中学高三上学期理数期末考试试卷

中学高三上学期理数期末考试试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共10题，共50分)

ttstn3a+cos3a

1、已知a=(4,-2),b=(cosa,sina)且aTJLbT,贝I]sina-cosa为()

A.2

9

B.5

c.3

3

D.-S

【考点】

【答案】B

【解析】由题意得，因为a'b,^4cosa-2sina=0t所以tana=2,

$tn3a+cos3a(stna+coscr)(sin2a-5lnaco5a+cos2a)sina+cosa

又sina-cosasina-cosasina-cosa•(1—sinacosa)

sina+cosatana+1sinacosatana2

=3sinacosa=

又sina-cosatana-1,且5

sina+cosa39

•(l-sinacosa)=3x弓=弓，故答案为：。

所以sina—cosaB

由已知结合向量数量积的坐标运算公式求出tana,利用立方和公式

a3+b3=(a+b)(a2-afe+八)以及同角三角函数的基本关系式siMa+cos2a=1、二倍角公式

sin2a=25讥acosa把分子整理为Sina+cosa,再分子分母同除以cosa得到关于tana的代数式,

代入数值求出结果即可。

2、已知/1(x)是定义在(6+8)上的单调函数，且对任意的xe(0,+8),都有八/(x)—/。。2幻=3,

则方程f(x)一f‘(x)=2的解所在的区间是()

A.%

BG，1)

C.(1.2)

D.(23)

【考点】

【答案】c

【解析】令f(x)T°92X=<则八。=3/(”)=t+log2x注意到x的任意性，取％=t>0,则

")=t+的2t,由于f©=3,因此1。92t=3T又y=log2t-3+t是单调函数因此t=2是方

程的唯一实数根,所以f⑴=2+/做”则/"(")=而，故原方程2+1O92X-M2=2,即

l032X~而，令F(x)=lo32x-^2由于F(l)<0，F(2)>0因此函数F(x)在(1，2)上有零点,即

该方程的根所在的区间是，故答案为：C.

根据题意设t=f(x)-Iog2X，则由已知可得f(t)=3代入上式求出t的值，进而得到f(x)的

解析式再由二分法分析即可得到h(x)的零点所在的区间。

x2y2

3、过双曲线至"凉一>0,b>°)的左焦点尸(一。，°)作圆/4-y2=层的切线，切点为E,延长FE

交抛物线)'2=4cx于点P,。为坐标原点，若°£1=4°尸+°0),则双曲线的离心率为()

1+4

K.~2~

,

B.T

i+F

c.~2~

D,而

【考点】

【答案】D

【解析】由题意得，因为|。「|=。,|咱=。,。七，"，所以|EF|=b,因为。E=X"+"),

所以|PF|=2瓦|PF'|=2a,

因为|PFHPF’|=2a所以所以“

b=2a,卜+(芋=£故答案为：D»

由直线和圆相切可得出IOF|=c,|OE|=a,OE_LEF,由勾股定理求出|EF|=b,

利用已知的向量关系得出|PF|=2b,|PF'|=2agp|PF|-|PF/|=2a,进而

得到b=2a再结合双曲线里c2=a2+b?的关系计算出离心率的值。

4、给出以下命题：

x2y2

⑴“0<tv1”是，，曲线T+匚1表示椭圆”的充要条件

⑵命题“若一=1,则算=1”的否命题为：“若，则%丰1”

（3）Rt』4BC中，|4C|=2,NB=90°/C=30°D是斜边4C上的点，=以B为起

在

点任作一条射线BE交于E点，则点落在线段CD上的概率是2

⑷设随机变量6服从正态分布N（°，l）,若P（《>1）=02,则P（T<^<0）=0.6

则正确命题有（）个

A.0

B.1

C.2

D.3

【考点】

【答案】A

t>0

{l-t>011

【解析】由题意得，（1）中，曲线表示椭圆满足t*l-t,解得。<2或2<1,

所以是错误的；（2）中命题“若刀2=1,则无=1”的否命题为：“若/*1,则X于1"，所以

是错误的；⑶中，在RM/BC中，|4C|=2.Z.B=90°,zc=30°0是斜边"上的点,|CD|=\CB\

5

以8为起点任作一条射线BE交于E点，则点落在线段CD上的概率是5,所以示错误的；（4）中根据正态

分布的图象与性质可知，随机变量t服从正态分布N（0」），若P（1>1）=S2,

则P（TvfV0）=0.3,所以示错误的，故答案为：A,

利用椭圆、概率、正态分布的简单性质结合命题的真假判断逐一分析得到结果。

5、执行如图程序，输出3的值为（）

A.2015

1008

B.2017

2016

C.2017

2015

D.4032

【考点】

【答案】B

花-7为前2016项的和,

【解析】运行此程序框图可知，表示储+2）一

所以运行此程序框图可知，所以输出的

S=+（U）+…+（■羡-20、11_1008

刀=2<1-2017）=砺■。所以答案是：B„

【考点精析】认真审题，首先需要了解程序框图（程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线

及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭

头的流程线；程序框外必要文字说明）.

6、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积是（）

A.

B.4+於

C.4+2M

D.4+点

【考点】

【答案】A

【解析】由三视图知该几何体是三棱锥，全面积为

S=,X2X2+2X2X2+2X'X卢x22+(-JF)4+QX殍=4+2机

所以答案是：A

【考点精析】解答此题的关键在于理解由三视图求面积、体积的相关知识，掌握求体积的关键是求出

底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积.

#2y2

7、双曲线"葭一贬—1（a>°'b>°）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为洞，则C的焦距等于（）

A.

D.4出

【考点】

【答案】c

【解析】渐近线方程为^^土焦点（c，°）到渐近线的距离代入点到直线的距离公式得到：

d——=b=p———D2T2

H♦加,离心率e=£=z,根据a+b=C,解得a=l,c=2,所以焦距2c=4.所以

答案是：c

8、《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今

有女善织，日益攻疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按

3°天计）共织39°尺布”，则从第天起每天比前一天多织（）尺布

1

A.2

8

B.1S

16

C.31

16

D.29

【考点】

【答案】D

_30x29_16

【解析】设公差为痣则$30=30al+=390,解得d=河所以答案是：D【考点精析】本

题主要考查了等差数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握前n项和公式：

6=叼jQT）d="G+%）

22才能正确解答此题.

9、设函数"X）=3sm（cox+。）（3>0~2<0<小图像关于直线'=1■对称，它的周期是，则

（）

A.I令k=l得：联看所以「⑶=2sin（2x+3

因为「⑼=2s皿2x0+豆）=1,所以函数图象不过点（°引，选项A不正确；

Innn2n

因为区间的长度为记大于半周期,，所以函数在区间［访句上不单调.所以选项B不正确；

因为f（II）=2s皿2x12+i）=°,所以点（五⑼是函数的一个对称中心，所以选项C正确；所

以答案是：C.

10、将某师范大学4名大学四年级学生分成2人一组，安排到4城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推

选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（）

A.24种

B.12种

C.6种

D.1°种

【考点】

【答案】B

【解析】由题意得，4名大学生分成2人一组，安排到甲乙两所学校，共有=6种不同的分法把张

老师和李老师作为指导教师,2种不同的安排方法，共有6x2=12种不同的安排方案,所以

答案是：Bo

二、填空题（共4题，共20分）

x<0,

{yM

11、若4为不等式组y-xW2表示的平面区域，则Q从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过中的

那部分区域的面积为.

【考点】

7

【答案】不

【解析】作出不等式组所表示的平面区域，分别求出直线与直线的交点，由图可知扫过的面积为大三角形

11##7

减去小三角形的面积2乙乙2224

二项式(2%一或)

12、展开式中的常数项为

【考点】

【答案】-16°

【解析】由题额意得，

二项式3一2的展开式的通项为'一='旧产鼠-工)=(-1)「,26f%6-2r,

令r=3,所以74=(一1产2?优=一160,所以展开式的常数项为一160。

log4x+%—3(%>0),

f(x)={1x

13、已知函数x—Q)+3(x40)，若/>(X)的两个零点分别为修因，则％-与|=

【考点】

【答案】3

…一Jog4x=-logix

【解析】由4

所以令9)=。得尸='膂X+3=£

所以直线y=%-3和曲线.4的交点c横坐标九1,

直线y=%+3和曲线y=Q)的交点0横坐标为叼，

,।=巴

如图，两曲线关于对称，直线和关于对称；所以I」—“I一2

14、意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…，即

F(l)=F(2)=l-F(n)=F(n-l)+F(n-2)(n>3,n6此数列在现代物理、准晶体结构、

化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列独，1},“017=.

【考点】

【答案】1

【解析】由题意得，引入“兔子数列”：1,1,235,8,13,21,34,55,89,144,233,•一,

此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1」，2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…

构成以8项为周期的周期数列，所以匕2017=瓦=1。

【考点精析】根据题目的已知条件，利用归纳推理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握根据一

类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理.

三、解答题(共7题，共35分)

15、选修4-4：坐标系与参数方程

(x=-2-3t,

在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为Iy=2—4t(为参数).它与曲线

C：(y-2)2-x2=1交于人B两点

(D求的长；

(2)在以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2也不)，求点到线段#8

中点M的距离.

【考点】

【答案】

(1)解：把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2-12t-5=°,

_12_5

设人B对应的参数分别为h和2则"+I='W2=

22

阴=7(-3)+(-4)-\tx-t2\=5j(U+t2)2-4小2=军

rjIKA

(2)解：易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(-2,2),

“+..6

根据中点坐标的性质可得48中点M对应的参数为

所以由t的几何意义可得点到的距离为仍阳=J(-3m+(一4产,\7\=—

【解析】(1)由已知的条件把参数方程代入到曲线的方程化简可得关于t的方程，借助韦达定理找出t1与

t2的关系式代入到弦长公式中求解即可。(2)由题意利用极坐标和直角坐标的互化关系，得出点P在平面

直角坐标系下的坐标并根据中点坐标得出点M对应的参数值，借助两点间的结论公式求出结果即可。

16、设函数f(x)=sinx(cosx-辰nx)

(1)求函数f。)在血利上的单调递增区间;

⑵设ZL4BC的三个角4、B、C所对的边分别为。、Ac,且/⑻=0,a、b、居成公差大

SZH/1

于零的等差数列，求赤的值.

【考点】

【答案】

(1)解：由题意得/(")=sinx(cosx-^sinx)=^sin2x-^3sin2x

=sin(2x4-j)—y

J

因为xC[0,扪，所以勿+M百缸

nnn3nnInnIn

xx7r

令，工2x4-3<2和亍*2x+3*<丁，解得°-—17和17&—)

所以函数/'(%)的单调递增区间为〔°'豆］'［五'W

.n耶n2nn

⑵解：由/'(B)=0,得加(28+?)=%所以2'+手=至，解得B=6,

由22比版成公差大于零的等差数列，得4b=a+版,

由正弦定理可得s出力+®inC=2,

又由4+B+C=几，则/+°=T,即。=~A,

所以sin4+^sinC=sinA+=2

sinA$也不F

解得月6儿3,所以sinT

【解析】(1)利用三角恒等式变化化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性求得函数f(x)在［0,n］

上的单调递增区间。(2)由已知f(B)=。代入函数的解析式可求出B的值，再利用等差数列的性质求出

a、b、c的关系，结合正弦定理整理该式得到sinA+和sin0=2,再由三角形内角和为1800转化上式为

同角的三角函数式，利用两角和差的正弦公式转化即分别可求出A、C的角度，进而得到结果。

17、已知直角梯形ABCD中，401DC,AD1AB,△CDE是边长为2的等边三角形,AB=5.沿CE将△BCE

折起，使B至8处，且8cDE；然后再将△/IDE沿DE折起，使A至4处，且面力力^J.面CDE,AB'CE

和4⑷DE在面CDE的同根IJ.

B'

(I)求证：B'C1平面CDE；

(II)求平面B'AD与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值.

【考点】

【答案】解：(I)证明：在直角梯形ABCD中，可算得4D=事,BC=2啊CE=2,EB=3

根据勾股定理可得8CEC,即：B,C1EC,又B'C_LDE,DEClCE=E,8'CJ.平面cDE；

(ID以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，如图，则。(0,0,0),8'(0,0,2点)，

,事

”强L0),£(0,2,0),作/THLDE,因为面4'DE_L面CDE,易知，/TH，面CDE,且=

从平面图形中可知：”(金°)，J，"(%¥),易知面CDE的法向量为"1=(°，°，1)

设面PAD的法向量为“2=(4反同的,<>,且=郃3-2同=(毒-络

+y-2-^z=0-*-ni，n23j——

+4-3=0"2=(4步,2而),8S,vn1(n2>=三==的

e十刀丫4解得lnllln2l

故所求平面B'AD与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值为拼歹.

【解析】(1)由已知结合折叠特点得到B'C±DE,再利用勾股定理计算可得出BC±EC,结合线面垂直

的判定定理即可得证B1C±平面CDE。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出

各个向量的坐标，设出平面PAD和平面CDE的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用

--ab

cos<atb>=

向量的数量积运算公式M网求出余弦值即可。

18、已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(x>0,aeR,bER)

(1)若曲线y=f(x)在(i/(D)处的切线方程为t一2旷一2=o,求f。)的极值；

(2)若匕=1,是否存在awR,使的极值大于零？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明

理由.

【考点】

【答案】(1)解：依题意，/(")=三+2ax+=1+2a+b,

又由切线方程可知，'(D=~2,斜率"=2,

r1

/⑴=1+2a+b=彳Q=o

所以/⑴=a+b=-；解得S=4所以/'(X)=lnx~~l

所以八乃=卜：=去*>0),

当%>0时，x/(x)，f(x)的变化如下：

所以〃为财值=八2)=1n2-1,无极小值

j1lax2+1

⑵解：依题意，f(x)=lnx+a/+X,所以f(x)=7+2a%+1=>°),

①当aN0时，/''(x)>。在(0,+8)上恒成立，故无极值；

②当aV。时，令f'(x)=0,得2ax2+%+1=0,则4=1-8a>0,且两根之积

X/2=*V0

SX，一、2a(x-xl)(x-x2)一、

不妨设,则/⑴=x,即求使f。2)>°的实数a的取值范围.

22+1

aX2X2+

2

nIaX+X

22>°消去参数后，得""2+~2~>0

由方程组x2

构造函数g")=则g⑴=7+2>°,所以。(其)在上单调递增，

_1_dl-8a

又9(1)=°,所以9。)>。解得X>1,即“2=一而—>1,解得T<aV。.

由①②可得，的范围是

【解析】(1)首先求出函数的导函数计算出f(1)、f'(1)得到关于a、b的方程组解出即可求出函数的解析

式，从而求出函数的单调区间进而得出f(x)的极值。(2)求出原函数的导函数，通过讨论a的取值范围得

出导函数的正负进而得出原函数的单调性从而确定a的范围即可。

19、某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对1°°辆车的速度进

行取样，测量的车速制成如下条形图：

经计算：样本的平均值4=85,标准差0=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快

都被认为是需矫正速度，现规定车速小于"一3)或车速大于〃+2c是需矫正速度

(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；

P⑷I

=P(x<〃-3。)+P(x>p+2a)=P(x<78.4)+>89.4)=而

41

(2)+100=20从

样本中任取2个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率

(3)从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为£,求的分布列和数学期望.

【考点】

【答案】(1)解：记事件4为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”，

因为3c=78.4,〃+2a=89.4,

1

由样本条形图可知，所求的概率为P(A)=^

(2)解：记事件B为“从样本中任取2个车辆，这个车辆均是需矫正速度”

由题设可知样本容量为10°,又需矫正速度个数为5个，故所求概率为'（8）一C,。―495

（3）解：需矫正速度的个数£服从二项分布，即£~8（2,而），

.P（£=0）=^2（20）（jo）=400=D=C2（20）（20）=200

,•,J

P（£=2）=^2（20）（20）=400

因此的分布列为

由，知数学期望E（H=2入而=而

【解析】（1）根据题意由已知可得出口-3。=78.4,口+2。=89.4,观察样本条形图由图可知

P（A）=P（x〈〃一3c）+p（x>〃+2a）=p（x<78..4）+p（x>89.4）求出其值即可。⑵利用已知

由题设可知样本容量为100,又需矫正速度个数为5个根据概率的定义求出比值。（3）按照二项分布的公式

P（X=K）=C加"1-P）"-'、逐一代入数值计算出结果列表即可，再结合数学期望

EX="iPl+“2P2+…”点”的公式代入数值求出即可。

【考点精析】通过灵活运用用样本的频率分布估计总体分布，掌握样本数据的频率分布表和频率分布

直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚的看

到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况即可以解答此题.

x2y2

20、已知椭圆'号+京―乂"'''"）的一个焦点与抛物线Q*=2PHp>°）的焦点尸重合，且

点到直线x-y+1=°的距离为低，G与。2的公共弦长为2声.

（D求椭圆的方程及点的坐标；

1t1

（2）过点的直线'与交于4B两点，与交于C,D两点，求两+两的取值范围.

【考点】

【答案】

-P

⑴解：•••0：）'=2px的焦点F的坐标为G。），

内网=/2

由点到直线x-y+1=°的距离为“2得#.

解得P=2,又F（l，0）为椭圆的一个焦点，.•〃一户=1

•.・01与02的公共弦长为2的，与都关于％轴对称，

而的方程为y2=4x,从而与的公共点的坐标为（》士木）,

96_

.•.4。2+/-1②，

联立①②解得。2=9/2=8,

x2y2

・••的方程为豆+目=1,点的坐标为（1，°）

x2y28

（2）解：当।过点且垂直于轴时，的方程为1代入,1：豆+石=1求得丫=±3,

169

./“即=丁,把代入C2：y=4x求得y=±2,...|CD|=4,

11_31_7

此时两+两=访+1=访.

当与轴不垂直时，要使与有两个交点，可设的方程为y=k（x-l）（k丰0）,

此时设做“小），8。2，》2），。。3，乃）刀。4，%）

y=k（x-l）

{X2y2_

把直线的方程与椭圆的方程联立得互+百=1,

消去J'化简得（8+9k2）x2-18k2x+9k2-72=0,

18k29k2一72

可得4+"2=iT^'X/2=鼻4=36x64（/+l）＞0

=Kh+方…2=E（与）L.霖=甯会

y=/c（x-l）

12

把直线的方程与抛物线的方程联立得y=4x,

消去化简得M/_(2k2+4)x+公=0,

2A2+4„9

,产3+M=16(卜+1)>0

口J待