中考数学知识点复习训练题及答案解析：16二次函数的存在性问题

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品

专题16二次函数的存在性问题

题(含特殊四边形)

【典例分析】

【考点1】二次函数与相似三角形问题

【例1】已知抛物线y=依2+"+3与X轴分别交于4—3,0),8(1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;

(2)点F是线段AD上一个动点.

4/7j

①如图1,设％=——，当k为何值时，CF=-AO.

AD2

②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与AABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明

理由.

【变式J-1】如图，抛物线y=o^+2x+。经过A(-l,()),B两点,且与y轴交于点C。3),抛物线与

直线y=-x—1交于A,E两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)坐标轴上是否存在一点Q,使得A4QE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的

坐标；若不存在，说明理由.

(3)P点在龙轴上且位于点8的左侧，若以P,B,。为顶点的三角形与AA3E相似，求点尸的坐标.

B,与y轴相交于点C,

m

且点A在点B的左侧.

(1)若抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在第四象限内，抛物线上是否存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似？若存

若不存在，请说明理由.

【考点2】二次函数与直角三角形问题

【例2】如图，抛物线＞=0?+加+c(aHO)的顶点坐标为(2,-1),图象与『轴交于点。(0,3),与x轴

交于A、3两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线对称轴与直线BC交于点。，连接AC、AD,求AC。的面积;

(3)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点尸，问是否存在点E使DEF为

直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由.

【变式2-1】如图，经过x轴上4—1,0)，8(3,0)两点的抛物线y=m(x_l)2—4m(〃z<0)交).轴于点

C,设抛物线的顶点为。，若以06为直径的0G经过点C，求解下列问题：

(1)用含机的代数式表示出C,D的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)能否在抛物线上找到一点。，使△8DQ为直角三角形？如能，求出。点的坐标，若不能，请说明理

【变式2-2】已知抛物线y=f-2x+加—1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶

点为B.

(1)求加的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C,求证：△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线y',且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点,

如图.请在抛物线y'上求点P,使得△EbP是以EF为直角边的直角三角形？

【考点3】二次函数与等腰三角形问题

【例3】如图，已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，其中A点坐标为(-3,0),

与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值；

(3)若抛物线上有一动点M,使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标.

(4)抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得ABCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存

在，说明理由.

【支灰3-1】如图，抛物线y+匕X+3与X轴交于点A(1,0)和B(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC〃x轴，与对称轴右侧的抛

物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使AOCP是等腰三角形？若存在，请直接写出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【变43-2】如图，抛物线j=/+6x+c(aH0)与直线j=x+l相交于疝两点，且

抛物线经过点C(5：0).

(2)点尸是抛物线上的一个动点(不与点月、点5重合)，过点尸作直线尸Z>_x轴于点。，交直线.18

于点E.

①当产E=2E。时，求尸点坐标；

②是否存在点尸使ABEC为等腰三角形，若存在请直接写出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

【考点4］二次的致与平行四边形问题

3

【例4】如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴相交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴相交于(0,一；)，

顶点为P.

(1)求抛物线解析式；

(2)在抛物线是否存在点E,使白ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条

件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积.

【支灰4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-|炉+bx+c,经过A(0,-4),B(巧，0),C

(%29°)二^点,且一X」=5.

(1)求b,c的值；

(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，

并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由.

【变式4"2]如图，抛物线j=-x：+bx+c与直线而交于.4(T-0,8(0,4)两点，直线HC:j=-[x-6

交J轴与点C,点E是直线上的动点，过点E作三一x轴交.4C于点尸，交抛物线于点G.

(1)求抛物线了=-x：+bx+c的表达式；

(2)连接G3,EO,当四边形GE05是平行四边形时，求点G的坐标；

⑶①在J轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以4巴尸,笈为顶点的四边形是

矩形？求出此时点的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为GE上一动点,求!4M+C"的最小值.

【达标训练】

一、单选题

1.将抛物线y=-2x2-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三

角形，那么平移的距离为()

3

A.一个单位B.1个单位

2

C.!个单位D.、回个单位

2

2.如图，抛物线y=—f+2x+3与》轴交于点C,点。(0,1),点P是抛物线上的动点，若PCD是以

为底的等腰三角形，则tanNCDP的值为().

B.及+1或夜-1

D.1+二或1一&

二、填空题

3.如图，抛物线y=d-i的顶点为。，直线y=x+l与抛物线交于4,台两点.M是抛物线上一点，

过M作MG_Lx轴，垂足为G.如果以A,M,G为顶点的三角形与ABC相似，那么点M的坐标是

1v

4.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a/0)相交于A(-,彳)和B(4,m),点P是线段AB上

异于A、B的动点，过点P作PCJ_x轴于点D,交抛物线于点C.当APAC为直角三角形时点P的坐

标.

5.如图，已知抛物线y=(x-2)2-l与无轴交于A、C两点，与丫轴交于点B,在抛物线的对称轴

上找一点Q,使AABQ成为等腰三角形，则Q点的坐标是一.

6.如图，抛物线y=-x2+2x+4与y轴交于点C,点£>(0,2),点M是抛物线上的动点.若AMC。是以

CO为底的等腰三角形，则点M的坐标为.

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-/+2x+3与x轴交于A,8两点，点M在这条抛物线

上，点P在〉轴上，如果四边形ABMP是平行四边形，则点M的坐标为.

8.已知抛物线y=(x-2)2,P是抛物线对称轴上的一个点，直线x=t分别与直线y=x、抛物线交于点A,

B,若AABP是等腰直角三角形，则t的值为.

y.

9.将抛物线y=x2向右平移2个单位，得到抛物线丫2的图象.P是抛物线丫2对称轴上的一个动点，直线

x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线丫2交于点A、B.若ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰

直角三角形,求满足条件的t的值，则t=

1

，0-如图’已知抛物线"一了9+灰+4与x轴相交于A、B两点,与，轴相交于点C若已知A点的

坐标为A（-2,0）.点0在抛物线的对称轴上，当ACQ为等腰三角形时，点。的坐标为

11.如图，抛物线y=g尤3与x轴的负半轴交于点A,与》轴交于点3,连接AB,点。,£分别

是直线％=-1与抛物线上的点，若点A8,Q,E围成的四边形是平行四边形，则点E的坐标为.

三、解答题

12.如图，抛物线.5与直线【交于A,B两点，交x轴于D,C两点，已知a。,3），

y=ax2—7x+my=一打+n

C(3.0)'

（1）求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；

（2）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E,使得AAEB的面积最大？如果存在，求出E点坐标；如果

不存在，请说明理由.

（3）p为抛物线上一动点，连接PA,过点P作pQ,0A交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q

为顶点的三角形与aACB相似？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，抛物线y=办2+6X+C经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,扫）,连接AC、BC,将"BC绕

点C逆时针旋转，使点A落在x轴上，得到ADCE,此时，OE所在直线与抛物线交于第一象限的点尺

（1）求抛物线y=o?+bx+c对应的函数关系式.

（2）求点A所经过的路线长.

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P使APCF是等腰三角形.

若存在，求点尸的坐标；若不存在，说明理由.

7

14.如图，抛物线经过原点0(0,0),点A(1,1),点B(不，0).

2

(1)求抛物线解析式；

(2)连接OA,过点A作ACLOA交抛物线于C,连接OC,求AAOC的面积；

(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM,过点M作MN1OM交x轴于点N.问：是否存在点M,

使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的AAOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理

由.

15.如图，已知抛物线］与x轴交于从3两点，与J轴交于C点，且,4(2,0)。(0「4),

1O

直线，:y=—x-4与x轴交于。点，点尸是抛物线y=<2x:;+-x+c上的一动点，过点尸作尸轴,

25

垂足为E，交直线/于点F.

(1)试求该抛物线的表达式；

(2)如图(1),若点尸在第三象限，四边形尸COF是平行四边形，求尸点的坐标;

(3)如图(2),过点尸作产轴，垂足为，，连接XC，

①求证：AJCZ)是直角三角形；

②试问当尸点横坐标为何值时，使得以点a为顶点的三角形与AdCD相似?

16.如图，顶点为M的抛物线卜="2+法+3与x轴交于A(3,0),3(—1,0)两点，与〉'轴交于点C.

(2)问在)'轴上是否存在一点P,使得APAM为直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说

明理由.

(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点。，满足0A=。4,过。作0G_Lx轴于点G,设AADG的

内心为/,试求C/的最小值.

17.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,4).

(2)直线y=x+l与抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点，点P的横坐标是m,且-1<mV3,

设AADP的面积为S,求S的最大值及对应的m值；

(3)点M是直线AD上一动点，直接写出使AACM为等腰三角形的点M的坐标.

18.在平面直角坐标系中有RfAAOB,。为原点，OB=1,0A=3,将此三角形绕点。顺时针旋转90°

得到RtACOD,抛物线y=-丁+bx+C过A,8,C三点.

(1)求此抛物线的解析式及顶点P的坐标;

(2)直线/：=依一女+3与抛物线交于M,N两点，若S"MN=2,求出的值;

(3)抛物线的对称轴上是否存在一点。使得ADCQ为直角三角形.

19.如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点

D为抛物线的顶点.

(1)求点八、B、C的坐标；

(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E,

与抛物线交于点P,过点P作PQ〃AB交抛物线于点Q,过点Q作QNJLx轴于点N,可得矩形PQNM.如

图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的AAEM的面积；

(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线

AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2&DQ,求点F的坐标.

11,

20.如图，已知直线y=万光-2与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=+法一2

与x轴交于A、B两点(4在B的左侧)，与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M是上述抛物线上一点，如果AABM和AABC相似，求点M的坐标；

(3)连接AC,求顶点。、E、F、G在AABC各边上的矩形OEFC面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶

点的坐标.

21.如图，抛物线y=；x2+bx+c与直线y=；x+3交于A,B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC,

已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求抛物线的解析式：

(2)在抛物线对称轴1上找一点M,使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQLPA交y轴于点Q,问：是否存在点P使

得以A,P,Q为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

22.如图，已知抛物线经过原点O,顶点4(1,-1),且与直线>=自+2相交于8(2,0)和C两点

(1)求抛物线和直线BC的解析式；

(2)求证：AABC是直角三角形；

(3)抛物线上存在点E(点E不与点A重合)，使求出点E的坐标；

(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使AB。尸是等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标.

23.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?-4ax+l与x轴的正半轴交于点A和点B,与y

轴交于点C,且OB=3OC,点P是第一象限内的点，连接BC,APBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.

(1)求这个抛物线的表达式；

(2)求点P的坐标；

(3)点Q在x轴上，若以Q、0、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐

24.如图，已知抛物线y=or2+bx-3与尤轴交于4、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的

圆心M(1,机)恰好在此抛物线的对称轴上，QM的半径为垂>■设OM与y轴交于D,抛物线的顶点为E.

(1)求m的值及抛物线的解析式；

(2)设NQBC=a,ZCB£=p,求sin(a-p)的值；

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点尸的

位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

25.抛物线R:y=f+无v+c的图象经过坐标原点。，且与x轴另交点为一4>0-

(1)求抛物线厂的解析式；

(2)如图1,直线/：y=曰了+加(加〉0)与抛物线尸相交于点A(X1,y)和点3(%,力)(点A在第二象

限)，求上一%的值(用含相的式子表示)；

4

(3)在(2)中，若机=］，设点A'是点A关于原点。的对称点，如图2.平面内是否存在点P,使得以点

A、B、A'、P为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

3

26.已知：如图，抛物线y=jx2+bx+c与x轴交于A(-l,0)、B两点(A在B左)，y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上.是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形?

27.如图，在平面直角坐标系中有抛物线y=tz(x-2)2-2和y=a(JC-h)2,抛物线y=a(x-2)2-2

经过原点，与x轴正半轴交于点A,与其对称轴交于点3；点尸是抛物线)，=〃(x-2)2-2上一动点，且

点尸在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=a(x-/z)2于点O,过点。作PD的垂线交抛物线y=

a2于点。(不与点。重合)，连接P。，设点P的横坐标为m

(1)①直接写出〃的值：

②直接写出抛物线y=a(x-2)2-2的函数表达式的一般式；

(2)当抛物线y=a(X-/J)2经过原点g寸，设△尸OZX与△048重叠部分图形周长为L：

PD

①求赤的值；

②直接写出L与皿之间的函数关系式；

(3)当〃为何值时，存在点P,使以点0、A、D、。为顶点的四边形是菱形？直接写出〃的值.

28.综合与探究

如图，抛物线丫=£1/+._4与4轴交于4(-3,0)、8(4,0)两点，与y轴交于点「

(1)求抛物线解析式：

(2)抛物线对称轴上存在一点H，连接、“、CH'当.值最大时，求点H坐标：

(3)若抛物线上存在一点p(m,n)，mn>0>当JSC=5A融时，求点P坐标：

(4)若点M是4BAC平分线上的一点，点JV是平面内一点，若以A、B'M、N为顶点的四边形是矩形，请

直接写出点N坐标.

3

29.如图，己知抛物线)=or2+fcv+c(存0)的对称轴是x=-],且经过A(-4,0),C(0,2)两点，直

线/：y^kx+t（原0）经过A,C.

督■用图

(1)求抛物线和直线/的解析式；

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一个动点，过点P作尸轴于点。，交AC于点E,过点P作PF

±AC,垂足为尸，当尸会△4ED时，求出点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点。，使AACQ为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的。点

的坐标；若不存在，请说明理由.

30.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为原点，A8CO的边AB在无轴上，点。在)'轴上，点A的

坐标为(—2,0),AB=6,N8AO=60。，点E是BC边上一点，DE1BC,P过A、。、。三点，抛

物线+c过点A、B、D三点.

(1)求抛物线的解析式.

⑵若将bCDE绕点。顺时针旋转90°，点E的对应点E会落在抛物线y=cvc+法+c上吗？请说明理由.

(3)若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N,使得以点3、D、M、N为顶点的四边形为平行

四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

31.在平面直角坐标系X0Y中，如图，抛物线y=初£一2%+〃(机、〃是常数)经过点4-2,3)、8(—3,0),

与》轴的交点为点C.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)点。为)‘轴上一点，如果直线8。和直线BC的夹角为15。，求线段的长度；

(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点。的坐标.

y

1

▲iiii.

-101X

32.如图，抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，与y轴交于点C,连接AB,AC,

BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求Z\ABC的面积；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得AABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在,

决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品

专题16二次函数的存在性问题

题（含特殊四边形）

【典例分析】

【考点1】二次函数与相似三角形问题

与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;

点F是线段AD上一个动点.

4/7j

①如图1,设％=——，当k为何值时，CF=-AO.

AD2

②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与AABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明

理由.

【答案】（1）y=—d—2x+3,D的坐标为（-1,4）；（2）①左=1；②以A,F,O为顶点的三角形与AA8C

相似，F点的坐标为（一三,三或（一2,2）.

【解析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可

求得顶点D（-1,4）；

（2）①由A、C、D三点的坐标求出AC=3J2，DC=JS，AD=26，可得AACD为直角三角形，若

CF=gAD,则点F为AD的中点，可求出k的值；

②由条件可判断NDAC=/OBC,则/OF=2CB，若以A,F,0为顶点的三角形与AABC相似，

可分两种情况考虑：当NAOF=/ABC或/AOF=/CAB=45°时，可分别求出点F的坐标.

【详解】⑴抛物线y=ax2+bx+3过点A(-3,0),B(1,O),

'9a-3b+3=Qa=—\

，解得:'b=-2

Q+Z?+3=0

抛物线解析式为y=—X?-2x+3；

y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,

二顶点D的坐标为(一1,4)；

(2)①在RtAAOC中，OA=3,OC=3,

.-.AC2=OA2+OC2=18，

D(-l,4),C(0,3),A(-3,0),

CD2=12+12=2，

AD2=22+42=20.

AC2+CD2=AD2，

.•.△ACD为直角三角形，且/ACD=90°，

CF=-AD,

2

，F为AD的中点，

,AF_1

••—f

AD2

②在RtAACD中，tan^ACD=—=^=-

AC3及3

在RtAOBC中，tan/OCB=——=一

OC3

NACD=NOCB.

OA=OC.

.•./OAC=/OCA=45°，

/FAO=/ACB，

若以A,F,。为顶点的三角形与AABC相似，则可分两种情况考虑:

当/AOF=/ABC时，AAOFs^CBA,

：.OFBC,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

k+b=Ok=-3

,解得：《

b=3b=3

•・.直线BC的解析式为y=—3x+3,

•・•直线OF的解析式为y=-3x,

设直线AD的解析式为y=mx+n,

—k+b=4k=2

解得:

-3k+b=Ob=6

直线AD的解析式为y=2x+6,

6

x=——

y=2x+65

,解得:

y=—3x18

y=—

5

当NAOF=/CAB=45°时，AAOF^ACAB,

/CAB=45°，

OFLAC,

直线OF的解析式为y=­X,

・•.《y=c-x「’解得：4[x=-。2,

y=2x+6[y=2

，F（-2,2）,

综合以上可得F点的坐标为[一2或（-2,2）.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性

质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想

解决数学问题.

[1^1-1]如图，抛物线丫=改2+2%+。经过4（—1,（））,3两点，且与y轴交于点C（0,3）,抛物线与

直线y=-X—1交于A,E两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标轴上是否存在一点Q,使得AAQE是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点。的

坐标；若不存在，说明理由.

（3）P点在x轴上且位于点8的左侧，若以P,B,。为顶点的三角形与A43E相似，求点P的坐标.

【答案】⑴y=-x2+2x+3；⑵存在，0（4,0）或（0,—4）,理由见解析；（3）p（|，。）或p1?，。

【解析】（1）将A、C的坐标代入y=ar2+2x+c求出a、c即可得到解析式;

（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,与y轴交于Q',根据垂直平分线的性质

可知Q、与A、E,Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标（0,x）,Q'坐标（0,y）,

根据距离公式建立方程求解即可;

PB

（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出/BAE=/ABC=45。，设p（加,（）），由相似得到后=”或

PRA17

—,建立方程求解即可.

BCAB

【详解】(1)将4—1,0),。(0,3)代入丫=以2+2%+。得：

〃-2+c=0a=—1

，解得＜

c=3c=3

二抛物线解析式为y=—V+2x+3

(2)存在，理由如下:

联立y=-X-l和y^—x2+2x+3>

y=—x-1fx=-lfx=4

f,co-解得c或u

y=-x+2%+3[y=0[y=-5

.♦.E点坐标为(4,-5),

如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,与y轴交于Q，,

此时Q点与Q'点的坐标即为所求，

设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),

由QA=QE,Q'A=Q'EW：

k一(-1)1=J(I)2+(。+5>，J(0+I)2+(y_0)2=J(0_4)2+(y+5)2

解得X=4,y=4

故Q点坐标为(40)或(0,-4)

(3)VA(-l,0),£(4,-5)

•*-AE=^(-1-4)2+52=572，

当-f+2x+3=0时，解得x=-l或3

AB点坐标为(3,0),

OB=OC=3

ZABC=45°,AB=4,BC=372，

由直线＞=-x-l可得AE与y轴的交点为(0,-1),而A点坐标为(-1,0)

ZBAE=45°

设p(m,0)则BP=3-m,

\PBC和AABE相似

.PBAB,PBAEHn3-m43-m572

BCAEBCAB3V25V23夜4

39

解得加=一或加=—,

52

...p固或。,|,0).

【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等

腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键.

【支龙1-2】如图，已知抛物线y=^(%+2)(犬-机)(01＞0)与*轴相交于点A，B,与y轴相交于点C,

m

且点A在点B的左侧.

(1)若抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在第四象限内，抛物线上是否存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似？若存

在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

I13

【答案】⑴y=--x2+-X+2；(2)点H的坐标为(1,万)；(3)当m=2+20时，在第四象限内

抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.

【解析】

分析：

(1)把点(2,2)代入了=一'3+2)口一根)?加＞中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；

m

(2)由(1)中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这

样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H,根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；

（3）由解析式^=一工。+2）仄一根）?加＞可得点A、B、C的坐标分别为（-2,0）、（m,0）和（0,2）,

m

如下图，由图可知/ACB和NABM是钝角，因此存在两种可能性:①当4ACBs^ABM,②△ACBsaMBA,

分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.

详解：

（1）把点（2,2）代入抛物线，

得2=--!-（2+2）（2-m）.

m

解得m=4.

.•.抛物线的解析式为y=—jx+2）（x—4）=—；x2+gx+2.

|,]

（2）令丫=一^*~+万*+2=0,解得X]=-2,x2=4.

则A（-2,0）,B（4,0）.

1

y--—•+1x+2中当x=0时，y=2,

42

.,.点C的坐标为（0,2）.

•••点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

；.连接BC与对称轴的交点即为点H,此时AH+CH的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

4k+b=Q

把B(4,0),C(0,2)代入得：＜,c，解得：\

b=2

b=2

，直线BC的解析式为y=x+2.

13

•.•当x=l时，y=——xl+2=-.

■22

3

.,.点H的坐标为（1,一）.

2

（3）假设存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB相似.

如下图，连接AC,BC,AM,BM,过点M作MN_Lx轴于点N,

由图易知，NACB和NABM为钝角，

ACAB

①当△ACBs/\ABM时，有——=----,即AB2=ACZXM.

ABAM

VA(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,

.,.ZCAB=ZBAM=45°.

：MN_Lx轴，；.NBAM=NAMN=45。，

，AN=MN.

，可设M的坐标为：(x,-x-2)(x>0),

把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=-L(x+2)(x-m).

m

化简整理得：x=2m,

，点M的坐标为：(2m,・2m・2).

/.AM=^(2m+2)2+(-2m-2)2=2V2(m+l).

AB2=AC?\M-AC=2&，AB=m+2,

.,.(m+2)2=2夜x2&(m+1).

解得：m=2±2j5-

Vm>0,

m=2+2>/2•

ABCB

②当△ACBs^MBA时，有7J7=K，即AB2=CB*MA.

MABA

VZCBA=ZBAM,ZANM=ZBOC=90"，

MNCO

.,.△AANM^ABOC,；.——=——.

ANBO

VBO=m,设ON=x,

MN202

二-----=—,即rlMN=—(x+2).

2+xmm

2

令M(x,——(x+2))(x>0),

m

把M点的坐标代入抛物线的解析式，

21

得——(x+2)=——(x+2)(x-m).

mm

解得x=m+2.即M(m+2,-----(m+4)).

m

______2

vAB2=CBMA.CB=Jm2+4,AN=m+4'MN=—(m+4),

(m+2)2=Jn?+4d+^.

化简整理，得16=0,显然不成立.

综上所述，当m=2+2y/2时，在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与△ACB

相似.

点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：(1)“知道点人、B是关于抛

物线的对称轴对称的，连接BC与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；(2)“能根据题意

画出符合要求的图形，知道/ACB和/ABM为钝角，结合题意得到存在：①当AACBs/SABM,

②△ACBs^MBA这两种可能情况”是解答第3小题的关键.

【考点2】二次函数与直角三角形问题

【例2】如图，抛物线y=c£+区+。(。。0)的顶点坐标为(2,-1),图象与N轴交于点。(0,3),与x轴

交于A、B两点.

(I)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线对称轴与直线交于点£),连接AC、AD,求AC。的面积；

(3)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F,问是否存在点E使DEF为

直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=(x-2)2—l=d-4x+3;(2)2；(3)见解析.

【解析】(1)可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；

(2)由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点

坐标，则可求得AD?、AC?和CD2,利用勾股定理的逆定理可判定4ACD为直角三角形，则可求得其面积；

(3)根据题意可分NDFE=90。和NEDF=90。两种情况，当NDFE=90。时，可知DF〃x轴，则可求得E点纵

坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当NEDF=90。时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物

线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标.

【详解】解：。)；抛物线的顶点坐标为(2,—1),

二可设抛物线解析式为y=a(x-2)2-l(a丰0),

把C(0,3)代入可得“(0—2)2—1=3,解得4=1,

二抛物线解析式为y=(x—2)2-1=f-4%+3：

(2)在y=d-4x+3中，令),=()可得/一4x+3=0，解得x=l或尤=3,

"(1,0),3(3,0),

设直线BC解析式为y=Ax+3,把5(3,0)代入得：3A：+3=0,解得出=一1,

二直线BC解析式为y=-x+3,

由(1)可知抛物线的对称轴为x=2,此时y=-2+3=1,

0(2,1),

二心=2，AC2=10.CD2=8.

AD2+CD2=AC2>

ACO是以AC为斜边的直角三角形，

SACD——AD-CD=—xV2x2\[2=2；

ACD22

(3)由题意知砂轴，则NEEO=NOC5H90，

二DEF为直角三角形,分=90和NEE历'=90两种情况，

①当NDFE=90时，即//x轴，则。、F的纵坐标相同，

二尸点纵坐标为1,

•••点F在抛物线上,

一4x+3=l，解得工=2±啦，即点E的横坐标为2±a，

•・•点£在直线8C上，

.•.当x=2+收时，y=—x+3=l—行，当x=2—0时，y=—x+3=l+行，

•*-E点坐标为(2+逝\1一血'卜戈(2-J5/+

②当/EOF=90时，

VA(l,0),D(2,l).

.•.直线AD解析式为y=x-l,

•.•宜线BC解析式为y=-x+3,

...AD1BC,

•••直线AD与抛物线的交点即为E点，

联立直线AD与抛物线解析式有V—4X+3=X-1，解得X=1或X=4,

当x=l时，y=-x+3=2,当x=4时，丁=一万+3=—1,

，£点坐标为(1,2)或(4,一1),

综上可知存在满足条件的点E,其坐标为(2+0,1-@或(2-a,1+⑹或(1,2)或(4,一1).

【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.

【支龙2-1】如图，经过x轴上A(—1,0),8(3,0)两点的抛物线3/=机(％_1)2一4机(〃2<0)交)'轴于点

C,设抛物线的顶点为。