自动控制原理第八章线性系统的状态空间分析与综合习题及解答

如有帮助欢迎下载支持第八章线性系统的状态空间分析与综合习题及解答8-1已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数diURiLaE+dtaaaabdEKbmdtbMCimma2ddMJmmfmmdt2dtm(s)CLfJRsRfKC))(mms[LJs2(U(s)aamammaambm⑴设状态变量x1及输出量y，试建立其动态方程;mxmx，，mm23y,,⑵设状态变量xix1x及,试建立其动态方程。a2m3mm解：x1mxx（1）由题意可知：21m，xxm32yxm1URiLiEaEKaaaab由已知bmMCimmafmMJmmmmxx21xx23fLJRRfKCC可推导出xx3x2UmmaLJmaambm3LJaLJaaammmyx1由上式，可列动态方程如下1如有帮助欢迎下载支持01010xx11xx+000URfKCLfJR22ax0xCambmamLJma33LJamLJmamamx1001y=x2x3xi,x,x,y（2）由题意可知：1a2m3mm1Uxbx1URKLRKxiaiaaba1LmLaL1L3Laaaaaaaxx3可推导出2mxmifmCCJfmxmx3mm3mJaJ1Jmmmx2ym可列动态方程如下Kba1Raa0x1x1LLx1Lay010xx2001x0Ua22Cm0fmx0x33x3JmJmxxi11max和x2由得2mmmxx3m3xx12mxx23mxmifmCCJfxmxJ13mm3JJmammmm0101T00由上式可得变换矩阵为Cfm0mJJmm611668-2设系统微分方程为yyyyu。式中，u和y分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。解：由题意可得：2如有帮助欢迎下载支持yus36s211s66可控标准型010x0x11x001x0u6116221x3x3x1y600x2x3状态变量图如下：由方程得可观测标准型006x6x11x1011x0u220160xx33x1y001x2x3状态变量图如下：x,x,x8-3已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为。试求动态方程，3并画出状态变量图。123如有帮助欢迎下载支持由结构图可得xxxs(s1)2s2xsx2x2x即xx2x2x11123112323x3ssxx即xx13x113x2sx2x3x2u即x2x3x2u2122122uxs31由上述三式，可列动态方程如下：x001x011x230x2u2032x023x3x1yx100x12x3状态变量图如下：8-4已知系统传递函数为G(s)s26s8s24s3，试求可控标准型，可观测标准型，对角型动态方程，并画出状态变量图。解：(1)可控标准型x01x0u134x1x122y52xu1x2（2）可观测标准型4如有帮助欢迎下载支持035xx1ux1142x22xy01u1x2132s3s1G(s)s26s812（3）43s2s1230xxu1011x3x22由上式可得对角型2y11xu1x258-5已知系统传递函数G(s)(s1)2(s2)，试求约当型动态方程，并画出状态变量图。555s5s2G(s)解：(s1)2(s2)(s1)21由上式，可得约当型动态方程110x0x1x010x1u1220021x3x3x1y555x2x38-6已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程分别为xxu112xx2uu2231x6x11x6x2u23123yxx211y2xxx3212矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图写出解：由题中给定方程可列写出动态方程010x10xu1u11x001x2122026116xx233x110y1x121y122x35如有帮助欢迎下载支持状态变量图如下0100x230x1u，试求传递函数G(s)28-7已知系统动态方程为113y001解：1s00G(s)C[(sIA)1]B0012s3011s32102s7s3=s1s37s62s5s1s23s21=7s632108-8已知系统矩阵A=，至少用两种方法求状态转移矩阵。01解：（1）级数法：eAtIAt12A22t+1t12t213t314t40==01t1t21t31t42340et0et(2)拉氏变换法6如有帮助欢迎下载支持101s1s101s1(sIA)10s10100s1eteAtL110et0s16et5e2t4et4e2t(t)8-9已知系统，3et3e2t2et3e12t2ete2tete2t(t)2和2et2e2tet2e2t，判断是否是状态转移矩阵。若是，则确定系统的状态阵A；如果不是，请说明理由。12解：转移矩阵应满足：A,(0)I1010(0)010I0112(t)1(t)2假设，为转移矩阵则446e10e4e8et2tt2tA1=(t)3et6e2t2et6e12tt0t0012e2e2te2e2ttt(t)t0A2=2et4e2tet4e2322tt0则12et8e2t8et4e2t1t(t)A1=9e8e6et4e12t2tt2e2e2te2e2ttt2A2t(t)＝t==A22e4eet4e22t2t2t01t2(t)1其状态阵所以不是转移矩阵，是转移矩阵，为。23100020x的解8-10试求下列状态方程的解x300解：由题意可得：7如有帮助欢迎下载支持xAx(sIA)xx0x(sIA)1x0x(t)L1(sIA)1x00s20s1001x(t)L1x000s3100s11s2L00x10100s30et00e2t0x00e3t0101(0)1,x(0)0。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。2xxu，初始条件为8-11已知系统状态方程为x1111解：此题为求非奇次状态方程的解，对于非奇次状态方程。x(t)(t)x(0)t(t)Bu()d01s1101s10et01(t)L1(sIA)1L1L1s1s1tetet(1)2ss1et010112etetdx(t)tee1t00(t)etet2tettty(k2)3y(k1)2y(k)2u(k1)3u(k)，并且y(0)=0,y(1)=1,8-12已知差分方程u(0)试列写可控标准型离散动态方程，并求出u(k)时的系统响应。u(1)11解：由差分方程可得离散动态方程如下：x(k1)Gx(k)Hu(k)y(k)Cx(k)0123H01C32G8如有帮助欢迎下载支持x(1)Gx(0)Hu(0)001011y(1)Cx(1)320210100112x(2)Gx(1)Hu(1)1231y(2)Cx(2)32112010y10x设采样周期，试求离散化动态方程xu,T1s8-13已知连续系统的动态方程为x。102解：111ss(s2)1s2(e1)1s12t(t)L1[sIA]1L1L120100e2ts212(e21)13.19e210(T1)07.39112(e21)10u10G(T1)()BdT00e211(e2)11.34722==13.195e220xxx,x2x3x平衡状态的稳定性。128-14试用李雅普诺夫第二法判断12120x解：平衡点：1x02V(x)x2x构造212V(x)2xx2xx2x(xx)2x(2x3x)则1122112212=2x26xx6x2211223x136x=xx1229如有帮助欢迎下载支持20V(x)23判定性质：3612930V(x)负定，因此平衡状态是大范围一致渐近稳定的123210u1，当Q=I时，矩阵P的值；若选Q为正半定矩阵，求对应ux010x028-15已知系统状态方程为1010122的P矩阵的值，并判断系统稳定性。解：ATPPAQI令：1232200PPPPPP1211112131112131PPPPPP01021222231222231301PPPPPP012132333132333100010=001PPP4812111213116PPPP8613解得：122223121344PPP132333古氏行列式：40848624648804812613156401213448因此不定。000Q010选000V(X)XTQXX则2，为负半定。2ATPPAQ由等式解得：10如有帮助欢迎下载支持PPP00011121312PPPP00正半定。122223PPP000132333判定系统稳定性：s2132sIA0s10(s2)(s1)201s12三个特征值分别为：2,1,1。因此系统不稳定。010常离散系统状态方程为，x(k1)001x(k)，k0，8-16设线性定试求使系统渐近稳定的k值范围。k002TPPQI解：令000PPP010PPPk11121311121310PPP001PPP231222PPP1323332122223kPPP000102132333即100010001100PPP8k2111213PPPP00解得：4k2122223PPP12001323334k2k0若要满足题意，需令k4。因此，渐近稳定0k2。的条件为：28-17试判断下列系统的状态可控性。2210(1)x020x0u14011100(2)x010x1u011011如有帮助欢迎下载支持11000uu(3)x010x0110111024001(4)x040x2u0011110101u(5)xx111011101100(6)xxu11011解：012PBABA2B000（1）c101rankP2n3该系统不可控c012PBABA2B111（2）c012rankP2n3该系统不可控。c010102P010101（3）c111112rankP3n该系统可控。c1416（4）P2832c111rankP2n3该系统不可控。c100000101（5）x1xu100000011112如有帮助欢迎下载支持解：012313112PBABA2BA3B112131c111312111矩阵不满秩，该系统不可控。100010100（6）x1xu100000011100131321012PBABA2BA3B解：c1213112113111矩阵不满秩，该系统不可控。0118-18设系统状态方程为xxu，并设系统状态可控，试求。a,bb1a解：1bPBABbab1c令Pab1b20ab1时，即可满足可控性条件。bcsa8-19设系统状态方程为G(s)s37s214s8，并设系统状态可控、可观测，试求a值。解：sasaG(s)s3ss7148(s1)(s2)(s4)2a何值，系统○采用可控标准型，不论为总可控。1a1,2,4。○在任意三阶实现情况下可控，则28-20试判断下列系统的可观测性：12221x011x0u101(1)(2)y110x200x020x031y111x13如有帮助欢迎下载支持111xx212(3)1000yx0010210x020x(4)003y011x解：C110PCA131（1）cCA2050rankP3n该系统可观。cC111PCA251（2）c4`131CA2rankP3n该系统可观。c（3）该形式为约当标准型，直接判定，该系统可观。（4）该形式为约当标准型，直接判定，该系统不可观。a1y11x可观测的a,b.。xx,8-21试确定使系统0b解：11CPca1bCAP1ba0ba1时，于是系统可观。c8-22已知系统动态方程各矩阵为13201100A042,B00，C00100110试用传递矩阵判断系统的可控性和可观测性。解：s132(s1)(s4)3(s1)2(s1)112(s1)(s1（)s4）(sIA)10s4200(s1)2判断可控性：(s1)(s4)20s10014如有帮助欢迎下载支持s432012s41(s1)(s4)(sIA)1B0s12002000s410s40a2s4a20as400令123aaa0123所以(sIA)1B中三行向量线性无关，因此该系统可控。判断可观性：s4321001(s1)(s4)C(sIA)10s1200100s4s4321=(s1)(s4)00s4s432s43a0令aa0012aaa0。解得123所以，C(sIA)1中三行向量线性无关，因此该系统可观测。01000010A8-23已知矩阵A，试求A的特征方程,特征值和特征向量,并求出变换矩阵，将约当化。00011000解：s1000s10D(s)sIA00s1s41100s（1）（2）3,411j2111jj15如有帮助欢迎下载支持111111jjPP2P3P4（3）1111111jj对角化变换矩阵111111jj11PPPPP11123411jj11jj1111PAP11jj1111所以P可使A对角化1218-24将状态方程xxu化为可控标准型。1341117PBAB解：crankP2,可控，可化为可控标准型。所以，c711Pc118P111取81P11P1611826则PP1A121111126101验证：PAP1182634211051110PB182611验证完毕。,AB阵为：故可控标准型实现对应的01,B0A1051Y(s)s18-25已知系统传递函数为Uss2s，试写出系统可控、不可观测，可观测，不可控，不可控、不可观测的动态()3216如有帮助欢迎下载支持方程。解：Y(s)U(s)s2ss1s132(s1)(s2）传递函数有零极点对消，因此不可控或不可观。可控、不可观方程：01230XXU111XY可观测、不可控方程：021XXU131Y01XY（s)s101U(s)(s1)(s2)s1s2不可控、不可观测方程：100XXU021Y01X8-26已知系统动态方程各矩阵为：1000102000A,B,C43116230332042试求可控子系统与不可控子系统的动态方程。解：11110000333321147191PBABA2BA3BcrankP2c111300113002300033300211001T1T27270900270017如有帮助欢迎下载支持0011310001110002302000001TAT112727090623033000270032042110001087516271352121270081180005400113127002300TB1127270903270027002011100001CT1431111043330021100所以，可控子系统为：010875161XuX1X102727135y110X27212ccccc不可控子系统为：32921X06cX3X3cc02Y43Xcc8-27系统各矩阵同题8-26，试求可观测子系统与不可观测子系统的动态方程。解：利用9-27的对偶关系实现：0270011081350010A1CBT1000BCT277521810428218543可观子系统：027110X1Xua10813527aY10Xaa不可观子系统：18如有帮助欢迎下载支持75212728290X4X1U3X1326aaaY0a01000110u。说明可否用状态反馈任意配置闭环极点，若可以，求状态反馈矩阵，x8-28设系统状态方程为x100110使闭环极点位于10,1j3,，并画出状态变量图。解：0010PBABA2B01090c10100990rankP3n,csI(ABk)(s10)(s1j3)(s1j3)000100s10s00110kkks312s224s402300s011010s3(10k9)s2(10k10k9)s10ks312s224s4033214k1k1.22k2.13010,10x，试设r,2r(r0)，并计全维状态观测器，使其极点位于xuy8-29设系统动态方程为x100画出状态变量图。解：10CPcCA01rankP2n,可观，可设计全维状态观测器。c19如有帮助欢迎下载支持AHCh100h10观测器系统阵：0000hh011sh1令sI(AHC)s2hsh(sr)(s2r)s23rs2r2010hs1h3r0解得：h2r21Y(s)(s1)(s2)s1(s2)(s3)，若有可能，8-30设系统传递函数为U(s)(s1)(s2)(s3)，判断能否利用状态反馈矩阵将传递函数变成求出一个满足的状态反馈阵。K，并画出状态变量图提示：状态反馈不改变传递函数的零点。解：能。y(s)(s1)(s2)s2s2u(s)(s1)(s2)(s3)32s56s2s上式无零极点对消，因此可控，可任意配置极点。控标准型实现：xAxBu;yCx用可0100,B0,C211A001其中：2165s1为使传递函数变为(s2)(s3)，需配置极点，使得D(s)(s2)2(s3)s37s216s120100010001令：ABk016k5k2k1216712318k1k21解得：2k5320如有帮助欢迎下载支持配置极点后出现零极点对消，系统不可观。但传递函数只描述外部特性，故可达到目的。8-31设系统状态方程为：00520ux101x12,y001x1u0130120.22j1.3，并画出状态变量图。试判别系统可控性和可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于-0.57，2005510121113BABAB=解：Pc20115711rankP3n，系统可控cC001PCA01300310CA2rankP3n，系统可观测。0005h005h00AHC101h001101h11013013hh22令：sI(AHC)(s0.57)(s0.22j1.3)(s0.22j1.3)s0h50即：1sh1s3(3h)s2(h1)s(h5)s3s22s1121001s3h221如有帮助欢迎下载支持6h0