人教课标实验B版必修5数列等差数列等差数列【全国一等奖】

等差数列[教学目标]⒈理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；⒉理解等差中项的概念；⒊培养学生观察、归纳的能力和应用数学的意识.[重点难点]重点：等差数列的概念及等差数列的通项公式.难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.[教学设想]⒈教法：启发式、讲练结合式；2.教具：投影片；3.课时：2课时.等差数列的概念和通项公式[教学目标]⒈明确等差数列的定义；⒉掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；⒊培养学生观察、归纳能力.[重点难点]重点：等差数列的概念；等差数列的通项公式.难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.[教学设想]1.教法：启发式；2.教具：投影片5张（内容见下面）.[教学过程]一、复习引入⒈复习：数列的定义和给出数列的方法各是什么？⒉引入：前两节课我们学习了数列的定义及给出数列的两种方法--通项公式和递推公式.今天我们来学习一种特殊的数列—等差数列.二、学习、讲解新课⒈等差数列的定义我们知道，通项公式和递推公式从不同的角度反映了数列的特点，下面看一些例子（投影片1）：1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②，，，，1，….③看这些数列有什么共同特点？（启发学生积极思考，找出上述数列的共同特点）.我们看到：对于数列①，其通项公式是：an=n(1≤n≤6)；而且an-an-1=1(2≤n≤6)，即从第2项起，每一项与前一项的差都等于1.对于数列②，其通项公式是：an=12-2n(n≥1)；且an-an-1=-2(n≥2)，即从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.对于数列③，其通项公式是：an=n/5(n≥1)；且an-an-1=1/5(n≥2)，即从第2项起，每一项与前一项的差都等于1/5.所以它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.我们把具有这种特点的数列叫做等差数列.（放投影片2）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.例如，上述3个数列都是等差数列，它们的公差分别是1，-2，1/5.⒉等差数列的通项公式及其推导公式等差数列的定义是由一数列相邻两项之间的关系得到的，如果一等差数列的首项是a1，公差是d，则根据其定义可得：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d.（板书时写成竖式）若将上述这n-1个等式相加，则可得：an-a1=（n-1）d，即an=a1+(n-1)d.当n=1时，等式两边均为a1，即等式成立，故对一切n∈N*时上面的公式都成立，所以它可以作为等差数列{an}的通项公式.（放投影片3）等差数列{an}的通项公式：an=a1+(n-1)d（n≥1）以上公式也可这样得到：由定义可得：a2-a1=d即a2=a1+da3-a2=d即a3=a2+d=a1+d+d=a1+2da4-a3=d即a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d……由此可得：an=a1+(n-1)d.由上述关系式可知，若已知数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an.例如，数列①：an=1+(n-1)×1=n(1≤n≤6)；数列②：an=10+(n-1)×(-2)=12-2n(n≥1)；数列③：an=1/5+(n-1)×1/5=n/5(n≥1).由上述关系式还可得：am=a1+(m-1)d，即a1=am-(m-1)d.则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d，即an=am+(n-m)d.例如，a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d.⒊例题（放投影片4）例1(P115)⑴求等差数列8，5，2，…的第20项；⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+19×(-3)=-49；⑵由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得已知数列的通项公式为am=-5-4(n-1).由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项.⒋课堂练习（P117-118练习1，3）：(口答)练习3：⑴是等差数列，首项是am+1，公差是d；⑵是等差数列，首项是a1，公差是2d；⑶是等差数列，首项是a7，公差是7d.(书面)练习1：⑴∵am=4n-1，∴a4=15，a10=39；⑵∵am=-2n+12，∴a20=-28；⑶∵am=7n-5，由7n-5=100，得n=15，∴100是这个数列的第15项；⑷∵am=-7n/2+7/2，但-7n/2+7/2=-20没有正整数解，∴-20不是这个数列的项.三、小结（放投影片5）本节我们所学的主要内容为：⒈等差数列的定义：an-an-1=d(n≥2);⒉等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，及其推导公式：an=am+(n-m)d.四、布置作业(一)复习：课本内容.(二)书面：课本P118习题：1，2.答案：⒈⑴an=29；⑵n=10；⑶d=3；⑷a1=10.⒉⑴a1=-5，d=1；⑵a9=17.(三)预习：课本P116-117例2—例4:①如何运用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？②等差数列有哪些性质？五、板书设计课题1．定义an-an-1=d(n≥2)2．通项公式an=a1+(n-1)d推导过程3．例题4．小结等差中项[教学目标]⒈明确等差中项的概念；⒉进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导公式；⒊培养学生的应用意识.[重点难点]重点：等差数列的性质的理解及应用；难点：灵活运用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.[教学设想]1.教法：讲练结合；2.教具：投影片4张(内容见下面).[教学过程]一、复习引入⒈复习：上节课我们学了哪些主要内容？答：⑴等差数列的定义：an-an-1=d(n≥2);⑵等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)，及其推导公式：an=am+(n-m)d.⒉引入：在前一节学习的基础上，今天我们来学习等差中项的概念以及等差数列具有的性质.二、学习、讲解新课⒈例题我们先来看这样两个例题（放投影片1）：例1(P116例2)在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d.例2(P116例3)梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm解：⒈由题意可知a5=a1+4d=10---①，a12=a1+11d=31---②，解①②组成的方程组，得a1=-2，d=3.即这个数列的首项是-2，公差是3.法2：由推导公式知：a12=a5+(12-5)d=31，即10+7d=31，∴d=3；将d=3代入a5=a1+4d=10，求得a1=-2.⒉设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件可知，a1=33，a12=110，n=12，由通项公式，得a12=a1+11d，即110=33+11d，解得d=7.∴a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=47+7=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，⒉等差中项问：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？由定义知：A-a=b-A，即A=(a+b)/2；反之，若A=(a+b)/2，则A-a=b-A，即a，A，b成等差数列.由此可得（放投影片2）：a，A，b成等差数列A=(a+b)/2.若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2现起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.例如，数列：1，3，5，7，9，11，13，…中，5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项，等等.由此看来，a2+a4=a1+a5，a4+a6=a3+a7，…从而可得（放投影片3）：在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.同学们要结合例子，熟练掌握此性质.下面我们再看一个例题（放投影片4）：例3(p117例4)已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了.解：取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)，则an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=p.它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.在an=pn+q中令n=1，得a1=p+q，∴这个数列的首项是p+q，公差是p.由此看来，等差数列的通项公式可以表示为：an=pn+q，其中p、q是常数.当p≠0时，它是关于n的一次式，因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.例如，an=2n-1的图象是直线y=2x-1上的均匀排开的无穷多个孤立点（如右图所示）.⒊课堂练习（P117-118练习2，4）：（口答）练习4：⑴140；⑵2.（书面）练习2：⑴a1=1，d=3；⑵a12=0.三、小结本节的主要概念是等差中项，另外，注意灵活运用等差数列的定义、性质及通项公式解决相关的问题.四、布置作业(一)复习：课本内容.(二)书面：课本P119习题：7，8，9.答案：7.⑴5；⑵a2+b2.8.这两个等差数列的通项公式分别是an=93-7(n-1)，bn=17+12(n-1).由an=bn，得93-7(n-1)=17+12(n-1)，即n=5.由此可知这两个数列中存在着序号及数值均相等的项.9.设所求的三个数为a-d，a，a+d，根据题意得，由⑴得a=6，代入⑵得d=±2.∴当a=6，d=2时，所求三个数为4，6，8；当a=6，d=-2时，所求三个数为8，6，4.(三)预习：课本P118-119习题：3—6，10，11.五、板书设计课题1．等差中项2．性质例1例2例3小结复习回顾习题课[教学目标]进一步熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其推导公式；能运用这些概念、性质解决一些实际问题；培养学生的应用意识.[重点难点]灵活运用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.[教学设想]1.教法：启发引导式；2.教具：投影片1张(内容见下面).[教学过程]一、复习引入⒈复习：前两节课我们学了哪些主要内容？（投影片1）答：⑴等差数列的定义：an-an-1=d(n≥2);⑵等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1)；⑶等差中项公式：A=(a+b)/2a，A，b成等差数列⑷等差数列的性质：①an=am+(n-m)d；②若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.⒉引入：今天我们利用上述知识来解决一些实际问题.二、课堂练习⒈内容：课本P118-119习题：3—6，10，11.⒉以学生练习为主，教师巡视辅导，对学生中出现的共性问题作适当讲解指导.⒊练习答案：3⑴是等差数列，公差是1/2（cm）；⑵∵a1=23，d=，n=24，∴全部尺码从小到大是：23，24，24，25，25，…，30.4.令a1=216，a5=120，由a5=a1+4d=120，得d=-24.∴a2=a1+d=192，a3=a2+d=168，a4=a3+d=144，即中间三个皮带轮的直径分别是192cm，168cm，5.令a1=24，a8=45，由a8=a1+7d=45，得d=3.∴a2=a1+d=27，a3=a2+d=30，a4=33，a5=36，a6=39，a7=42.即其余各齿轮的齿数分别是27，30，33，36，39，42.6.令a1=，a5=，由a5=a1+4d=，得d=.∴a2=a1+d=2，a4=a1+3d=-11，a8=a1+7d=-37.即2km，4km，8km高度的气温分别是20C，-1110.⑴∵a3+a7=(a1+2d)+(a1+6d)=2a1+8d=2(a1+4d)=2a5，∴2a5=a3+a7成立.或利用性质an=am+(n-m)d，得a3=a5+(3-5)d=a5-2d，a7=a5+(7-5)d=a5+2d，从而得2a5=a3+a7.同理可证2a5=a1+a9成立.⑵∵an-2+an+2={a1+[(n-2)-1]d}+{a1+[(n+2)-1]d}=2a1+2(n-1)d=2[a1+(n-1)d]=2an，∴2an=an-2+an+2(n>2)成立.或利用性质an=am+(n-m)d，得an-2=an-2d，an+2=an+2d，从而得2an=an-2+an+2.同理可证2an=an-k+an+k(n>k>0)成立.11