《线性代数》课件1.3

第一章矩阵第三节方阵的行列式一、二、三阶行列式二、排列与逆序三、n阶行列式的定义四、行列式的性质五、行列式按行（列）展开六、行列式的计算七、方阵的行列式§3方阵的行列式一、二阶和三阶行列式设有二元线性方程组用加减消元法可得

上式给出了二元线性方程组的公式解．但公式解的表达式比较复杂，不便于记忆，引进新的符号来表示这个结果．我们称由4个数组成的记号为二阶行列式．它含有两行、两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫作行列式的元素．利用二阶行列式记号，取

二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线（主对角线）上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线（副对角线）上两个元素的乘积，取负号．

需要注意的是二阶方阵和二阶行列式是两个不同的概念，二阶方阵是按确定方式排成的一个数表，而二阶行列式是按照一定运算法则确定的一个数．

二阶行列式的对角线法则：例解二元线性方程组解由于因此，二元线性方程组的解为

为了进一步讨论线性方程组的需要，下面给出三阶行列式的概念．

三阶行列式对角线法则：实线上三元素的乘积取正号，虚线上三元素的乘积取负号.例计算三阶行列式解按对角线法则有实线上三元素的乘积取正号，虚线上三元素的乘积取负号.例解方程解方程左端的三阶行列式二、排列与逆序

例如，312是一个3级排列，3214是一个4级排列，而25134是一个5级排列．三、n阶行列式的定义三阶行列式的特征分析

三阶行列式具有如下规律：

(1)三阶行列式是3！项的代数和；(2)三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号，为奇排列，则取负号．三阶行列式可表示为

按此结构规律可将三阶行列式概念的推广到n阶行列式．

需要注意的是n阶方阵和n阶行列式是两个不同的概念，n阶方阵是按确定方式排成的一个数表，而n阶行列式是按照一定运算法则确定的一个数．例

计算上三角形行列式上三角形行列式下三角形行列式对角形行列式

结论：上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．解所以四、行列式的性质

推论

如果行列式某两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零．

性质３

行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即例计算行列式解利用行列式的性质将行列式化为上三角形行列式例试证明：

证把行列式的第２、３列同时加到第４列上去，则得例计算行列式五、行列式按行（列）展开对于三阶行列式，有

三阶行列式可以展开成二阶行列式的形式.

为了表述这种展开形式下面引入余子式和代数余子式的概念.由代数余子式，三阶行列式可表述为

这种表述不但对行列式的第一行成立，对于行列式的任意行（列）而言均有类似结论.余子式为代数余子式为

结论：任何行列式均可展开成某行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即有为了证明行列式展开定理，我们先证明一个引理.对于一般情况证设由行列式性质4及引理，可得同理可证列的情形同理可以证明.定理１及其推论可以合并表述为：定理１推论

拉普拉斯（Laplace,1749—1827）法国著名数学家和天文学家，拉普拉斯是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。拉普拉斯在数学的许多领域都有突出的贡献，行列式展开定理就是拉普拉斯提出的。

利用展开定理计算行列式的步骤：（1）选择某一元素简单的行（列），利用行列式性质，将选择的行（列）化简为仅有一个非零元素元素的行（列）；（2）再由定理1按该行（列）展开，将行列式变为低一阶行列式；（3）如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶行列式，以此简化行列式的计算．例计算行列式解选择第２列保留一个非零元素其余元素化为零例证明证将等式左端的行列式按第1行展开，得六、行列式计算1.三角化方法

三角化方法是利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式，利用三角形行列式结果来进行行列式计算的方法．例计算行列式例计算行列式解将行列式化为三角形行列式

从第2行起，把每一行均加到第1行上.每一列各减去第1列将行列式化为下三角行列式计算三角行列式2.降阶展开法

降阶展开法是利用行列式的性质将某几行或某几列尽可能多的元素变为零，然后按行（列）展开，将行列式化为较低阶行列式进行计算的方法．例计算行列式解将行列式按第１列展开例计算行列式

3.递推法递推法是将行列式从高阶向低阶变形，找出递推公式，利用递推公式将行列式降阶