2021年吉林省长春市榆树五棵树中学高三数学文联考试题含解析

2021年吉林省长春市榆树五棵树中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1?z2为实数，则实数b=（） A．﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2参考答案：考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 由题意可得z1?z2=2﹣b+（2+b）i，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得．解答： 解：∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1?z2=（1+i）（2+bi）=2﹣b+（2+b）i，∵z1?z2为实数，∴2+b=0，解得b=﹣2故选：A点评： 本题考查复数的基本概念，属基础题．2.若函数，则满足的x的取值范围为A． B． C． D．参考答案：B3.在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形参考答案：B4.设为椭圆与双曲线的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且，若椭圆的离心率．则双曲线的离心率的取值范围是(A)(B)(C)(D)参考答案：A略5.若集合则“”是“”的（

）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A6.设非零实常数a、b、c满足a、b同号，b、c异号，则关于x的方程a.4x+b.2x+c=0(

)(A)无实根

(B)有两个共轭的虚根

(C)有两个异号的实根

(D)仅有一个实根参考答案：D7.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项；B．若数列{}有最大项，则d＞0；C．若数列{}是递增数列，则对任意n∈N*，均有＞0；D．若对任意n∈N*，均有＞0，则数列{}是递增数列；参考答案：C本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．法一：特值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{Sn}是递增数列，但是＞0不恒成立．法二：由于＝na1＋d＝n2＋n，根据二次函数的图象与性质知当d＜0时，数列{}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{}是递增数列，那么d＞0，但对任意的n∈N*，＞0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.8.函数的定义域是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①，②，③，④，其中属于“同簇函数”的是

A．①②

B．①④

C．②③

D．③④参考答案：D10.若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(

) A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．解答： 解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．点评：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的根称为函数的零点，定义在上的函数，其导函数的图像如图所示，且，则函数的零点个数是

.参考答案：3略12.方程表示曲线，给出以下命题：①曲线不可能为圆；②若，则曲线为椭圆；③若曲线为双曲线，则或；④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．参考答案：13.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，.若为钝角，，则的面积为

参考答案：，，，，，，，14.已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b= .参考答案：解析：因为∴

.解得15.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对?x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且?=5，则△ABC的形状是直角三角形．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①根据对称性等函数的性质判断②由对全称量词的否定来判断命题真假，③利用函数的性质数形结合，可以得到正确的结论．④结合三角函数的性质进行判断即可⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，【解答】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；对于②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正确．对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由则，即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用、三角函数的性质、命题真假的判断等，使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会．难度较大16.已知是定义域为R的奇函数，且，当:c>0时，，则不等式的解集为

．参考答案：17.函数的最小正周期为

.参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设x＝a和x＝b是函数的两个极值点，其中（1）求f（a）＋f（b）的取值范围；（2）若，求的最大值。参考答案：19.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）求面积的最小值；（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为,.联立，得..设，，则，，∴.（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：，所以直线的方程为:,即，（*）当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.当时，直线的方程为：，也过点.所以直线恒过定点.……12分考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．20.（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧棱底面，，是棱上动点，是的中点，（Ⅰ）当是中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由。参考答案：（1）证明，取的中点G，连结EG，FG∵F、G分别是AB、AB1的中点，

∴∥又∵∥∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG

4分∵平面AEB1，EG平面AEB1∴∥平面AEB（2）以C点为坐标原点，射线CA，CB，CC1为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设，平面的法向量.则由得

∵平面∴是平面EBB1的法向量，则平面的法向量∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值为，则解得∴在棱上存在点E，符合题意，此时

略21.已知(1)证明函数f(x)在上为增函数；(2)证明方程没有负数解．参考答案：解析:(1)任取且,则,又=,,故f(x)在上为增函数．(2)设存在,满足,则,由得,即与假设矛盾,所以方程无负数解．22.（2017?乐山二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立