2017高等代数第3章课件

Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-一、子空间的基二、子空间的相一、子空间的基定义1设U是Kn的一个子空间，U中向量组1…r，1012r线性无关20U中每一个向量都可以由12r线性表出，则称1,2,…,r是U的一个基。【注】比较向量Zhanglizhuo-=(a1,a2,…,Zhanglizhuo-即2不能由1线性表示,由§3.2推论212线性无关，如果U1,2，则在U中存在31,2，同理1,2,3线性无关，又Kn中任一线性无关下去，即必得U中一个线性无关组1,2s，U=1,2s，则1,2s是U的一个基。Zhanglizhuo-【注】定理过程从子空间U的一个非【注 零向量的向量组都有极大线性无关组Zhanglizhuo-【证】设12s与12t是Kn的任意两个基，§3.3推论s=t。【注】向量组任Zhanglizhuo-量的数目称为U的维数,记作dimKU,或简记作dimU。零子空间的维数规定为0因为12n是Kn的标准基，所以Kn也称为n【注】向量组极Zhanglizhuo-二、子空间的相命题3设U是Kn的一个非零子空间，1r是U可以由1,…,r线性表出，假如表示方式有两种：两式相减(a1-b1)1+(a2-b2)2+…+(ar-Zhanglizhuo-由1r线性无a1-b1=0,a2-b2=0,…,ar-从而可由1r线性表出【注】Kn中每一向量均可由基Zhanglizhuo-的有序数组(a1ar)称为在基1r下的坐标。Zhanglizhuo-【证】在U中任取r+1个向量1rr+1，设1r为U的一个基，则1,…,r,r+1可以由1,…,r线性线性表出，又r+1>r，据§3.3引理1，1,…,r,r+1线性相关。Zhanglizhuo-由命题41,…,r,线性相关，从而可由1,…,rZhanglizhuo-【证】设1,…,r是U的一个基，1,2,…,t是W的一个基，因为UW，所以1rW，于是1r可以由1,2,…,t线性表出，又1,…,r线性无关，据§3.3推论3，rt， 【注】若零向量组(I)可由向量组(II)线性表出，Zhanglizhuo-【证】设1,…,r是U的一个基，由于UW，所由命题5，1,…,r是W的一个基，所以WU是子空间，对加法和数量乘法封闭，所以UWU，从而U=WZhanglizhuo-【注】非零子空间与零向量的向量组的区别Zhanglizhuo- 个向量组生成的子空间U=1,…,s的一个基，从而dim1,…,s=rank{1,…,s}。【注】子空间与Zhanglizhuo-数域K上，mnA的行向量组生成的子空间称为A的行空间Zhanglizhuo-W中任取向量={(a1a2ar0,…,0)Ta1 1 0 0a 0 1 2 0 0

0 r 1 2 aa r 1 2 0 0 0 0

0 0 0 0 其中向量1,2,…,r满足则12r为W的一个基，且Zhanglizhuo-例2在Kn中V={(a1,a2,…,an)Ta1+…+an=0,aiK,i=1,…,n}，【解】显然OV，即V非空，V在V中任取=(a1a2,an)T，=(b1b2,bn)T，则a1+…+an=0b1+…+bn=0，于是+=(a1+b1,a2+b2,an+bn)T，(a1+b1+(an+bn)=(a1+…+an)+(b1+…+bn)=0，Zhanglizhuo-W={(a1,a2,…,ar,0,…,0)TaiK,i=1,2,…,r}，【解】显然OW，即W非空，在W={(a1,…,ar,0,…,0)T，={(b1,…,br,0,…,0)T+=(a1+b1ar+br0,…,0)TW，kK,k=(ka1,…,kar,W对于数量乘法封闭，所以W是KnZhanglizhuo-kK，k=(ka1,ka2,,kan)T，且Zhanglizhuo-V中任取向量={(a1a2 aa

a0a1a

2

30

n a a

0 其中向量1,2,…,n-1满足

则12n-1为V的一个基，且Zhanglizhuo-例3V1={(1x2x3xn)Tx2xnK}V1是否为Kn的一个子空间【答】否。事实上，在V=(1,x2,,xn)T，=(1,y2,