人教课标实验版八年级上册第十四章一次函数1一次函数“衡水赛”一等奖

千里之行始于足下在实际生活中有许多方程问题，都可以用我们刚刚学过的函数知识来解决，这类题目充分说明了数学的价值和意义。例1同学们都知道，一次函数的图像是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如下图中，x表示时间（小时），y表示路程（千米），那么从图（1）上可以看出，某人出发时（x＝0），高某地（原点）2千米，出发1小时后，由x＝1得y＝5，即某人离某地5km，他走了3km。在图（2）中，OA、BA分别表示甲、乙两人的运动图像，请根据图像回答下列问题：（1）如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的关系式：甲__________，乙_____________。（2）甲的运动速度是______________km／小时。（3）两人同时出发，相遇时，甲比乙多走了______________千米。解：（1）甲：y＝4t（）乙：y=3t＋5（）（2）4（3）5评述：本题是1998年江苏省常州市中考题，本例并不困难，但是着重检查了同学的识图能力，以及待定系数法的简单应用，不失为一道好题。尤其值得一提的是第（3）小题，相遇这个实际问题在图像上是怎样表达出来的，值得同学仔细考虑。例2（行程问题）甲、乙两人分别从相距18公里的A、B两地同时出发，相向而行，甲以4公里／时的平均速度步行，乙以每小时比甲快1公里的平均速度步行，相遇而止。（1）求甲、乙两人相距的距离y（公里）和所用的时间x（小时）的函数关系式。（2）求出函数图像与x轴、y轴的交点坐标，画出函数的图像，求出自变量x的取值范围。（3）求当甲、乙两人相距6公里时所用的时间。分析：这是一道应用题，比较贴近我们的实际生活，依题意，显然甲的速度是4公里／时，乙的速度是5公里／时，A、B两地的总路程减去甲、乙两人所走的路程即为两人相距的距离了；而在画函数图像时，应注意这里面的自变量的取值范围，所画出的图像不能是一条直线，而只能是线段。解：①y＝18－4x－5x＝18－9x②在函数表达式y＝18－9x中，在x＝0处得y＝18，在y＝0处得x＝2，∴与x轴的交点坐标是（2，0），与y轴的交点坐标是（），其函数图像如下：③在y＝18－9x中，令y＝6，得6＝18－9x，∴9x＝1即两人出发小时后相距6公里。例3甲每小时走3千米，走小时后，乙以每小时千米的速度追甲，设己行走的时间为t（时）。①写出甲、乙两人所走的路程S与时间t的函数关系式。②在同一个坐标系中作出它们的图像。③求出图像中两直线的交点坐标，并写出它的实际意义。解：①②采用横、坚点法，其函数图像如下图：③由图像知交点坐标为（3，）成立方程组令，得t＝3从而得S＝∴从图像上看出交点坐标为（3，），证明了乙追上甲用了3小时的时间。例4图中的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系。骑车者9点离开家，15点回家。根据这个曲线图，请你回答下列各问题：（1）骑车者离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）第一次休息时，离家多远？（3）何时开始第一次休息？休息多少时间？（4）11：00到12：00他骑车骑了多少千米？（5）他在9：00－10：00和10：00－10：30的平均速度各是多少？（6）他在何时何地停止前进并休息、午餐？（7）他在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？（9）11：30和13：30时，分别离家多远？（10）何时距家22千米？分析：这个曲线图，与课本上的函数图像的不同点在于：横轴表示的时间不是从0开始的．而早从9开始。横纵轴上的数值代表不同的实际含意；曲线上每一点的坐标（t，S）中，t表示时间，S表示离家的距离。解：（1）骑车者离家最远的地方的时间是中午12点，离家30千米。（2）10：30开始第一次休息，休息了半个小时。（3）第一次休息时离家17千米。（4）11：00到12：00，他骑了13千米。（5）9：00－10：00的平均速度是10千米／时；10：00－10：30的平均速度是14千米／时。（6）从12：00－13：00停止前进，并休息、午餐，较为符合实际情况。（7）返回骑了30千米。（8）返回30千米共用了2小时，故返回时的平均速度为15千米／时。（9）首先确定直线DE所在直线的解析式。设其为：S＝kt＋b，将D（11，17），E（12，30）的坐标值代入，得：解得所以S＝13t－126。当t＝时，S＝故11：30时，离家千米。（再用同样的方法求出13：30时，离家千米之后，你是否想出较为简便的方法？）（10）由（9）的解答可知，直线DE的方程应为：S＝13t－126，将S＝22代入得，t＝，即11点18分时离家22千米。在FG上同样有一点离家22千米。下面我们可以这样考虑：13点至15点的速度是15千米／时；从F点到22千米处走了8千米，故需小时（即32分钟），故在13点32分时同样离家22千米。说明：题目中的图像有生动的实际生活背景，必须细心观察曲线的特征，联系实际问题的背景知识，才能一一解答题中的若干小问题。大家可以自己尝试提出问题加以解决。如；“何时离家13千米？”“什么时间范围内的速度最快？”等等。例5给出某种运动的速度曲线如图所示，从以下运动中选出一种，其速度变化最符合图中的曲线，就作的判断作出解释。A钓鱼；B掷标枪；C100米短跑；D10000米跑；E跳高；F射箭；G高台跳水；H桌球游戏解答：本题答案为点C。这是因为100米短跑中，起跑后速度能有较快的提高，随后进入途中跑阶段、冲刺阶段，速度仍然提高，但提高幅度明显下降，并一直持续到达终点，随后速度则较快地降了下来。说明：本题显然是100米短跑的各个阶段的过程说明，显然要求同学们不但要有较踏实的识别函数图像的能力，而且平时在日常生活中应有较敏锐的观察力，用心去体会我们日常生活中的各种现象，实为落实素质教育的一个方面。例6已知长途汽车开始两小时行驶的速度是46千米／时，以后的速度是40千米／时。列出显示汽车行驶路程S（千米）时间与t（时）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，并画出图像。分析：有些函数关系中，随着自变量的取值范围的不同，在整个变化过程中，会出现不同的对应关系。这时要加以讨论，列出分段式函数。解：如图所示示意图：①在AB段（前2小时）：S＝46t（0＜t≤2）②在BC段（2小时之后）：S＝AB＋BC＝2×46＋40（t－2）＝40t＋12（t≥2）综合所求的函数关系式为：其函数图像如图所示：说明：本题着重要求同学具有分类讨论的思想，认识分段函数。分