，3月6日各代表团分组审议政府工作报告．某媒体4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者A被安排到甲组的概率为（）A． B． C． D．6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等C．记第n行的第i个数为，则D．第30行中第12个数与第13个数之比为13：187．已知双曲线C：（，）的左焦点为F，斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．8．已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（）A．对于事件A，B，若，且，，则B．若随机变量，，则C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，将的图象沿x轴向右平移个单位得到函数的图象，则（）A． B．是图象的一个对称中心C．是奇函数 D．在区间上的值域为11．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（）A． B． C． D．12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．方程恰有3个不同的实数解B．函数有两个极值点C．若关于x的方程恰有1个解，则D．若，且，则存在最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，且与共线，则________．14．若的展开式中的系数为60，则实数________．15．已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为________．16．在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”．先将数列1，3进行拓展，第一次拓展得到1，4，3，第二次拓展得到数列1，5，4，7，3；……；第n次拓展得到数列1，，，……，，3，设，则________，________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：人数性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生3515女生4010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．（1）依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？（2）若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．参考公式与临界值表：，．0.100.050.0102.7063.8416.63518．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，且，侧面为菱形，且．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．（本小题满分12分）航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格：序号i12345678910成绩（分）38414451545658647480记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，．经计算，．（1）求与；（2）规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列；（3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的均值．附：若，则，，．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：的焦距为，，分别为C的左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论的单调性，并求的极大值；（2）若存在正实数，使得成立，求a的值．五市教研教改共同体上学期高二期中联考·数学参考答案、提示及评分细则一、选择题123456789101112CCADBCBDACABACDABD1．【答案】C【解析】∵，∴所对应的点位于第三象限．故选C．2．【答案】C【解析】由已知，回归直线方程为过样本点中心，∴，即，∴．故选C．3．【答案】A【解析】∵，，∴△ABC为等腰直角三角形，∴，则△ABC外接圆的半径为，又球的半径为2，设O到平面ABC的距离为d，则，所以．故选A．4．【答案】D【解析】先将两个节目D，F视为一个元素，与节目C，E进行全排列，再将节目A，B插入四个空档中，所以共有种不同的结果，故选D．5．【答案】B【解析】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有种不同情况，记者A被安排到甲组有种，所求概率为，故选B．6．【答案】C【解析】由可得，故A错误；第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；第n行的第i个数为，所以，故C正确；第30行中第12个数与第13个数之比为，故D错误．故选C．7．【答案】B【解析】记双曲线C的右焦点为，P为第二象限上的点，连接PF，，QF，，根据双曲线的和直线l的对称性知．四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，而，故，，则，，则．故选B．8．【答案】D【解析】由已知可求得，对任意的，，，又，∴，∴，即，，记，则．因此函数在上递减，又，由，∴，所以的单调递减区间为，∴．故选D．9．【答案】AC10．【答案】AB【解析】∵函数的零点构成一个公差为的等差数列，∴周期，∴，A正确；函数沿x轴向右平移个单位，可得，，B正确；为偶函数，C错误；在区间上的值域为，D错误．故选AB，11．【答案】ACD【解析】事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；，故C正确；，故D正确．故选ACD．12．【答案】ABD【解析】由已知由方程得或或，由图可知，无解，无解，有3个解，故A正确；由图可知，和是函数的两个极值点，故B正确；若方程数恰有1个零点，即函数与的图象仅有一个交点，可得或，故C错误；由，则，，，则，设，则，设，显然在上单调递增，且，，所以存在，使，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以存在最大值，故D正确．故选ABD．二、填空题13． 14． 15． 16．；或第16题的评分标准：第1空2分，第2空3分。13．【解析】由与共线得，，所以．14．【解析】∵的展开式中含的项为，由已知的系数为，∴．15．【解析】抛物线C：的焦点为，准线为直线l：，圆M：的圆心，半径，由抛物线的定义知，，则，当P，F，M三点共线时，取最小值为．16．【解析】（1）设数列1，3第n次拓展后的项数为，则，，根据拓展规则可知，，即，∴数列是等比数列，首项为2，公比为2，∴，即，所以；（2）根据拓展规则可知，，∴，又，∴数列是等比数列，首项为6，公比为3，∴，所以．三、解答题17．【解析】（1）列联表：人数性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数合计男生351550女生401050合计7525100，……3分根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；……4分（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，所以X服从二项分布，即，∴，……6分由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，，，，．……9分所以Y的数学期望．……10分18．【解析】（1）因为，点D为棱AC的中点，所以，又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以，如图，连接．因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又，所以平面ABC．又平面ABC，∴；……5分（2）以点D为原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设，由题知，，，，，由，可得，……7分设平面的法向量为，而，，则有取，得，……9分设直线与平面夹角为，则，……11分即直线与平面夹角的正弦值为．……12分19．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由已知∴，……3分又，∴，……4分数列是等比数列，首项为4，公比为4，∴；……6分（2）由（1）知，数列的前n项和为①，②；……7分①-②得，∴，……9分又，则其前n项和为，……10分∴，所以为定值2．……12分20．【解析】（1），；……3分（2）竞赛成绩“优秀”的学生有3人，则X的可能取值为0，1，2，3，则，，，．则X的分布列为：X0123P……8分（3）由题意，，，记抽查学生的测试成绩为，则，……10分∴这100名学生的测试成绩恰好落在区间的入数为，∴．……12分21．【解析】（1）已知椭圆的焦距，则，……1分又的周长为8，∴，则，……3分所以，故椭圆C的方程为；……4分（2）证明：假设存在x轴上的定点，使得，则结合图形可得，所以，……5分由题意，直线EF的斜率一定存在，设直线EF的方程为，由得，设，，则，∴且……7分直线ET的斜率为，直线FT的斜率为，由得，……8分∴，即，……10分∴，则，……11分所以在x轴上存在一个定点，使得．……12分22．【解析】（1）由已知，函数的定义域为，且，……1分当时，由得，由得