2023届湖北省武汉市六校联考高二数学第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要2．若集合，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．3．已知向量，，若∥，则A． B． C． D．4．若函数，则（）A． B． C． D．5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度6．如图，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于（）A． B．C． D．7．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于A． B． C． D．8．若（是虚数单位），则复数的模为（）A． B． C． D．9．已知函数，则使得成立的x的取值范围是（）A． B． C． D．10．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）100102108114116浓度（微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（）参考公式：，；参考数据：，；A． B． C． D．11．如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将绕对角线BD旋转，令二面角A－BD－C的平面角为，则在旋转过程中有（）A． B． C． D．12．用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中的所有的整数次幂项的系数之和为__________．14．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是____.15．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有________种.16．在侧棱长为的正三棱锥中，，若过点的截面，交于，交于，则截面周长的最小值是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．18．（12分）如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形，，C．（1）求证：直线直线；（2）若直线与底面ABC成的角为，求二面角的余弦值．19．（12分）设命题p:函数f(x)=x2-ax命题q:方程x2+ay2命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.20．（12分）某机构为了调查某市同时符合条件与(条件：营养均衡，作息规律；条件：经常锻炼，劳逸结合)的高中男生的体重(单位:)与身高(单位:)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格:身高/体重/根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.(1)求关于的线性回归方程(精确到整数部分)；(2)已知，且当时，回归方程的拟合效果较好。试结合数据，判断(1)中的回归方程的拟合效果是否良好？(3)该市某高中有位男生同时符合条件与，将这位男生的身高(单位:)的数据绘制成如下的茎叶图。若从这位男生中任选位，记这位中体重超过的人数为，求的分布列及其数学期望(提示:利用(1)中的回归方程估测这位男生的体重).21．（12分）已知，p：；q：不等式对任意实数x恒成立.（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）如果“”为真命题，且“”为假命题，求实数m的取值范围.22．（10分）已知函数f(x)＝ex,g(x)＝lnx.(1)设f(x)在x1处的切线为l1,g(x)在x2处的切线为l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;(2)若方程af2(x)－f(x)－x＝0有两个实根,求实数a的取值范围；(3)设h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,求实数b的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.2、C【解析】

由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．【详解】求解二次不等式可得：，则．据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．本题选择C选项，故选C．【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3、D【解析】

根据∥得到，解方程即得x的值.【详解】根据∥得到.故答案为D【点睛】(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)如果=,=，则||的充要条件是.4、A【解析】

首先计算，然后再计算的值.【详解】,.故选A.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于计算题型.5、B【解析】

由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.6、A【解析】

试题分析：因为，=0时，x=1，所以，由函数的图象，直线及x轴所围成的阴影部分面积等于，故选A．考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算．点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间[1,2]的定积分．7、C【解析】

椭圆化标准方程为，求得，设直线方程为，代入椭圆方程，求得交点坐标，由向量坐标运算求得．【详解】椭圆方程为，，取一个焦点,则直线方程为，代入椭圆方程得，，所以，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求．8、D【解析】

利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.【详解】因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.9、C【解析】

转化函数，证明函数单调性，奇偶性，再转化为，即，求解即可.【详解】由题意，函数，定义域为R，故为偶函数令，在单调递增，且在单调递增则因此故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.10、B【解析】

利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【详解】由题意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故选：B．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.11、B【解析】

首先根据旋转前后的几何体，表示和，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑和两种特殊情况.【详解】如图，绕旋转形成以圆为底面的两个圆锥，(为圆心，为半径，为的中点)，，，当且时，与等腰中，为公共边，，,.当时，,当时，,综上，。C.D选项比较与的大小关系，如图即比较与的大小关系，根据特殊值验证：又当时，,当时，，都不正确.故选B.【点睛】本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动态的旋转过程中，如何转化和，从而达到比较的目的，或考查和两种特殊情况，可快速排除选项.12、B【解析】

直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可．【详解】解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证时是否成立，即不等式为：；故选：．【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、122【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出所有的整数次幂项的系数，再求和即可。详解：所以整数次幂项为为整数是，所以系数之和为122点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项的表达式，使其满足题目设置的条件。14、【解析】

设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得，从而求出结果.【详解】设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，

z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，可得，即，则由根与系数的关系，，则，所以的取值范围是：.故答案为.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.15、【解析】

根据题意，用间接法分析，先计算三颗棋子分别放入方格图中的三个方格内任意两颗棋子不同行、不同列的放法数目，再排除其中在同一条对角线上的数目，分析即可得出答案.【详解】解：根据题意，用间接法分析：若三颗棋子分别放入方格图中的三个方格内，且任意两颗棋子不同行、不同列，第一颗棋子有种放法，第二颗棋子有种放法，第三颗棋子有种放法，则任意两颗棋子不同行、不同列的放法有种，其中在正方形的同一条对角线上的放法有种，则满足题意的放法有种.故答案为：.【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题.16、1【解析】

沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为截面周长的最小值，且．中，由余弦定理可得的值．【详解】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图（2），则即为截面周长的最小值，且．中，由余弦定理可得：.故答案为1．【点睛】本题考查余弦定理的应用、棱锥的结构特征、利用棱锥的侧面展开图研究几条线段和的最小值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

(1)根据前n项和与通项间的关系得到，，，两式做差即可得到数列，数列为常数列，，即；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.【详解】（1）当时，，即，当时，①，②，得，即，所以，且，所以数列为常数列，，即．（2）由（1）得，所以，所以，．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先证平面，再证平面，可证直线直线（2）由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求得二面角．【详解】证明：连接，侧面为菱形，，又C，，平面，，又，，平面，平面，直线直线；解：由知，平面平面，由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，，得D为AB的中点，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则为平面的一个法向量，则0，，2，，，设平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值为．【点睛】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．19、a<1【解析】分析：化简命题p可得a≤0，化简命题q可得0<a<1，由p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p,q一真一假，分两种情况讨论，对于p真q假以及p假q真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数a的取值范围.详解：由于命题p:函数f(x)=x2-ax所以a≤0命题q:方程x2+ay2所以2a命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题，则p、①p真q假时：a≤0a≤0②p假q真综上所述：a的取值范围为：a<1点睛：本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.20、(1);(2)见解析;(3)见解析.【解析】分析：（1）依题意可知，又，，即可得到答案；（2）求出即可；（3）的可能取值为，分别求出对应的概率即可.详解：（1）依题意可知，∵，∴，故关于的线性回归方程为.（2）∵∴，故（1）中的回归方程的拟合效果良好.（3）令，得，故这位男生的体重有为体重超过.的可能取值为.则的分布列为点睛：求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同．21、（1）（2）【解析】

（1）解不等式即得解；（2）由“”为真，且“”为假知p，q一真假，再分两种情况分析讨论得解.【详解】（1）由“不等式对任意实数x恒成立”为真得，解得，故实数m的取值范围为.（2）由“”为真得m的取值范围为，由“”为真，且“”为假知p，q一真假，当p真q假时，有，此时m无解；当p假q真时，有，解得或；综上所述，m的取值范围为.【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22、(1)0.(2)0<a<1.(3)b≥ln2＋.【解析】分析：（1）求导，利用l1//l2时k值相等，即可求出答案；（2）参变分离，利用导数的应用以及数形结合即可得到答案；（3）由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求导，因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再参变分离，分析讨论即可.详解：(1)f′(x)＝ex,g′(x)＝由题意知：＝故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.(2)方程af2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝令φ(x)＝,则φ′(x)＝－当x<0时，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)单调增；当x>0时，e