安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二下学期春季联赛数学（文）试题 Word版含解析

/安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高二)数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U＝{x∈N*|x≤7}，集合M＝{1，3，5，7}，集合N＝{3，4，5，6，7}，则(M)∩N＝（）A.{1，2，4，6} B.{3，5，7} C.{4，6} D.{2}【参考答案】C【题目解析】【题目考点分析】根据集合补集、交集运算的定义计算题．【题目详细解读】∵，，∴．故选：C.【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题关键．2.设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【参考答案】A【题目解析】【题目考点分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断可得；【题目详细解读】解：因为，所以故在复平面内对应的点的坐标为位于第一象限．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算及复数的几何意义，属于基础题3.在集合{1，2，3，4，5}中任取两个不同的数x，y，则事件x＋y≤5的概率等于（）A.0.3 B.0.4 C. D.0.5【参考答案】B【题目解析】【题目考点分析】不妨令，列出的不同取值，再列出满足额事件数，根据古典概型的概率公式计算题可得；【题目详细解读】解：不妨令，则的不同取值有，，，，，，，，，共10种，其中满足的有，，，共4种，，所以事件的概率为．故选：B【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.4.“a<1”是“方程ax2＋2x＋1＝0有两个不同实根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】B【题目解析】【题目考点分析】首先求出使方程有两个不相同实根参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【题目详细解读】解：方程有两个不同实根且，所以“”是“方程有两个不同实根”的必要不充分条件．故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了方程实数根的判断，属于基础题.5.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.甲的六维能力指标值整体水平优于乙的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【参考答案】A【题目解析】【题目考点分析】利用雷达图对每一个选项的命题逐一题目考点分析推理得解.【题目详细解读】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故A正确；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，，故C错误；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选：A【点睛】本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和题目考点分析推理能力.6.已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，点D，E分别是边BC和AC的中点，则＝（）A. B.- C.-2 D.【参考答案】C【题目解析】【题目考点分析】设，，以它们为基底，把都用基底表示后根据数量积的运算律计算题．【题目详细解读】设，，则，，，．故选：C．【点睛】本题考查平面向量数量积，解题关键是选取为基底．用基底表示其他向量后再进行数量积的运算．7.圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x-3)2＋(y-4)2＝9的公共弦的长为（）A. B. C. D.【参考答案】C【题目解析】【题目考点分析】先用两圆的方程相减求得公共弦方程,再利用垂径定理求解弦长即可.【题目详细解读】两圆方程相减得公共弦方程为,圆心,到公共弦的距离为,所以所求弦长为.故选：C【点睛】本题主要考查了两圆相交弦的求解以及垂径定理求弦长的问题.属于基础题.8.关于函数有下述三个结论：①在区间上是减函数；②的图象关于直线对称；③在区间上的值域为其中正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【参考答案】D【题目解析】【题目考点分析】根据题意，先将函数化简为，再利用正弦函数的性质即可.【题目详细解读】由题意，，由，，得，，所以的单调递减区间为，.可知①正确；由，可知的图象关于直线对称，所以②正确；当时，，所以，故③正确.故选：D.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查了转化思想，计算题能力，属于基础题.9.已知F是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（）A.2 B.-2 C.2或-2 D.【参考答案】D【题目解析】【题目考点分析】抛物线的标准方程为，然后得出其准线方程，然后利用抛物线的定义求解即可.【题目详细解读】抛物线的标准方程为，则其准线方程为，由得到准线的距离为，所以，所以．故选：D【点睛】本题考查的是抛物线定义的应用，较简单.10.已知、，若点在线段(不含端点)上，则的最小值为（）A. B. C. D.【参考答案】A【题目解析】【题目考点分析】由条件得到，然后可推出，然后利用基本不等式求解即可.【题目详细解读】由、可得直线的方程为，即因为点在线段(不含端点)上，所以所以当且仅当，即时等号成立故选：A【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.11.函数f（x）＝sinx·的部分图象大致为（）A. B. C. D.【参考答案】C【题目解析】【题目考点分析】根据函数的奇偶性以及当取接近于的正数时函数的正负判断即可.【题目详细解读】因为和都是奇函数,所以是偶函数,排除B和D.当取接近于的正数时,应有,所以排除A.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据函数题目解析式判断函数图像的方法,需要根据奇偶性与函数的正负判断.属于基础题.12.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，G、H、M、N、P、Q为圆O上的点，△GAB，△HBC，△MCD，△NDE，△PEF，△QAF分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起△GAB，△HBC，△MCD，△NDE，△PEF，△QAF，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥．当正六边形ABCDEF的边长变化时，所得六棱锥体积(单位：cm3)的最大值为（）A. B. C. D.【参考答案】B【题目解析】【题目考点分析】连接，交与点，由题意，，设，则，，求出棱锥的高，和底面面积，由体积公式求得体积的表达式，引入函数，，利用导数可求得其最大值．【题目详细解读】如图，连接，交与点，由题意，，设，则，，六棱锥的高，，则，令，，，令，即，，即时，递增，当时，，递减，∴是在上的唯一极大值，也是最大值．，，所以体积最大值为．故选：B．【点睛】本题考查求棱锥的体积的最大值．解题关键是引入变量（题中的），然后把棱锥体积表示为这个变量的函数，利用导数的知识求得最大值．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把参考答案填在答题卡的相应位置．)13.已知函数，若f（m）≥2，则实数m的取值范围为________．【参考答案】或【题目解析】题目考点分析】利用分类讨论表示不等式，进而写出其并集结果.【题目详细解读】由题可知，，则或或．故参考答案为：或【点睛】本题考查在分段函数中由函数值的范围求参数的取值范围，属于基础题.14.已知长轴长为，短轴长为的椭圆的面积为．现用随机模拟的方法来估计的近似值，先用计算题机产生个数对，，其中，均为内的随机数，再由计算题机统计发现其中满足条件的数对有个，由此可估计的近似值为______________．【参考答案】．【题目解析】【题目考点分析】由，，根据表示的数对对应的点在椭圆的内部，且在第一象限，求出满足条件的点的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【题目详细解读】，，表示的数对对应的点在椭圆的内部，且在第一象限，其面积为，故，得．故参考答案为：.【点睛】本题主要考查了几何型概率应用，解题关键掌握几何型概率求法，考查了题目考点分析能力和计算题能力，属于基础题.15.以双曲线C：的右焦点F为圆心，半焦距为半径作圆，与双曲线的渐近线交于O，A，B三点．若△AOB的周长为7a，则双曲线C的离心率为________．【参考答案】【题目解析】【题目考点分析】根据直线和圆相交时的弦长公式，三角形的周长，结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．【题目详细解读】∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为yx，即bx﹣ay＝0，∴焦点到渐近线的距离，所以圆心到渐近线的距离为，因为圆的半径为，所以，同理．因为，所以，所以，所以，得，所以，解得．故参考答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算题，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键，属于基础题.16.已知对一切x>0，不等式>a恒成立，则a的取值范围为______________．【参考答案】【题目解析】【题目考点分析】由题意得，，令，，对a分和两种情况导函数的正负，得出原函数的单调性和最值，可得a的范围.【题目详细解读】时，，令，则，当时，，所以，符合题意；当时，由得（），所以时，，所以，这与矛盾．所以的取值范围为．故参考答案为：.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，关键在于构造函数，讨论其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，再运用恒成立的思想，得以求参数的范围，属于难度题.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，anan＋1＝4Sn-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【参考答案】（1）；（2）.【题目解析】【题目考点分析】（1）由，得，两式相减得，再由为正项数列，得，可得，从而数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，再由等差数列的通项的求法，可得参考答案．（2）由于，可得．运用裂项相消法可求和.【题目详细解读】（1）．∵，∴，两式相减得，∵为正项数列，∴，∴，∴数列的奇数项和偶数项分别成等差数列．在中令得，，∵，∴解得，故数列为等差数列，且公差为，∴，即数列的通项公式为．（2）．由（1）知，则．所以.【点睛】本题考查数列的前n项与通项的关系，以及运用裂项相消法求数列的和的方法，属于中档题．18.已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，．（1）求角A；（2）若a＝，求b2+bc的取值范围．【参考答案】（1）；（2）．【题目解析】【题目考点分析】（1）由切化弦思想结合两角差的正弦公式得出，求出和的取值范围，可得出或（不成立），结合三角形的内角和定理可得出角的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换思想得出，由角的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.【题目详细解读】（1）由得，即，也即，所以，所以或（不成立），所以，则．（2）由正弦定理得，所以，．因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以，故的取值范围为．【点睛】本题考查三角形中角的计算题，同时也考查了三角形中与边长相关的代数式的取值范围的计算题，涉及正弦定理的应用，考查计算题能力，属于中等题.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD．（1）求证：平面APC⊥平面BPD；（2）若AB＝2AP＝2，求三棱锥C-PBD的体积．【参考答案】（1）详见题目解析；（2）．【题目解析】【题目考点分析】（1）记与交点为，利用，证得线面垂直，从而可证得面面垂直；（2）设，利用求得，从而得的长度，过作，垂足为，由（1）可证就是四棱锥的高，求出这个高及底面面积,用换底法可得体积．【题目详细解读】（1）证明：记与交点为，∵，为的中点，∴，又∵为菱形，∴．∵和是平面内两条相交直线，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）设，∵，∴，又，所以，所以，因为，所以在中，由勾股定理得，，∴，∴．过作，垂足为，由（1）知，平面，∴平面平面．又平面平面，所以平面．在中，得，所以三棱锥的体积．【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求棱锥的体积，解题方法是换底法．换底后直接利用棱锥体积公式求得体积．20.Fibonacci数列又称黄金分割数列，因为当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数．已知Fibonacci数列的递推关系式为．（1）证明：Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列；（2）Fibonacci数列{an}的偶数项依次构成一个新数列，记为{bn}，证明：{bn＋1-H2·bn}为等比数列．【参考答案】（1）详见题目解析；（2）详见题目解析．【题目解析】【题目考点分析】（1）利用反证法，假设存在，，三项成等比数列，则，进而由已知关系证得是无理数，这与其递推公式中反应的为有理数矛盾，得证；（2）由题表示，进而由已知的递推关系表示出的递推公式，再构造等比数列，进而由一一对应关系计算题出对应参量，最后由等比数列定义得证.【题目详细解读】（1）证明：（反证法）假设存在，，三项成等比数列，则，所以，所以，解得，由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0，所以，又Fibonacci数列的所有项均为整数（由递推公式），所以应该为有理数，这与（无理数）矛盾（其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数，而不是恰好相等），所以假设不成立，故原命题成立．（2）证明：由条件得，，所以，即，设，则或所以或所以，所以为等比数列，公比为．【点睛】本题考查数列中的新定义问题的证明，涉及反证法的考查，还考查了构造等比数列，属于难题.21.已知椭圆C：的离心率为，且经过点M(1，)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l不过点P(0，1)，与椭圆C交于A、B两点，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且满足k1＋k2＝1，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．【参考答案】（1）；（2）证明详见题目解析；该定点坐标为．【题目解析】【题目考点分析】（1）由离心率为即，又，得，再由椭圆经过点M(1，)，可求出椭圆C的标准方程.（2）设，．设直线方程为,由直线的方程与椭圆方程联立解得点坐标，同理解得点坐标,从而求出直线l的斜