2022-2023学年广东省深圳市康桥书院数学高二第二学期期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A． B． C． D．2．下面几种推理过程是演绎推理的是（）．A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D．在数列{an}中，a1＝1,,,，由此归纳出{an}的通项公式3．的展开式中的系数为（）A．100 B．80 C．60 D．404．已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．已知定义在R上的函数满足：对任意x∈R，都有成立，且当时，(其中为的导数).设，则a，b，c三者的大小关系是（）A． B． C． D．7．已知是离散型随机变量，，，，则（）A． B． C． D．8．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有A．14400种 B．518400种 C．720种 D．20种9．若，，则（）A． B． C． D．10．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是()A． B．C． D．11．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种12．的展开式中有理项系数之和为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____14．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以获胜的概率______15．已知集合,则_____.16．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某同学参加了今年重庆市举办的数学、物理、化学三门学科竞赛的初赛，在成绩公布之前，老师估计他能进复赛的概率分别为、、，且这名同学各门学科能否进复赛相互独立．（1）求这名同学三门学科都能进复赛的概率；（2）设这名同学能进复赛的学科数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如图所示,是边长为3的正方形,平面与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论．20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过原点的两条直线分别与曲线交于异于原点的、两点，且,其中的倾斜角为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）求的最大值.21．（12分）（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？（2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？22．（10分）某教师调查了名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下表格：男生女生总计购买数学课外辅导书超过本购买数学课外辅导书不超过本总计（Ⅰ）根据表格中的数据，是否有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关；（Ⅱ）从购买数学课外辅导书不超过本的学生中，按照性别分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人询问购买原因，求恰有名男生被抽到的概率.附：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：由三角形面积为，，所以阴影部分面积为，所求概率为考点：定积分及几何概型概率2、C【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{an}中，a1＝1,,,，由此归纳出{an}的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.3、D【解析】

由二项式项的公式，直接得出x2的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项．【详解】因为的展开式中含的项为,故的系数为40.故选：D【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练．4、C【解析】

求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【详解】根据题意，得，若有最小值，即在上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.5、D【解析】

先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【详解】函数，定义域为；则，即为奇函数，，函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，所以不等式变形可得，即，则，解不等式组可得，即，故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.6、B【解析】试题分析：由题意得：对任意x∈R，都有，即f（x）=f（2-x）成立，所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．因为当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．因为-1＜0＜，所以f（-1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选B．考点：本题主要考查熟练函数的奇偶性、单调性、对称性等，利用导数研究函数的单调性。点评：中档题，熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数。自左向右看，函数图象上升，函数增；函数图象下降，函数减。7、A【解析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.详解：是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，.故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.8、A【解析】根据题意，在6×6的棋盘中，第一颗棋子有6×6种放法，由于任意两颗棋子不在同一行且不在同一列，则第二颗棋子有5×5种放法，第三颗棋子有4×4种放法，第四颗棋子有3×3种放法，第五颗棋子有2×2种放法，第六颗棋子有1种放法，又由于3颗黑子是相同的，3颗白子之间也是相同的，故6颗棋子不同的排列方法种数为种；故选A.点睛：在排列组合问题中，遇见元素相同的排列时，一般可以将两个元素看作不同元素，排列结束后除以相同元素的全排列即可，比如有两个元素相同即除以，如三个元素相同即除以.9、A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为，所以，解得，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10、A【解析】

先将不等式转化为，然后构造函数，只要小于的最大值即可【详解】解：由，得，令，则当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，取最大值，所以故选：A【点睛】此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题11、C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．12、B【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（1+）6的展开式的通项公式为Tr+1=•，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++=25=32，故选：B．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，则，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解析】

利用二项分布可求甲以获胜的概率.【详解】设“甲班以3:1”获胜为事件.若甲班以3:1获胜，则前3局甲班恰好胜2局，然后第4局胜．所以，.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，注意利用常见的分布（如二项分布、超几何分布等）来帮助计算概率，本题为基础题.15、【解析】

直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{2，3，4}，B＝{3，5}；∴A∩B＝{3}．故答案为：{3}．【点睛】考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.16、13【解析】

由抛物线的定义可知：，从而得到，同理，分类讨论，根据不等式的性质，即可求得的最小值.【详解】因为，所以焦点，准线，由圆：，可知其圆心为，半径为，由抛物线的定义得：，又因为，所以，同理，当轴时，则，所以，当的斜率存在且不为0时，设时，代入抛物线方程，得：，，所以，当且仅当，即时取等号，综上所述，的最小值为13，故答案是：13.【点睛】该题考查的是有关抛物线的简单性质的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离，直线与抛物线相交的问题，基本不等式求最值问题，在解题的过程中，注意认真审题是正确解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】分析：（1），根据相互独立事件的概率的求法，即可求解三科都能进复赛的概率；（2）由题意，可得随机变量X可取，利用相互独立事件的概率求法，求得随机变量取每个值的概率，即可求得随机变量的分布列和数学期望．详解：设三科能进复赛的事件分别为A、B、C，则，，．（1）三科都能进复赛的概率为；（2）X可取0，1，2，1．；；；．所以，X的分布列为：X0121P数学期望点睛：本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，此类问题的解答中要认真审题，合理计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由题意知为，利用等腰三角形三线合一的思想得出，由平面可得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形是平行四边形，，所以为的中点.又，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，平面，故平面；（2）因为，以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，则、、、，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，得，令，则，，所以.同理可求得平面的一个法向量，所以.又分析知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，解题的关键在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)由线面垂直的判定定理证明;(2)建立空间直角坐标系,写出各点坐标,由于点M在线段BD上,所以设,求出平面BEF的法向量,由,求出点M的坐标.试题解析:(Ⅰ)证明：∵平面,∴,∵是正方形,∴,又,∴平面.(Ⅱ)解：因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示,因为与平面所成角为,即,所以,由,可知,则,所以,设平面的法向量,则,即.令得,,又点是线段上一动点,设,则因为平面,所以,即解得.此时,点的坐标为(2,2,0)即当时,平面.20、（1），；（2）4【解析】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，然后由代入化简后得出曲线的极坐标方程，由直线过原点且倾斜角为可直接得出直线的极坐标方程；（2）由题干条件得出直线、的极坐标方程分别为、，然后将这两条直线的参数方程分别代入曲线的极坐标方程可得出和，利用诱导公式以及辅助角公式化简得出关于的三角函数表达式，并利用三角函数的性质求出最大值．【详解】（1）由消去参数得普通方程为，即，所以极坐标方程为，即.的极坐标方程为.（2）将代入得，将代入得因为，所以.当时，的最大值为．【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，利用极坐标解决实际问题时，