2022-2023学年九年级数学专家点拨-二次函数的最值

一、考点突破二次函数中的“最值”性质是二次函数的重要性质，其自然就成了各地中考命题的热点和难点之一。主要题型有：选择题、填空题，难度中等；在解答题中，多与几何、生活实际问题相结合，难度较大。在各类试题中，主要考查以下几方面：（1）利用配方法和数形结合的思想方法，求二次函数的最大值或最小值；（2）在平面几何图形（三角形、四边形）中寻求两个变量，建立二次函数关系，然后使用二次函数的“最值”性质解决结合图形的最值问题。二、重难点提示重点：利用配方法和数形结合的思想方法，求二次函数的最大值或最小值。难点：当二次函数的自变量取值范围不是全体实数时，求二次函数的最值。能力提升类例1二次函数的图象与轴相交，其中一个交点的横坐标是。求该二次函数的最小值是多少。一点通：由于二次函数与轴相交，其中一个交点的横坐标是，所以把（，0）代入解析式即可求出，然后利用二次函数的顶点公式即可求出顶点坐标。解：∵二次函数与轴相交，其中一个交点的横坐标是， ∴把（，0）代入解析式得0＝， ∴＝－2或＝0， 而已知≠0， ∴＝－2， ∴二次函数的解析式为 ∴，， ∴该二次函数的顶点的坐标是（，）。 ∴该二次函数的最小值是。点评：此题主要考查了利用二次函数与坐标轴交点来确定解析式，再求二次函数的顶点坐标，由此求出二次函数的最小值。例2已知二次函数，求当在范围上的最大值和最小值。一点通：可由已知求得二次函数的对称轴为，在直角坐标系中画出其在范围上的函数图象，由此可以求出其最大值和最小值。解：二次函数，所以对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），因为二次项系数为1，所以图象开口向下，显然其顶点横坐标在范围上，如图所示。当时，二次函数有最大值：，当时，二次函数有最小值：。点评：对于自变量在有限范围内的二次函数，最值只可能在区间端点、顶点处取得。数形结合法是解决这类问题的较好的方法。综合运用类例3已知（＝1，2，3，4）是抛物线上共圆的四点，它们的横坐标分别为（＝1，2，3，4），又（＝1，2，3，4）是方程的根，求二次函数的最小值。一点通：（＝1，2，3，4）是方程的根，又（＝1，2，3，4）是抛物线上共圆的四点，根据对称性得该抛物线的对称轴为。从而求出的值，再求解。解：抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。所以由可知，该抛物线的对称轴为x＝2。则。所以最小值为。点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及最值问题，解决本题的关键是根据抛物线的对称轴得到的值。例4在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）。如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是什么？一点通：分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较。解：线段AB的解析式是y＝x＋1（0≤x≤4），此时w＝x（x＋1）＝x2＋x，则x＝4时，w最大＝8；线段AC的解析式是y＝x＋1（0≤x≤2），此时w＝x（x＋1）＝x2＋x，则x＝2时，w最大＝12；线段BC的解析式是y＝－2x＋10（2≤x≤4），此时w＝x（－2x＋10）＝－2x2＋10x，则x＝时，w最大＝12.5。综上所述，当w＝xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）。点评：此题综合考查了二次函数、一次函数的知识，有一定的难度，同学们要能够熟练分析二次函数的最值。思维拓展类例5若二次函数的最小值为2，最大值为2，求的值。一点通：求出二次函数的对称轴x＝0，通过对与对称轴x＝0的位置关系进行比较，得出二次函数在何处取得最值，还需要对的取值情况进行分类考虑。解：显然，二次函数的最值与的值有关，因此需要分情况讨论。因为的对称轴为x＝0，（1）在0≤a＜b上，二次函数下降趋势，所以，故有解得，。（2）在a＜b≤0上，二次函数上升趋势，所以，，故有由于一元二次方程的两根异号，故满足a＜b≤0的解不存在。（3）在a＜0＜b上，二次函数在上上升趋势，在上下降趋势，因此二次函数在处取得最大值，在或处取最小值，故。当时，二次函数，因为，所以二次函数在处取得最小值，即，解得。综上所述，，或，。点评：解决二次函数的最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与自变量的取值范围的关系来解决。1.一次函数在其定义域内是没有最值的，若对x的取值范围加以限制，函数才有最值。2.含绝对值的函数，求其最值的关键是去绝对值符号，然后借助函数图象，确定其最值。有时利用绝对值的定义和性质可以快速地确定函数的最值。3.二次函数的最值为：（1）当时，函数在时取得最小值；（2）当时，函数在时取得最大值。4.对于有限范围内的二次函数，需要根据具体情况确定它的最值，一般需要比较在时的函数值，才能确定其最值。问题：当k为何值时，方程两根的平方和最小。错解：设方程的两根分别为，设，因为，所以。因此，当时，y有最小值，且为－16。即当时，原方程两根的平方和最小。错因剖析：当时，方程为，由于，此时方程无实根，更谈不上两根的平方和最小了。那错在哪儿呢？根本原因是忽视了题中的隐含条件，即，从而，而不在范围内，所以上面的解题结论错了。正确解答：设方程的两根分别为，设，因为，所以。因为方程有两个根时，，所以，即，所以在范围内，y随着x的增大而减小，所以当时，y有最小值，且为2，即当时，原方程两根的平方和最小。点评：做二次函数最值这一类题目时，要充分挖掘题目中的隐含条件，正确求出自变量的取值范围，有两种方法可求出最值：①几何方法：画出函数图象，找出图象中的最高点（或最低点），从而求出当自变量为何值时，函数值的最大值（或最小值）是多少？②代数方法：首先判断顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在，它就是最值点；若不在，它就不是最值点，然后另寻它点。（答题时间：50分钟）一、填空题1.已知函数，当时，取最大值是；当时，取最小值是。2.已知抛物线的开口向上，对称轴是直线，当，，时，对应的值分别是、、，则、、的大小关系是。3.函数的最小值是，最大值是。4.已知二次函数的最大值是3，那么的值为。二、解答题*1.设是实数，求二次函数的最小值。其次，设在取值范围中变动，求的最大值。*2.已知二次函数有最大值，求实数的值。*3.当时，求二次函数的最大值与最小值。**4.已知实数a、b满足，求的最大值与最小值。*5.已知k是实数，求方程两实根平方和的最大值与最小值。

一、填空题1.113－1解析：函数，由可知，当＝1时，取得的最大值是1；当＝3时，取得的最小值是－1。2.解析：抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝2，当x＝2时取得最小值，∵当x＜2时是减函数，∴，又∵3－2＜2－0，2－＜3－2，即，。3.02解析：，当x＝2时，取得最小值为0；当x＝0或4时取得最大值为2。4.0解析：二次函数，，当x＝1时，取得最大值4＋a－1＝3，故a＝0。二、解答题1.解，它在时取得最小值，所以。其次，，解之得：在上述范围内，当时最大，所以当时取得最大值。2.解：函数的对称轴为。该函数开口向下，分以下情况进行讨论：若，则该二次函数在这个区间上单调递减，时有最大值，故，又，故。若，则该二次函数在这个区间上单调递增，时有最大值，故，又，故。若，则该二次函数在顶点处取得最大值，故，与矛盾。综上所述，或。3.解：设的最大值为，最小值为，则，我们先求。①当时（即对称轴在左边时），对应于的图象的右端点高于左端点，故x=1时函数取最大值为。②当时，对应于的图象的左端点高于右端点，故时函数取最大值为。总之，二次函数的最大值为：我们再来求最小值。①当时（对称轴在定义域左侧），当时，。②当时，当时，。③当时，当时，。总之，二次函数的最小值为：。4.解：将变成以下两种形式：，①。②相应地将＝1变成以下两种形式：，，∴，③。④③代入①得，当a＋b＝0，即a＝－b时等号成立，此时a＝1，b＝－1或a