函数的周期性和对称性

函数的周期性和对称性第1页，共31页，2023年，2月20日，星期日(1)若关于直线对称一、函数的对称性若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在上，就称关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。(2)若关于点对称两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.第2页，共31页，2023年，2月20日，星期日定理：若函数满足，那么函数以为对称轴。cor.若函数满足，那么函数以为对称轴。即：YXOABX=a第3页，共31页，2023年，2月20日，星期日定理：若函数满足，那么函数关于点对称。cor.若函数满足，那么函数关于点对称。即：YXOAB(a,0)第4页，共31页，2023年，2月20日，星期日2)若,则函数关于______________对称;注：1.当时,函数关于直线对称2.当时,函数关于点对称偶函数----特殊的轴对称函数奇函数----特殊的点对称函数一般地,1)若,则函数关于

对称.第5页，共31页，2023年，2月20日，星期日y=f(x)对称源性质点(0,0)y轴y=xx=m点(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函数12第6页，共31页，2023年，2月20日，星期日关于x=0对称例1：已知的图象,画出和的图象，并指出两者的关系。(-1,0)(1,0)若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在上，就称和关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。第7页，共31页，2023年，2月20日，星期日一般地,函数和关于_______对称.记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.变化前对称源变化后y=f(x)点(0,0)x轴y轴y=xy=-x直线x=m直线y=n点(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)第8页，共31页，2023年，2月20日，星期日例3：设的图象与的图象关于直线对称，求的解析式。例2:将函数右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点对称，求C2的函数解析式。利用对称性求解析式（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式第9页，共31页，2023年，2月20日，星期日例4：设图象关于直线对称,在上，求当时的解析式。例5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,函数求当时的解析式(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换第10页，共31页，2023年，2月20日，星期日关于直线对称关于直线对称关于对称关于点对称常见函数的对称性一个函数本身的对称性称为自对称,分成关于某直线对称或某点对称.原点第11页，共31页，2023年，2月20日，星期日二、函数的周期性理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？1.定义:对于函数，若存在非零常数T，使得恒成立，则称为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。(2).若T是的一个周期，则kT（k是非零整数）均是的周期吗？(3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？T=(a-b)思考：若,函数具有什么性质？第12页，共31页，2023年，2月20日，星期日第13页，共31页，2023年，2月20日，星期日注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)

第14页，共31页，2023年，2月20日，星期日3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。性质1.若函数以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=X=aX=b第15页，共31页，2023年，2月20日，星期日性质2.若函数以为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=假定(a,0)(b,0)第16页，共31页，2023年，2月20日，星期日性质3.若函数以为对称点，以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=假定X=b(a,0)XYO第17页，共31页，2023年，2月20日，星期日第18页，共31页，2023年，2月20日，星期日第19页，共31页，2023年，2月20日，星期日第20页，共31页，2023年，2月20日，星期日第21页，共31页，2023年，2月20日，星期日第22页，共31页，2023年，2月20日，星期日第23页，共31页，2023年，2月20日，星期日第24页，共31页，2023年，2月20日，星期日第25页，共31页，2023年，2月20日，星期日第26页，共31页，2023年，2月20日，星期日练习1:定义在R上的函数满足且方程有1001个根，则这1001个根的和？4:如果那么3：如果那么2:函数图象关于点对称，则第27页，共31页，2023年，2月20日，星期日5:(1)定义在R上偶函数满足则方程在区间上至少有()个根。(2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间至少有()个根。6：定义在R上函数满足条件:①不是常值函数；②③则下列命题中正确的是()A.是周期函数B.关于对称C.关于y轴对称D.关于原点中心对称重要结论：若奇，且周期为T，则必有注：可用模拟图，直观明了第28页，共31页，2023年，2月20日，星期日思考：若周期为，又关于对称，能否推出是偶函数？若能，能否严格证明？练习:1.若为定义在R上的奇函数，且关于直线对称，问：是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。2.若为定义在R上偶函数且满足问：是否关于直线对称？若是，请给出证明。3：设奇函数，且当则第29页，共31页，2023年，2月20日，星期日第30页，共31页，2023年，2月20日，星期日5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,