几何与代数第四章

几何与代数第四章第1页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义3（n维向量空间）：

以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，记为第2页，共44页，2023年，2月20日，星期日二、向量空间则称V是实数域R上的向量空间，也称V是的子空间。定义4.1设V是的非空子集合，如果（1）V对加法运算具有封闭性，即，有（2）V对数乘运算具有封闭性，即只有一个零向量所构成的向量空间称为零空间。零空间以及本身称为的平凡子空间第3页，共44页，2023年，2月20日，星期日例2：对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？例1：第4页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义设是m个n维向量，记则是一个向量空间，称为由张成（或生成）的向量空间。记作：span{}定义矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间（的子空间）；矩阵A的行向量组成的向量空间称为A的行空间（的子空间）。第5页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义齐次线性方程组AX=0，记其解向量的全体为N(A)称N(A)为A的零空间。齐次线性方程组ATY=0，记其解向量的全体为N(AT)称N(AT)为A的左零空间。第6页，共44页，2023年，2月20日，星期日第二节向量组的线性相关性定义4.3（线性组合）重点：如何判断线性相关和线性无关？注：第7页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理：注：解的唯一性和非唯一性！例：第8页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义4.4（线性相关）

定义4.4’（线性无关）若只有在时，才有等式成立，则称是线性无关的第9页，共44页，2023年，2月20日，星期日例：如何判断线性相关和线性无关？？？定理：其中第10页，共44页，2023年，2月20日，星期日回顾：

Gauss消去法中阶梯形拐角元素1的个数的问题当m>n时，即向量的个数大于向量的维数或未知量的个数大于方程的个数，Ax=0有自由变量，故必有非零解，因此，n+1个n维向量都是线性相关的。第11页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理4.1：注1：并非所有向量均可由其余m-1表示。2：逆否命题第12页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理4.2：三维的情况！推论：第13页，共44页，2023年，2月20日，星期日例1：证明：例2：例3：第14页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理4.6：定理：部分相关———>整体相关整体无关———>部分无关第15页，共44页，2023年，2月20日，星期日总结线性表示线性相关（无关）证明线性无关的方法——>反证法!第16页，共44页，2023年，2月20日，星期日引子:

线性相关组中含有线性无关的部分向量组.第三节向量组的极大无关组与秩定义1（等价）：一、等价向量组性质：自反性对称性传递性第17页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理1：推论1：推论2：推论3：设T是由n维向量所组成的向量组，则（1）T的每个极大线性无关组与之等价（2）T的任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。第18页，共44页，2023年，2月20日，星期日二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩定义1（极大线性无关组）注1、条件（2）表示2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组第19页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义2（秩）推论4：推论5：等价的向量组有相同的秩。推论6：第20页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理1：推论1：如果一矩阵列向量组的秩是r，那矩阵的秩为r.推论2：Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组?

第21页，共44页，2023年，2月20日，星期日求法1、2、对A进行初等行变换，直至阶梯形矩阵A'3、A的秩r即为所求，再找一个r阶非零子式（取拐角1所在的列），对应的向量构成一个极大线性无关组。第22页，共44页，2023年，2月20日，星期日例1：例2：证明：例3：第23页，共44页，2023年，2月20日，星期日重点：确定坐标，求解过渡矩阵引子：向量空间---广义向量组（张成的概念）定义4.7（基和维数）第四节向量空间的基和维数第24页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义4.8（坐标）注：向量空间的基不是唯一的，可以相互线性表示。相应地，同一向量在不同的基下的坐标也存在着某种关系—过渡矩阵。定义4.9（过渡矩阵）第25页，共44页，2023年，2月20日，星期日定理：过渡矩阵A是可逆阵。定理4.9：第26页，共44页，2023年，2月20日，星期日例1：对于n维空间中的两组基求过渡矩阵，并求向量在后一组基下的坐标。第27页，共44页，2023年，2月20日，星期日例2：引：三维空间中有放射坐标系，直角坐标系（两两正交，单位向量）第28页，共44页，2023年，2月20日，星期日第四节标准正交基与Schmidt正交化方法回顾：两个n维向量内积的定义定义（正交）定理4.10：若n维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。第29页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义4.10（标准正交基）问：给定一组基—求出相应的正交化基？思考：第30页，共44页，2023年，2月20日，星期日得到标准正交基：－－施密特（Schmidt）正交化方法再令：第31页，共44页，2023年，2月20日，星期日第32页，共44页，2023年，2月20日，星期日例2：证明下向量组是一组正交基第33页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义4.11（正交矩阵）定理4.11：性质：第34页，共44页，2023年，2月20日，星期日第六节线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构设n个未知量m个方程的齐次线性方程组为AX=0，其中第35页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义1

齐次线性方程组AX=0，记其解向量的全体为N(A)称为方程组AX=0的解空间（又称为A的零空间）。定理1：

齐次线性方程组AX=0的解向量的线性组合仍然是这个方程组的解向量。第36页，共44页，2023年，2月20日，星期日定义2（基础解系）定理2：第37页，共44页，2023年，2月20日，星期日求AX=0基础解系的方法！第38页，共44页，2023年，2月20日，星期日第39页，共44页，2023年，2月20日，星期日注1：非唯一性

2：3：只有零解的齐次线性方程组没有基础解系。定理3：第40页，共44页，2023年，2月20日，星期日例1：