日常课堂如何培养归纳思维

日常课堂如何培养“归纳思维”

如众所知，归纳推理是形成创造能力的根本①，将“归纳思维的培养”，不仅作为小学生获得新知的一种手段，更将其作为与演绎思维同步发展的不可缺少的课程教学目标，已经成为当前中小学教育界普遍认同的理念②.《义务教育数学课程标准》修订稿，也明确提出演绎思维与归纳思维应并举.可见归纳思维的重要.然而，究竟如何培养小学生的归纳思维？尤其是，在日常的课堂教学中，如何落实，多数教师并不清楚.本文以小学数学课堂教学的真实案例加以说明.一、原始案例案例12011年4月6日，在吉林省长春市某小学五年级“图形中的规律”课堂上，数学教师正在引导学生寻找图形中的规律，采用的是北师大版小学数学教材.师：同学们，老师用小木棍摆三角形（教师同时用PPT演示摆的过程），用3根小木棍摆出了一个三角形.请注意，老师又用了一些小木棍，一共摆出了两个三角形（如图1所示），此时用了几根小木棍呢？生：（数）一共5根小木棍.（教师在屏幕上打出数字2和5.）师：老师紧接着再摆几根小木棍，构成了3个三角形，这时用了几根小木棍呢？生：（学生纷纷嘟嘟囔囔地小声数）7根.（教师在屏幕上打出数字3和7.）师：老师按照这样的方式连续摆，一下子摆出了10个三角形，这时，用了多少根小木棍呢？请你用自己学具中的牙签（或木棍）亲自摆一摆，看看一共用了多少根小木棍？（学生分组活动，每6人一组，通过实际操作，发现一共用了21根.）生：用了21根.师：由此，你能发现什么规律吗？（教师将数字1、2、3、10与3、5、7、21分成两层，对应着写出来.学生思考.）生：我发现，小木棍的数量都是奇数.生：我发现，3是1的两倍加1，5是2的两倍加1，7是3的两倍加1……师：很好，这个规律是，摆n个三角形需要2n+1根小木棒.案例22011年3月28日，长春市某小学一节“两位数乘两位数的乘法”的课堂上，经过引入两位数乘两位数的乘法的必要性、如何计算的教学环节，再通过10分钟的当堂巩固练习，大部分学生几乎都能比较熟练地进行两位数乘两位数的计算.此时，任课教师又给出了系列习题，作为强化训练（即“比一比，看谁算得快？”）12×1118×1145×11同时，教师提出：“分析这几个式子及其结果，你有什么发现？”经过学生独立完成每一道题目后，教师引导学生分析结果与乘法算式中的一个因子的关系，发现了“两边一拉，中间一加”的规律，学生纷纷称奇！二、改进案例上面的两个案例，都与归纳有关，案例2是典型的代数归纳，而案例1是以几何素材为背景的归纳，两个案例都试图体现归纳，但最终达到的效果是，规律是老师“发现”的、给出的，学生采用实际操作进行验证，确认教师给出的规律的合理性、正确性.可惜的是，与让学生亲身经历“通过归纳发现数学真理的过程”的教学良机失之交臂！怎么办呢？经过课后研课、课堂教学录像分析，我们与任课教师合作设计、修改了上面的两个案例，形成了新的案例，并于两天后在平行班进行了第二次授课.修改后的案例1师：同学们，（教师用PPT演示摆的过程）老师用3根小木棍摆出了一个三角形.注意，老师又用了一些小木棍摆出了两个三角形（如图2所示），此时，老师添加了几根小木棍呢？一共用了几根小木棍呢？生：添加了两根，一共五根小木棍.（教师在屏幕上打出数字2和5.）师：老师紧接着再摆几根小木棍，构成了3个三角形（如图3所示），这时，又添加了几根小木棍呢？生：又添加了两根，加上前面的两个，一共添加了4根，这时有7根小木棒.（教师在屏幕上打出数字3和7.）师：按照这样的方式摆下去，摆4个三角形（如图4所示），一共需要几根小木棍呢？先想一想，猜一猜.谁说一说你的猜想？生：我猜，应该是9根，理由是，在3个三角形的基础上再摆两根小木棍，就可以构成4个三角形，刚才是7根，加两根就是9根.师：请大家用自己手中的小棒亲自摆一摆，验证刚才同学的猜想是否正确.（学生分组活动，每6人一小组，通过实际操作，发现的确一共用了9根.教师组织全班同学交流各自的结果，大家一致认为是9根.）师：请大家注意，老师按照这样的方式连续摆，一下子摆出了10个三角形，这时，用了多少根小木棍呢？先在小组内讨论一下，你们小组觉得应该是几根小木棍？说说你们的理由，再用小木棍亲自摆一摆，验证你们小组的发现.（学生分组讨论、验证.在一个小组内，有学生提出来，每添加2根小木棍，可以再搭出一个三角形，应该是3+2+2+2+2+2+2+2+2+2=3+2×9=21（根）.本组的大部分同学觉得有道理，但仍有几位同学坚持要验证一下，大家亲自摆一摆，发现的确是这样.而在另一个小组内，有学生提出，不用摆就能知道是21根，理由是先放一根，每添加2根，可以围成一个三角形，一共围成10个三角形，所以，应该是1+2×10=21（根）.教师观察多个小组的讨论，不时指导.5分钟后，教师请两个小组的代表将自己小组的摆法和思考，展示在实物投影仪上.）生：我们小组的看法是，不用摆也能发现是21根.我们是这样想的：刚才老师先放了3根围成一个三角形，以后每添加两根，可以围成一个新的三角形（如图5所示），所以，摆10个三角形，需要在3根的基础上添加9次，所以，应该是3+2×9=21（根）.生：我们小组也认为，不用摆也能发现是21根.不过，我们的想法更简单：先放了一根作为预备，每添加两根，可以添加一个三角形（如图6所示），所以，摆10个三角形，应该用了1+2×10=21（根）.师：大家认为这种方法好吗？生：好！（鼓掌.）（此时，有一个小组提出还有不同的方法.）生：我们也觉得摆10个这样的三角形应该用21根，我们的想法更新奇：我们觉得，每个三角形都有一个底，摆10个，需要10个底，其他的小木棍作为斜着放的边，一共放了10+1根，所以，应该是10+10+1=2×10+1=21（根）.生：（纷纷惊叹）好！（鼓掌.）师：我们展示了每个小组的发现，你们能用一句话来表示自己的发现吗？如果我们用字母n表示摆的三角形的个数，即摆了n个三角形，那么，一共用了多少根小木棍呢？生：（纷纷回答）2n+1根.师：这就是我们大家共同的发现.（教师写出如下板书.）123…10…n357…21…2n+1师：好，大家现在研究用小木棍摆正方形的问题……修改后的案例2师：出示系列习题：（1）计算下列3个算式，你有什么发现？12×1113×1115×11（2）用你刚才的发现，先猜一猜45×11应该得多少？然后再用竖式实际算一算，看看你的猜测是否正确？需要修改你的发现吗？用11×63再验证一下你修改后的结论.（3）总结你的发现，说一说其中的道理.事实上，学生从12×11=132，13×11=143，15×11=165中，似乎可以得出“乘积是三位数，百位都是1；十位数字似乎与其中的一个乘数有关”，当学生发现45×11=495后，往往会修改自己的猜测，部分同学会得出“两边一拉，中间一加”的猜测，即“将乘数45的两位数字一拉，中间放上这两个数字之和4+5，即9，得到的数字就是乘积”；同时，学生还可以用11×63（或者自己编一些题目，如11×27）验证自己的“发现”，即先猜11×63是多少，即693，再用列竖式的方法验证自己的猜想.三、分析上述两个案例，修改后仅仅是细节的微小变化，但其效果却有很大差别.在修改的案例中，我们不仅可以达到同样的获知目的，而且还可以让学生经历一次归纳的思维过程，获得归纳的实际经验和体验，进而感受一次“数学家式”的思考过程、数学真理的“发现”过程，这个普适性的规律就是：先分析个案1，再分析个案2，尝试着归纳其共性的规律，猜一猜结论；将猜得的结论用在新的个案上，分析理论上的结果，再利用实际的操作验证其实际的结果与猜想的结果是否吻合，如果吻合，确认结论；如果有问题，修正猜想，做出一个更贴切的猜想.这个普适性的规律正是数学家发现的奥秘之一！让学生经历归纳的过程，不仅可以体现在数与代数、空间与图形领域，而且可以体现在数学课程的其他领域.例如，在实践与综合领域“鸡兔同笼”问题的教学中，可以这样设计教学环节：教师出示问题（用PPT出示实际情景）：房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子，一共15个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有56个，那么，有几个椅子、几个凳子呢？③（注：这是典型的“鸡兔同笼”问题，但是，椅子和凳子仅仅相差一条腿，而不是兔与鸡相差两条腿，因而，与“鸡兔同笼”的原始问题相比，这更有利于学生进行“尝试”.）（1）你计划用什么方法思考？能试着先用一些特殊情形尝试一下吗？（2）能列一个表格，表达你尝试的过程吗？可以参考如下的表格：（3）当你尝试着先给椅子、凳子的数量一些特殊值以计算腿的总数时，计算2～3次后.你有什么发现？能找到一些规律吗？（4）按照你的规律猜想一下，如果增加凳子数、减少椅子数，大约多少次.腿的总数可以降到56个呢？（5）如果用字母a表示椅子数，那么，能将刚才的过程重新梳理一遍吗？在中小学课堂学习中，让学生亲身经历一个规律的归纳、提炼过程，让他深刻感受到其中的方法魅力，绝对会终生受益.正如一句话所言：如果一个人在18岁之前从来没有独立地思考过一个问题、发现一个新问题，并尝试着