工程随机数学

工程随机数学第1页，共108页，2023年，2月20日，星期一课程内容一、概率论Ch1–Ch5二、数理统计Ch6–Ch9三、随机过程Ch10–Ch14第2页，共108页，2023年，2月20日，星期一课程内容介绍概率论是整个随机理论的基础，首先研究随机现象最基本的规律性，其次给出刻画随机变量的方法，进而研究随机变量的取值规律性，包括在某些假设下进一步研究随机变量的各种规律性。对于多个或有限个随机变量，还要研究变量之间在随机取值规律性的依赖关系。第3页，共108页，2023年，2月20日，星期一数理统计以概率论为基础，通过观测试验数据，根据建筑在概率论基础上原理对随机数据进行推断或预测，包括如何有效地收集、整理和分析数据，如何应用这些数据进行统计推断和预测估计。概率论是数理统计学基础，数理统计学是概率论的应用课程内容介绍第4页，共108页，2023年，2月20日，星期一课程内容介绍随机过程可称为概率论的动力学部分，它把有限或无限多个随机变量与参数T联系在一起，突出了随机性和过程性。作为随时间变化的随机变量，随机过程广泛存在于社会科学、自然科学、管理科学的各个领域中，有着重要的应用前景。第5页，共108页，2023年，2月20日，星期一本课程与后续课程的关系《现代数字信号处理》《随机信号分析》《信息论》《误差分析方法》

《通信原理》《无线电波传播》。。。。。。。。

第6页，共108页，2023年，2月20日，星期一应用信号谱估计、高阶矩谱分析、双谱分析等无线电波在随机介质中的传播日地空间物理雷达信号处理无线通信理论随机信号处理信号与信息的统计建模误差分析、可靠性估计时间序列分析。。。。。。。。。第7页，共108页，2023年，2月20日，星期一本门课程ABC起源于赌博—博弈16世纪意大利学者卡丹诺开始研究掷骰子等赌博问题17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合方法，研究了较复杂的赌博问题—合理分配赌金问题《论赌博中的数学》（1657）、《概率论的分析理论》（1812）、《统计学数学方法》（1946）奠基人：瑞士数学家J.伯努利、拉普拉斯、泊松、高斯等20世纪30年代，苏联人科尔莫格洛夫创建概率的公理化体系，正式作为一个数学分支第8页，共108页，2023年，2月20日，星期一名人名言法国数学家Laplace：

“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.”第9页，共108页，2023年，2月20日，星期一Ch1、随机事件与概率§1随机事件及其运算内容：

引入概率论的基本概念：

随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、事件的关系及运算第10页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、随机现象1．确定性现象：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，并且在一定条件下，它必然发生或不发生，遵从严格的因果关系。2．不确定性现象：包括：随机现象、模糊数学、浑沌数学第11页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、随机现象（1）随机现象：

①随机性：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，但条件与事件的发生之间没有决定性的因果关系；②统计规律性：指在大量同类随机现象中所呈现的一种具有集体性质的必然规律—统计规律；③客观性：其发生的可能性大小却是可以用数量关系精确地描述，是客观存在的。

第12页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、随机现象基本定义：

在个别实验中呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象就成为随机现象。第13页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、随机现象（2）模糊现象：

事物概念没有明确的外延、模糊不清，从而造成事物分类归属上的不确定性—模糊性。第14页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、随机试验对某事物特征进行观察,统称试验：

①可重复性试验在相同条件下可重复进行，它是随机现象具有统计规律性的客观依据。②随机性进行一次试验前不可能事先确定哪个结果会发生，否则就无意义了。③完备性尽管事先不能明确试验结果（或各次试验的结果不尽相同），但能事先明确试验的所有可能结果。

具有上述三个特征的试验称为随机试验，记为E。

第15页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、随机试验★注意：随机试验是相对于确定性试验而言，指一个试验可以在相同条件下重复进行，且每次试验结果不能事先确定；并非指“试验的结果都具有同等发生的可能性”，仅指都有可能发生，但有的发生的机率大，有的小，这个几率就是概率；有的具有等可能性，如掷硬币，有的不具有，如射击中靶的环数；若E是由一系列试验依次各做一次所组成，则称为复合试验。第16页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、随机事件随机事件表示：

在随机试验中，对一次试验可能发生或不发生、但在大量重复试验中具有某种规律性的事情—

随机事件。随机事件常用A、B、c等表示

随机事件又可分为：基本事件、复合事件、绝对型事件。第17页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、随机事件基本事件：不能再分或不必再分的随机事件。复合事件：由多个基本事件组成的事件。绝对型事件：为了描述绝对型现象（确定性现象）而引入：必然事件（S

）、不可能事件（

）

第18页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、随机事件基本事件的三个重要特征：（1）等可能性：在每次试验中，每个基本事件发生的可能性相等；（2）互不相容性：在一次试验中，只可能发生基本事件中的一个，即任意≥2个基本事件不会同时在在一次试验中发生；（3）完备性：在一次试验中，所有基本事件中必有一个会发生。第19页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、样本空间

在一次试验中所有基本事件的集合称为该随机试验的样本空间，记为。故基本事件又称为样本点，记为｛｝，即是全体样本点的集合，也即是随机试验所有可能结果的集合。第20页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、样本空间袋中摸球：E为判断颜色1=黑，2=白，则1=｛1，2｝

——可列、可数、有限样本空间打靶：E为判断中靶否击中=“+”，脱靶=“—”

则2=｛+，-+，--+，---+｝

——不可列、无限交换台在10分钟内收到的呼唤次数：E为判断次数，3=｛0，1，2，3，····｝

——可列、离散第21页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、样本空间注意：（1）由E决定，不同的E有不同的。关键在于基本事件的选择（2）可以概括各种实际内容大不相同的问题，如1=｛1，2｝—胜负、正反等（3）可以是可数集，亦可谓不可数集这对随机过程、极限定理等问题的讨论很重要！第22页，共108页，2023年，2月20日，星期一归纳

随机现象

随机试验包含许多可能结果（随机事件）基本事件的集合（样本空间）

第23页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算目的：

通过研究事件之间的关系与运算，把某些复杂事件表示为若干简单事件的积、差、和，达到化繁为简，从而可利用简单事件的概率求解复杂事件的概率。（一）事件之间的关系（二）事件的运算设：E—随机试验，—样本空间，A，B，Ak—随机事件（k=1，2，3····）第24页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（一）事件之间的关系基本关系：等价、包含、互斥、互逆

（1）包含

若A的发生必然导致B发生，即A是B的子集，或A包含于B中。对任意事件有：（2）等价

若A发生B必然发生，反之，若B发生A必然发生，A=BSAB第25页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（3）和（并）A与B中至少有一个发生，记：

三种情况：①或A发生；②或B发生；③或A，B都发生。即C包含了属于A和B的全体样本点。当BA时，AB=B，由此类推：SAB第26页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算和事件可推广N个事件的和事件，N可有限或可列无穷多个

有限可加性可列可加性如：“故障不超过十次”（B）=“0次”（A1）“1次”（A2）····“10次”（A11）这11个事件之和。

第27页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（4）积（交）A与B同时发生记为：C=A∩B，或C=ABC只包含了既属于A，又属于B的那些样本点。有限可积性

可列可积性

SAB显然，当BA时，AB=A，由此类推：对任意事件总有：第28页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（5）互斥（互不相容）

若A与B不可能同时发生，则称A，B互斥（互不相容）记为：AB=

（积事件）三种情况：①A发生但B不发生；②B发生但A不发生；③A，B都不发生。ABS第29页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算★注意：①“等价”—同发或同不发；“积”—同发，“互斥”—不同发②基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）与不可能事件互斥③两事件互斥时，AB可写为A+B④互斥并不意味着A，B互不相干，实际上是有关的。即相互独立≠互斥。AB=，指其中一个发，另一个必不发；⑤若一组事件中，A1，A2，A3····Ak中任意两个互斥，则称这组事件两两互斥第30页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（6）互逆（对立）若，S=A∪B，且AB=，则A，B对立（互逆），并称A是B的逆事件，记，反之亦然。条件1：A，B构成一个完备事件组条件2：A，B互斥对立只适于描述两个事件之间的关系，互斥只是对立的必要条件，而非充分条件

AS第31页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算互斥与对立的区别

1）两事件对立必互斥，但互斥不一定对立2）相互独立≠互逆3）互逆只适于两个事件，互斥则可多个事件4）“AB都发生”与“A，B都不发生”并非对立事件，相反，

“AB都发生”与“A，B不都发生”是对立事件。

5）对任意事件，有第32页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（7）差若A发生但B不发生，记为C=A-B由于B不发生，其对立事件一定发生，所以：A-B=ABSAB如A={直径合格}，B={长度合格}，则C={直径合格，但长度不合格}=A-B第33页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算若A1、A2

，…….An

两两互斥，且则称，A1、A2，…….An

为的一个划分（8）完备事件组第34页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算（二）事件的运算1．交换律：2．结合律：3．分配律：①②4．重迭律：5．互逆律：第35页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算6．吸收律：A∪=，A=A；A∪=A，A=7．差化积：8．吸收律：

：和之逆=逆之积至少发生一个的对立事件为都不发生

：积之逆=逆之和都发生的对立事件为不都发生第36页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算例1：计算：（A-AB）+B=？★：A—AB=A—B，（A—B）+B=A+B和（差）的运算时不能通过去括号、移项来处理的。第37页，共108页，2023年，2月20日，星期一五、事件之间的关系与运算例2：证明：

解：A+B包括：A发B不发，B发A不发，A，B都发由分配律：但不能由此得出：因为和（差）不能去括号处理第38页，共108页，2023年，2月20日，星期一§2随机事件的概率及其运算简单定义：

刻画事件发生可能性大小的数量指标，称作为随机事件的概率P。P应具有客观性、可度量性一、古典概型（等可能概型）二、几何概型三、概率的统计定义第39页，共108页，2023年，2月20日，星期一§2随机事件的概率及其运算一、古典概型（等可能概型）

（一）模型与计算公式试验的可能结果有限，即样本空间所含样本点（基本事件）有限，且这有限个事件两两互不相容——有限性各基本事件发生的可能性相同，即机会均等——等可能性第40页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）

设有一随机试验E发生，其基本事件总数有限，记为n，且等可能性发生。设事件A包含了k个基本事件（k≤n），则定义事件A发生的概率为

第41页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）★用古典概型计算概率要注意：弄清E（判断有限性和等可能性）根据试验目的，构建样本空间（求出基本事件总数n）考察所关心的事件A（求出A所包含的基本事件个数k）利用定义式计算（求P（A））关键：基本事件数目的计算做到不遗漏、不重复常用方法：乘法定理（串联）、加法定理（并联），排列与组合（注意区分有序或无序排列，重复与不重复排列、有放回和无放回抽样）。第42页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）例如：（1）2个人入座3个座位：一个人不能同时座2个座位，一个座位也不能同时座2个人，故问题属于不重复排列问题，其座法为（2）2封信投入3个信箱：虽然一封信不能同时投入2个信箱，但1个信箱可同时容纳多封信，故属于可重复排列问题，其投法为32。★注意区分底数n和指数m。第43页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）例1:设甲类设备有8套，乙类设备有6套，一次雷击毁坏了3套，问这3套是同一类设备的概率解：E：毁坏了3套设备则14套中3套被毁的基本事件数为：

A={毁坏的为同类设备}毁坏的均为甲类的基本事件数：均为乙类的基本事件数：所以：第44页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）例2：摸球问题袋中有a个黑球，b个白球，无放回依次抽，摸k次，求第k（k≤a+b）次摸到黑球概率。解：考察E：从a+b个球中依次摸k次。由于要求把k个球一个一个摸出来，第k次摸到黑球，并且是无放回，因此考虑摸球的顺序，故属于无重复排列，基本事件总数应为：

第45页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）

也可在摸球时暂不考虑顺序，而在取出后再考虑顺序。则第一步为不可重复组合（由于无放回），有种取法；第二步将取出的k个球进行全排列，有K！中排法。再由乘法定理，基本事件总数为考察A：A={第k次摸到黑球}第一步：从a个黑球中任取一个放到第k个位置上，属于任意不重复排列，有种取法；第二步：从余下的个球中任取个球排列到前面的位置上，有种取法；第46页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）第三步：由乘法定理，A所含基本事件总数为第四步：利用定义式求P（A）

第47页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）例3：

将n个人等可能地分配到N个房间中（n≤N）中每一间，求下列事件概率事件A：A={某指定的n间房中各有一人}事件B：B={恰有n间房各有一人}事件C：C={某指定房中恰有m个人}（m≤n）事件D：D={余下N-1间房中各有一人}第48页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）E：由于没有限定每间可住多少人，属于任意可重复排列数问题，故基本事件为：事件A：A={某指定的n间房中各有一人}解：n个人等可能地分配到n间房，保证每房一人，则第一人有n中选择，第二人有n-1种选择，类推，A包含的基本事件数为A=n！（全排列）第49页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）事件B：B={恰有n间房各有一人}解：恰有n间房，表示要在N间房中选取，故属于不重复组合问题，再加上各有一人的条件，故事件C：C={某指定房中恰有m个人}（m≤n）解：首先从n个人中找出m个人放在指定房间中，有种余下的n-m个人等可能地分到N-1间房中，有种分法，由乘法定理第50页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）事件D：若D={余下N-1间房中各有一人}第51页，共108页，2023年，2月20日，星期一

例4

将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这

15名新生中有3名是优秀生。问：

(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？

(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数为：一、古典概型（等可能概型）第52页，共108页，2023年，2月20日，星期一(1)将3名优秀生分配到3个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有3!种。其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有每个班各分配到一名优秀生的分法总数为：于是所求的概率为：第53页，共108页，2023年，2月20日，星期一三名优秀生分配在同一班级内其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率为：第54页，共108页，2023年，2月20日，星期一例5

某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？

解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为:

212/712=0.0000003，即千万分之三。一、古典概型（等可能概型）第55页，共108页，2023年，2月20日，星期一

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。一、古典概型（等可能概型）第56页，共108页，2023年，2月20日，星期一一、古典概型（等可能概型）（二）古典概型的性质根据定义，对任意事件A有（1）

非负性（2）

归一性（3）若A1，A2，A3····两两互不相容，则，

有限可加性即

和的概率等于概率之和：第57页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、几何概型（一）定义及计算方法有一个可度量的几何图形S：试验E可看成在S中随机地投掷一点M，M的每个落点就是一个样本点，因此S中有无穷多个样本点（试验结果）。S即为样本空间，而事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中。事件A的概率与A的度量L（A）成正比，即第58页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、几何概型例：约会问题甲乙相约9-10点见面，约定先来者等20分钟过时即走，问见面机会多少？解：二人均可能在此段时间（60分）内的任意时刻到达。设，甲、乙到达时间分别为X、Y（分钟），则有，

将（X，Y）看作平面直角坐标系的一点，则所有基本事件总数为60×60（分钟）第59页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、几何概型设，事件A={两人见面}（1）甲先到（X<Y），即（2）乙先到（Y<X），即综合（1），（2）有，即满足此条件的点集即为A所含的基本事件数，即L（A）=G区xyG第60页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、几何概型若考虑不见面问题，如两船进港问题，则相反。若将约会问题表述为，则进港问题为，

第61页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、几何概型（二）几何概型性质几何概型与几何图形的测度密切相关，所考虑的事件应是具有某种可测定义测度的集合，这类集合的和、积也同样是事件。因此具有如下性质：（1），非负性（2）归一性（3）若A1，A2，A3····两两互不相容，则，有限可加性即和的概率等于概率之和，可由测度的可加性证明。第62页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、概率的统计定义（一）频率的定义设在同一条件组下进行n次试验，事件A发生了m（

）次，称比值为A发生的频率，即，例如，命中率、入学率等。对必然事件，f（A）=1（n=m），对不可能事件，，f（A）=0（0=m）第63页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、概率的统计定义频率的重要意义：可在一定程度上反映事件A发生可能性大小，且直观、简单，宜掌握。利用频率刻画A发生概率，是统计概型的最初思想，当概率不宜求出，可利用频率近似代替概率。★注意：（1）f（A）与P（A）概念完全不同。尽管都可以描述A发生可能性大小，但是频率：不能脱离具体的n次试验；概率：表示在一次试验中，A发生可能性的大小，与具体试验次数n无关可以认为：频率是概率的具体体现，概率是频率的抽象。在某种意义上:频率是概率的近似，概率是频率的极限（2）不能说百分比是频率，而不是概率第64页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、概率的统计定义（二）概率的统计定义定义：若随着随机事件次数n的增大，事件A出现的频率f（A）在区间[0，1]上的某个数字p附近摆动，则这个数字p就是事件A出现的概率P（A）。第65页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、概率的统计定义★注意：（1）当n充分大时，f（A）

P（A）是否（2）统计概型是一种随机试验事件的概率，不一定是古典或几何型，特征是以事件出现次数的频率作为概率的近似值。从这一点看，它与古典定义是一致的，由此可推知其性质应是一样的。第66页，共108页，2023年，2月20日，星期一三、概率的统计定义

（三）性质:第67页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质（一）问题的提出古典概型、几何概型和统计定义具有局限性共同属性（非负、归一、可列可加性）可作为概率数学理论的基础（二）事件域定义：设是一抽象点集，是由中的一些子集所组成的集合，若满足（1）（2）若则（3）若则称为事件域，中的元素为事件

第68页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质注1：：样本空间，表示规定一个试验，其全部样本点的集合，称中的每一点为基本事件；：子集的集合，是以随机事件为元素的集合，称集族，即一般事件都是由基本事件或其通过运算得到的；A：中的每一元素，称为随机事件——

样本空间，（，）——

可测空间第69页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质（三）概率空间与公理化定义对任意一个随机事件A，，P（A）是一个定义在上的实值函数，它满足：公理1：对任意事件A，，0≤P（A）公理2：P（）=1公理3：若且（k≠j），则从数学上看一个随机试验，它应由下面三个要素描述：——样本空间；——事件域；P——概率

（、、P）——概率空间第70页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质定义：设函数P（A）的定义域为事件域，且满足公理1，2，3，则P（A）为事件A的概率。过程：第一步：把必然事件抽象为样本空间（集合）第二步：把一般随即事件抽象为的子集，事件的关系和运算抽象为集合间相应关系与运算，得到可测空间；第三步：在可测空间上选择三条公理定义P第71页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质（四）概率性质1．有限可加性：设有限多个随机事件Ai，且（k≠j），则2．对任意事件A有，（利用有限可加性可证明）3．减法公式：若，则，推论：P（B）≥P（A）注：反之不然。由概率关系推不出事件关系第72页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质4．注：反之不然。即“概率为零的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件也不一定为必然事件”。5．广义加法公式：推论：对任意事件恒有：可推广至n各有限事件情形，如第73页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质例题1：设P（A）=a，P（B）=b，P（AB）=c求因为且所以

第74页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质例2：设A，B组成完备事件组，求：解：因为所以由于AB与互斥，BA与互斥则由此=0.3

第75页，共108页，2023年，2月20日，星期一四、概率的公理化定义及性质例3：已知，且P（A）=P，求P（B）解：因为：所以：P（B）=1-p

且P（A）=P，

第76页，共108页，2023年，2月20日，星期一§3.条件概率

主要内容(一）条件概率(二）乘法定理(三）全概率公式(四）贝叶斯公式第77页，共108页，2023年，2月20日，星期一(一）条件概率1．定义：设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率。例如：a+b个球中，有a个黑球，随机抽取，则抽到黑球的概率为已知第一次抽到了黑球，问第二次抽取时，抽到黑球的概率设：A={第一次抽到黑球}，B={第二次抽到黑球}显然，

第78页，共108页，2023年，2月20日，星期一（一）条件概率注意几点：条件概率仍是概率，故满足概率三公理，具有概率的一般性质，它与无条件概率的区别在于在原事件组S的基础上，又加上“A发生”这个条件，而无条件是指无新条件，原来的条件并非可无；条件概率的计算公式用纯数学方法不能证明，它是事件证明的普遍规律，是一种描述性定义。不要把事件关系（B/A）=AB直接推到

一般，条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系第79页，共108页，2023年，2月20日，星期一(一）条件概率2．条件概率性质：（1）非负性；（2）规范性：（3）可列可加性：若可逆性：加法公式：P（B/S）=P（B）无论，或，则恒有，第80页，共108页，2023年，2月20日，星期一(一）条件概率例1：设，求，解：P（A）=0.7，

第81页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、乘法公式目的：将N个事件同时发生的概率分解为单个事件的条件概率的乘积，讨论的是诸个事件一起发生的概率。定理：设P（A）>0，则，可推广到n个事件情形，设P（AB）>0，如第82页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、乘法公式例1：一批产品100个，10%次品率，接连两次无放回抽取，求第二次才取到正品概率。解：A={第一次次品}，B={第二次正品}，

C={第二次才取到正品}因为：

C的发生要求A，B同时发生，而不是A发生后要求B发生所以：第83页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、乘法公式例2：设甲地10条线路，在△t时间内平均有100人用，乙地也有10条，在△t时间内平均有50个当地人用。在甲地打不了电话的人中有20人到乙地去打。问，任一个在甲地打电话的人，在甲地打不通，且到乙地也打不通电话的概率。解：A={在甲地打不通}，B={由甲地转到乙地}，

C={在乙地也打不通}求P（ABC）第84页，共108页，2023年，2月20日，星期一二、乘法公式则：，P（B/A）=0.2，而在△t时间内由甲地转到乙地的人数为：（100-10）×0.2=18在甲地打不通，转到乙地后打通电话的概率：所以：故：第85页，共108页，2023年，2月20日，星期一（三）全概率公式目的：计算一类较复杂事件的概率意义：根据先验知识，推算结果发生可能性方法：借助于其它事件组，将这类随机事件分解为若干较简单的事件，把这些简单事件的概率综合起来。即：全概率公式=加法和乘法公式定理：设A1，A2，……An构成一个互不相容的完备事件组，即A1+A2+……+An=S，AiAj=，且P（Ai）>0，则对任意事件B，有第86页，共108页，2023年，2月20日，星期一（三）全概率公式全概率公式的证明∵B=BS=B（A1+A2+A3+……+An）

=BA1+BA2+BA3+……+BAn—完备事件组由加法公式和互不相容性：P（B）=P（BA1）+P（BA2）+……P（BAn）（I）由乘法公式：

（II）

（I）中包括了所有可能导致事件发生的可能性（II）指明了其中任一可能与事件发生的关系的概率第87页，共108页，2023年，2月20日，星期一（三）全概率公式注意：即使不是完备群，但一定要能盖住B，使B当且仅当A1，A2，……An，中某一事件出现时才发生；直观意义：对一个试验，某一结果的发生可能有多种原因，每一原因都对这一结果的发生作出一定贡献。不要把全概公式作为一个计算公式来理解，以为只要有和和积，就可用全概公式，它是其意义的。Ai是导致试验结果的原因，P（Ai）则是各种原因发生的概率，称为先验概率，是试验前对各种原因的认识，B是结果——由因导果第88页，共108页，2023年，2月20日，星期一（三）全概率公式例1：去某地出差，乘飞机、船、汽车、火车的概率分别为3/10，1/5，1/10和2/5，而乘这些交通工具迟到的概率分别1/4，1/3，1/12，0，求此人迟到的概率。解：设Ai（i=1，2，3，4）表示乘

{飞机}、{船}、{汽车}、{火车}

B：{迟到}由题设：

P(A1)=3/10，P(A2)=1/5，P(A3)=1/10，P(A4)=4/10P（B/A1）=1/4，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=1/12，P（B/A4）=0第89页，共108页，2023年，2月20日，星期一（三）全概率公式例2：五个球分别标1，2，3，4，5，无放回抽两次，一次一球，求已知第一次取到偶数球，第二次取到奇数球的P第二次才取到奇数球的P第二次取到奇数球的P解：设A={第一次取到奇数球}，B={第二次取到奇数球}，

={第一次取到偶数球}第90页，共108页，2023年，2月20日，星期一（三）全概率公式（1）求的是：发生条件下，B的概率——条件概率（2）第二次才取到奇数球意味着第一次应取到偶数球，两者同时发生——乘法公式（3）由于B包括了第一次取到奇数球或偶数球两种情况——全概率公式第91页，共108页，2023年，2月20日，星期一（四）贝叶斯公式全概公式根据对各原因Ai的认识或已知知识，推断结果B发生可能性大小—

由因导果若结果B在一次试验中果然出现了，则有必要反过来估计它是由各种原因Ai造成的可能性大小，并从中比较，判别哪种原因可能性最大—

执果导因

若：事件B能且仅能与两两环不相容的事件

A1、A2，……An，中之一事件同时发生，即则由条件概率和乘法定理，可知第92页，共108页，2023年，2月20日，星期一（四）贝叶斯公式例1：用某种方法普查肝癌，设：

A={用此方法判断被检查者患有肝癌}，

D={被检查者确实患有肝癌}，已知且：P（D）=0.0004

现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．第93页，共108页，2023年，2月20日，星期一例1（续）解：由已知，得

所以，由Bayes公式，得（四）贝叶斯公式第94页，共108页，2023年，2月20日，星期一（四）贝叶斯公式第95页，共108页，2023年，2月20日，星期一§3.独立性一、两个事件的独立性一般讲，若要两者相等，则意味着即A的发生对B是否发生不产生任何影响，或不提供任何信息。习惯上称“无关”，数学上称“独立”，如产品有放回抽样。定义：若P（AB）=P（A）P（B）成立，则事件A，B是相互独立的随机事件。第96页，共108页，2023年，2月20日，星期一§3.独立性★注：①定义虽有，但用其判断事件独立性往往较难，且不必要。许多实际问题本身给出的条件就能显示独立性。实际上，数学独立性与物理工程上的独立性是一致的；②独立性与互斥有区别，二者间无必然联系；独立—A发生与否不影响B发生的概率，关键要把握定义，以定义为准；互斥—AB=，说明A，B间有联系（三种情况）互斥：和的概率=概率之和；独立：积的概率=概率之积第97页，共108页，2023年，2月20日，星期一§3.独立性设P（A）＞0，P（B）＞0（1）若A，B互斥，则A，B独立因为：互斥→AB=，则P（B/A）=P（AB）/P（A）=0/P（A）=0≠P（B），即，所以，A，B不独立；（2）若A，B独立，则A，B不互斥只有在P（A）或P（B）至少有一个为零，才可能同时独立与互斥（3）A，B不独立，并不能导致A，B不互斥（4）既不独立又不互斥的事件组是存在的第98页，共108页，2023年，2月20日，星期一§3.独立性③事件的独立性不具有传递性即，若A，B独立，且B，C独立，但不能推出A，C独立;即，两两相互独立不能忽略任一等式由事件的独立性可直接推出下列命题1）必然事件与任意事件A相互独立∵P（AS）=P（A/S）P（S）=P（A）P（S）2）不可能事件与任意事件A相互独立3）若A，B独立，则也独立推广成定理：4对事件，有一对对立，其余3对亦独立。第99页，共108页，2023年，2月20日，星期一§3.独立性二、多个事件的独立性定义：对A，B，C三事件，若下列各事件同时成立，则A，B，C为相互独立事件。P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）上式：三事件两两独立

——

必要条件下式：A，B，C中任一个事件与其它事件的积相互独立

——

充分条件第100页，共108页，2023年，2月20日，星期一注意：(1)多个事件相互独立与多个事件两两相互独立并非一回事，两两独立并不能保证它们是相互独立的，一定要加上条件2）例如:一个均匀四面体，三面各涂R，B，Y色，第四面涂R，B，Y色，投掷此四面体，观察出现颜色记：A={R色}，B={B色}，C={Y色}P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/4，P（AB）=P（AC）=P（BC）=