探析数学错解的原因与对策

探析数学错解的原因与对策

客观地说，只要解题就可能有错误出现，因为人对知识的理解、对技能的掌握是呈“螺旋”式上升的，不可能一步到位.但是我们应该认识到，如果优化学法，错误肯定会减少，教学效果一定会更好，至少可以避免一些不该发生的错误，对于防止错解有未雨绸缪之功效.下面，就结合数学解题教学实际，剖析错因，探究学法，以提高学生解决数学问题的能力.一、理解问题不全面理解问题不全面是指学生在理解数学问题时，不能全面地发掘题中的信息，不能深刻地理解这些信息之间的关系并有效地将它们运用到解题过程中，导致出现解题思维受阻或解题漏洞.主要表现在以下2个方面.1.忘记限制条件许多数学概念、法则或定理都有限制条件，去掉这个限制条件，概念、法则或定理就不成立.有不少学生往往由于忘记这些限制条件，造成了解题错误.例如，必须在a≥0的限制条件下才是二次根式，否则就不能说是二次根式；又如，已知关于x的一元二次方程-x+2=0有两个实数根，求m的取值范围.对于此题，有学生求解过程如下：解：因为方程有两个实数根，所以△≥0.即-4m×2≥0.解得m≤.所以m的取值范围是m≤.事实上，当m=0时，原方程二次项的系数为0，这时原方程已不是一元二次方程了，这不符合题意，出现这种错误的原因是忘记了一元二次方程的一般式+bx+c=0中的限制条件a≠0，正确的答案是m≤且m≠0.定义、定理或法则中的限制条件，往往被设计为一个考点，既考查了学生对该知识点的掌握情况，又考查了学生的个体素质，如不注意就会出现错误.忘记限制条件主要与记忆力差、注意力不集中或过度紧张有关，在解题时，如果能冷静对待，进行自我提示，就可以避免这种错误的发生.2.忽视隐含条件有的数学试题中，不仅存在着“明摆着”的条件，还有隐含条件.这些隐含条件往往不容易被发现，在解题时忽视隐含条件，就会出现错误，或者发生漏解现象.忽视隐含条件多是因为思考不深入、经验不足、思维定势的负效应或对相关概念、定理、公式、法则理解不透彻造成的；紧张的情境中，有应顾不暇的情况，也容易产生这种错误.防止发生这种错误的对策是加强对概念、定理、公式和法则的深入理解，注意关键词语的深层含义，关注数量关系、数学式子的结构特征、图形的位置特征、实际问题的意义所隐含的条件，积极培养学生思维的深刻性和严谨性，加强解题后的反思，积累相关经验等.二、不能主动“经历过程”不能主动“经历过程”是指学生不能自觉参与学习的各个环节，是学习不主动、不深入的表现.这类学生往往自认为学习内容很简单，不需要动手，经常是一看就“会”，一听就“懂”，可惜一做就错！具体表现在以下4个方面.1.不能主动地读题和审题对教材或学习资料中的数学问题，不少学生自己不想读题、不愿审题，总想让教师先读、先分析，有时在教师的督促下，敷衍了事地读了一遍，不能全面、深入地理解题意，当然会做错题.如，在阅读数学问题时，不理解题目叙述的“数学情景”，理不清关系，抓不住关键，找不到解题的突破口，不会用数形结合的思想分析问题等.2.不习惯于画图对于需要画图的数学题，有些学生不能主动地按问题的要求作出图形，经常是脱离图形“瞎琢磨”，在这种消极意识的支配下，学生就不可能形成较高的作图技能，在解其他数学题时肯定会有“图不达意”的情况产生.我国著名数学家华罗庚说过：“数以形而直观，形以数而入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非.”显然这种“以形助数”、“以数解形”的数形结合思想才是学习数学的最佳方法，做数学题不喜欢画图的思想是千万要不得的.3.不喜欢做计算题数学计算能力是学好数学的基础，数学计算题不仅含有多项数学知识，完成它还需要很多计算技巧，如有理数计算题的“凑整法”、“拆项法”、“同号相加法”，化简求值时，还可能用到整体代入法等，这些都是很有价值的计算技巧.不论是知识或技能都需要学生亲自练习才能掌握，平时不练，用时肯定会有“眼高手低”的现象发生，做错题是肯定的.因此要想不出错误，必须加强计算技能的培养.4.不参与数学活动有的学生认为数学活动太费事，也没有太多的趣味，干脆不参与数学活动，有时候只是被动地看看教师的演示活动，自己没有一点关于数学活动的体验和情境感，再遇到类似的数学问题，也没有一点灵感，依然没有解题思路.学生不亲身经历探究数学问题的过程，就不会知道数学知识发生的原因、发展的过程、探究的方法，也就不可能真会，所谓“经验大于学问”，正说明学生“经历过程”的重要性.弗里德曼说过：“寻找题解不能教会，而只能靠自己学会.”《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，刻画数学活动水平的“过程性目标”所用的动词“经历（感受）、体验（体会）、探索”都向我们说明：学生在学习数学时，只有实实在在地用眼、动脑、动口、动手，靠自己主动参与学习过程，才能真正学好数学、会用数学.三、数学技能缺失数学技能缺失是指学生在画图、操作、设计、数学测量、数学式子变形及逻辑推理等方面的方法与能力不能满足解题的需要.教学中发现，遇到这方面的数学问题，学生显得很无奈，不知如何入手.具体表现在以下5个方面.1.不会使用学具直尺、三角板、圆规、量角器是初中数学中常用的学具，合理运用这些学具，可以完成一系列涉及数学技能的数学问题.实际确有一部分学生不会使用这些学具，或不能充分发挥这些学具的功能.例如，不会用直尺的边沿与刻度的垂直关系画垂线；不会用三角板画15°，75°，105°的角；不会用量角器自制测角仪；不会用直角三角板确定圆的圆心；等等.2.不能准确画图很多学生不会按一定的程序和要求准确作图，作出的图形不是错误就是尺寸比例关系不对，使图形很不“像”，致使因图形不准而解错题.如，有的学生把线段AB的垂直平分线、菱形、正五边形分别画成如图1～3所示的图形.显然，在上面三个图形中，图1是错误的，图2、图3不准确.原因是不理解线段垂直平分线的意义，没有掌握菱形、正五边形的作图原理.如，画菱形只需先画两条互相垂直平分的线段，再依次连接线段的四个端点，就可画出准确的菱形（还有其他画法）.3.操作或设计能力缺失操作有拼图、折叠、旋转、平移、对称、制作等形式；设计是指一些简单的图形设计、广告设计等.如，设计制作圆锥体烟囱帽、长方体盒子等，意在培养学生动手实践能力及创新能力，但教学中发现，学生真正动手去做的很少，有的学生一看到这类问题就不知所措，有时虽然能做一些活动，也表现得很笨拙，显示出动手能力较弱.4.数学式子变形技能缺失数学式子的变形不仅需要有理数、二次根式、分式、整式的运算法则及因式分解知识，还需要一些特殊的技能技巧，如等式两边平方、等式两边取倒数、整体思想、拆项及设参数等，但是有的学生缺乏这些常见的数学技巧，在新的数学问题面前显得束手无策.如在解下面这个问题时，很多学生往往不知道该从何入手.在上面的解题过程中，分别运用了“两边同时取倒数”、“拆项并约分”、“三个等式两边对应相加”三种式子变形技巧，做起来并不难，反而有一种简洁的感觉，但是所用的解题技巧不是一般的学生都能很快想到的，因此很多学生感到这道题比较难，其实感觉难的原因是缺乏对数学式子变形的技能，没有找到解题的技巧.数学概念是培养数学技能的沃土，对数学概念的深刻理解可以促进学生以此为生长点探索数学技能，而数学技能的操作可以加深对数学概念的认识，为更高层次的数学技能的生长提供可能.因此，强化学生数学技能的对策是加强对数学基础知识的理解，多动手实践，练习技能，常用多种方法解题；教师坚持讲解一些数学式子变形的巧妙方法，激励学生不断地练习与创新，大量积累新方法、新技巧，并把这些方法、技巧融入到学生的知识体系中，形成“条件反射”，遇到类似的问题情景就能自觉（不需别人提示）地试一试.让学生明白“这些‘技巧’不是个别孤立的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，而是高思维层次、高智力水平的策略思想，这一切，又为解题研究提供了新鲜而丰富的素材”.在初中数学中，掌握构造、旋转、平移、对称、操作、设计、换元、设参数、整体处理、拆项、配项、特殊化、一般化、数字化、有序化、归纳、反证等方法和技巧，将有助于夯实数学基础，提高解答数学问题的能力.数学是用数学思想做理念，基本知识做素材，数学方法做技术建立的一座变换无穷的科学迷宫，各知识点的联系奇妙无比，只要掌握其中的关键，就能来去自如，不断领略其中的乐趣.所以笔者常对学生说：“数学无难题，只要你得法.”5.逻辑推理能力不足数学逻辑推理讲根据、讲程序，在“一定”的条件下，才能推出“一定”的结论.有的学生在条件不具备的情况下，也得出了自己想得到的结论；在条件已经具备的情况下，却不知道得出结论；有的学生证明问题不讲条理，把所有的条件不分先后都写出来，就得出了结论；还有的学生对问题的理解是对的，但是他在卷面上“跳跃式”地写出一部分过程，把另一部分过程潜意识地放在脑子里，这种“在脑子里符合逻辑，卷面上不符合逻辑”的证明也是不对的.总之，出现逻辑错误的情形比较多，这都是逻辑推理能力不足的具体表现.产生这种现象的原因与数学基础、个体素质、思维能力都有关系，逻辑思维能力差的学生可以通过学习和训练，逐步提高.培养学生的逻辑思维能力要坚持由短到长，由简单到复杂，由易到难.如，开始先学会写一个逻辑段“因为……，所以……”，然后再学习写两个逻辑段“因为……，所以……，所以……”，逐步增加逻辑段的长度和难度.波利亚说过：“没有任何一道数学题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答.”因此在写逻辑推理过程时，要坚持“没有最好，只有更好”，不断地反思、推敲、修改已给出的解法过程，从而优化解题的逻辑过程，只要坚持做下去，必定能使思维得到锤炼，数学逻辑推理能力得到提高.四、审题或解题不谨慎在教学中发现，很多学生没有养成良好的解题习惯，见到数学问题时不能沉着、冷静地按解题程序进行解题，表现慌张、忙乱.有时看起来很简单的题目，由于审题或解题不谨慎，结果还是出现了失误，这种错误的形式是多样的.主要表现在以下3个方面.1.看错数字和字母在解题过程中，有的学生不够沉着，急急慌慌的，还没有“弄清问题”（波利亚解题表中的第一步）就开始做题，经常张冠李戴，眼睁睁地把数字、字母或运算符号看错或漏掉，如在上一步明明是“-2”，抄到下一步就变成了“2”；把m看成n；把“3×”写成“3·”，或与带分数“3”混同；把属于甲的量看成乙的量；等等.这些低级的视觉性错误，不仅发生在学困生身上，也发生在学优生身上，于是“会而不对”的现象就不断发生.2.潜意识地增加条件有的学生在解题时，由于注意力过于集中，使注意力处于集中的“僵化状态”，又急于得出结论，就把“希望的条件”当做了题中的条件，于是就不经心地增加了一个题中并不存在的条件.如，把等边三角形的“内心与外心重合”用到了一般等腰三角形（腰与底不等）上面；有的几何题中的三角形画得很像（实际不是）直角三角形，受优势原则的影响，有的学生就先入为主，把它当做直角三角形；线段a∶b=2∶3就认为是a=2，b=3，等等.这种现象发生在解题时，哪有不错之理！3.单位不统一特别是在低年级学生中，因经验不足，观察理解不周全等，经常出现因单位不统一而解错题的情况.如，在列方程、求线段的比、求面积、求体积、解答与物理相关的问题时，常发生此类错误.审题或解题不谨慎而产生解题错误，有知识方面的原因，更多的是心理方面的原因.防止此类错误的对策是：首先，平时学习时，要加强相近或相似知识内容的严格区分，防止混同.如，采用专项练习、错例分析、对比讲解、举反例进行区分等.其次，要养成良好的解题习惯，始终保持力求准确的思想倾向.如，在解题前要做到读懂题意，想办法弄清各种量的意义和关系，了解自己的解题特点，注意解题后的检查，针对易错点养成自我提示的习惯，如公式记得对不对，单位对不对，看错数字和字母没有，画错图形没有，等等.再次，要消除紧张的心理.平时解题要注意养成沉着、冷静、耐心的习惯，每次解题前不妨都自我告诫：别紧张，要看准题，不失误.坚持经常这样做，定能养成缜密的思维习惯，从而减少因审题或解题不谨慎而导致的错误.五、缺乏数学活动经验缺乏数学活动经验是指学生不能深入现实生活，感受不到现实生活中的问题与数学知识之间的联系，因而缺乏解答数学问题所必需的知识背景和“内在动力”.主要表现在以下4个方面.1.缺乏现代公民必需的生活经验数学来源于生活，生活又离不开数学.随着经济的发展，越来越多的生活事务需要我们用数学的方法来解决.例如，商品买卖中的账务计算，银行存款利息，增长率，测量，购房时的分期付款，优惠购车，节能环保，出租车付款，方案设计，最优组合，等等.很多学生根本没有机会了解这些事务的具体详情，一旦遇到这类问题就束手无策.2.缺乏在生活或生产现场实践的经验现在仍有很多学生被困于资料堆中，没有时间和机会到生活和生产现场，进行参观考察学习，无法了解其中所蕴含的数学价值.教学中发现，很多学生遇到这类题目其“现场感”很差，没有教师的引导和解释就无法做题.所以要鼓励学生到生产车间了解原料配比，产品的抽样检查等；到建筑工地（安全场地）观看各种建筑的造型设计，丰富空间感觉、强化空间观念；到有实际测量的工地，体验测量的相关知识，为日后解答相关问题积累知识和经验.3.缺乏操作实验的经验不少教师或学生怕浪费时间，不太重视这个问题.学习时遇到操作实验类问题，经常是教师用语言描述一下或教师演示一下，学生很少有亲自参与的机会，数学操作实验方面的经验肯定很少，当遇到这类题目时，不知道操作程序和具体的操作要点，因此很难顺利解答这类题目.4.缺乏数学建模活动的经验首先，教学中发现，不少学生思维惰性突出，创新意识不强，只会做教师讲过的题型，遇到新题时，最先想到的是让老师讲解，老师不提示，自己就没有思路，更不善于对问题进行比较、反思、归纳、总结，得出一般的解题方法，从而建立数学模型；其次，在初中能很具体地讲解数学建模知识的教师并不多，这样导致很多学生根本不知道“数学建模”是怎样一回事，更谈不上数学建模活动的经验.因此学生也缺乏触类旁通和解决实际问题的能力.事实上，这种活动经验或是学习过程是千差万别的，影响着学生数学综合应用的水平.要避免因缺乏数学活动经验而出现的解题错误，就应让学生充分参与数学活动，提高动手能力，积累丰富的数学活动经验，找到数学知识与生活实际问题的结合点，达成数学知识与生活实际问题之间的相互转化和相互利用，这时对数学问题的探究和应用必定有新的突破.六、对数学思想方法的应用意识不强数学思想方法的应用意识不强是指学生在解题时，不能自觉地在数学思想方法的指导下，去选择恰当的解法，快而准地解答数学问题.事实上，初中学生对数学知识不像研究数学的理论工作者那样，对数学的内容和精神都那么精通，大部分学生对数学思想方法的认识缺乏系统性，他们会列方程不一定有方程思想；理解函数不一定有函数思想；了解数形结合不一定有数形结合思想……往往是一见到题，就忘掉了“数学思想”，多数学生都不能理智地在数学思想方法的指导下开展高效探究，这样他们的学法仅停在“苦学”的水平，这也必然造成“教师苦教，学生苦学，效率低下”的局面，显然与我们当前开展的教学改革新理念是不相符的.例如，对于问题：某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间