2023年高考数学一轮复习课件：3-1第一节变化率与导数、导数的计算

第一节变化率与导数、导数的计算必备知识—基础落实关键能力—考点突破微专题

·考向预测·考情分析：本节主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等．学科素养：通过导数的几何意义考查数学抽象的核心素养，导数的四则运算考查数学运算的核心素养．必备知识—基础落实

瞬时变化率

曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________0nxn－1cosx－sinxaxlnaex

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

二、必明2个常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(

)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(

)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(

)××××√(二)教材改编2．[选修2－2·P18T5改编]已知函数f(x)＝x(19＋lnx)，若f′(x0)＝20，则x0等于(

)A．e2B．1C.ln2D．e答案：B

3．[选修2－2·P19T2改编]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________．5x＋y＋2＝0解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)．即5x＋y＋2＝0.(三)易错易混4．(混淆f′(x0)与[f(x0)]′的区别)已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝________．－8解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8.5．(混淆“在”与“过”的区别)已知函数f(x)＝x3＋x－16，若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，则直线l的方程为___________．y＝13x

y＝5x＋2

关键能力—考点突破

答案：D

2．[2022·四川省南充市测试]已知函数f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f(e)＝(

)A．－eB．eC．－1D．1答案：C

0

1

y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.

反思感悟[提醒]

求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

Dx－y＋2＝0或4x－y－4＝0

答案：B

反思感悟

求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标．

答案：A解析：(1)f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，∴切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1.(2)[2022·湖北九师质检]已知函数f(x)＝x2＋xlnx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________．

反思感悟

利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒]

(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．【对点训练】1．[2022·黄冈模拟]已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(

)A．(1，3)

B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3)D．(1，－3)答案：C

2．[2021·湖北省荆州市高三质检]函数y＝ex－1－2x在点(1，f(1))处的切线方程为________．x＋y＝0解析：由题得f(1)＝e1－1－2＝－1，所以切点坐标为(1，－1)．由题得f′(x)＝ex－1－2，∴k＝f′(1)＝－1，所以切线方程为y＋1＝－(x－1)，∴x＋y＝0.3．[2021·西安五校联考]已知函数f(x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝______．3

4．[2022·辽宁葫芦岛模拟]若一直线与曲线y＝lnx和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．2e

微专题13导数与其他知识的交汇

名师点评破解曲线的切线与数列相交汇问题的关键(1