菱形性质和判定的运用

第一章特殊平行四边形北师版1.1菱形的性质与判定第3课时菱形性质和判定的运用B

A

3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为()A．3∶1B．4∶1C．5∶1D．6∶14．(教材P9习题3变式)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于____.C5．如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF等于____.6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AC，AF，则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个60°C7．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB＝BC；③AB⊥BC；④AD＝DC，其中正确的结论是_________．①②④8．(北京中考)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形B

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11．如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AC⊥CD，AB＝6，BC＝10，求四边形AECF的面积．(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴FA＝FC，EA＝EC.∴∠AFE＝∠CFE，∠AEF＝∠CEF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AFE＝∠CEF＝∠AEF，∴AF＝AE，∴AE＝EC＝CF＝FA，∴四边形AECF是菱形12．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形．证明：∵CH⊥AB，∴∠HAF＋∠AFH＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ADC＝90°.∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠HAF，∴∠AFH＝∠CDF.∵∠AFH＝∠CFD，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴CF＝DE.∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE.∴四边形CDEF是平行四边形．∵CD＝DE，∴四边形CDEF是菱形13．对一张长方形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．证明：(1)∵第二步折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°.∴∠ABE＝90°－∠AEB＝30°(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°.∴△BEF和△EFB′是等边三角形．∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′.∴四边形BFB′E为菱形14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM＝60°，且直线PM与直线CD相交于点Q，Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动，求证：CP＝DQ；(2)若P在线段BC上运动，探求线段AC，CP，CH的一个数量关系，并证明你的结论．解：(1)连接AQ，作PE∥CD交AC于E，则△CPE是等边三角形，∠EPQ＝∠CQP.又∠APE＋∠EPQ＝60°，∠CQP＋∠CPQ＝60°，∴∠APE＝∠CPQ，又∵∠AEP＝∠QCP＝120°，PE＝PC，∴△APE≌△QPC，∴AE＝QC，AP＝PQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠2＋∠3＝60°，∵∠1＋∠2＝60°，∴∠1＝∠3，∴△AQD≌△APC，∴CP＝DQ

(2)AC＝CP＋2CH.证明：