沪科版初中数学2018中考第一轮复习5.1

沪科版初中数学2018中考第一轮复习5.1第一页，共23页。5.1

多边形与平行四边形第二页，共23页。了解多边形的有关概念;掌握多边形的内角和定理和多边形的外角和定理,能够熟练地求出多边形的内角和或外角和;理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性,了解并记住四边形的内角和等于360°;能运用平行四边形的性质和判定求证或解决有关问题.第三页，共23页。第四页，共23页。考点1

多边形及其性质(8年3考)1.多边形的内角和与外角和定理(1)n边形的内角和等于

(n-2)·180°

;

(2)任意多边形的外角和都等于

360°

.

2.多边形的对角线过n(n≥3)边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n边形共有对角线

条.

3.正多边形的性质(1)正多边形的各边相等,各角相等;(3)正n边形有

n

条对称轴,正n边形有一个外接圆,还有一个内切圆,它们是同心圆.

第五页，共23页。典例1

(2017·山东临沂)一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是

(

)A.四边形 B.五边形C.六边形 D.八边形【解析】设这个多边形是n边形,由题意得(n-2)·180°=2×360°,解得n=6.【答案】C【方法指导】

(1)已知多边形的边数,根据内角和公式可以直接求得多边形的内角和.多边形的内角和随边数的变化而变化,且发现多边形的边数每增加一条,则内角和增加180°;而多边形的外角和为定值360°.(2)当已知多边形的内角和外角的关系时,可根据相邻的一对内角和外角互补的关系,设出适当的未知数,列方程解决问题.第六页，共23页。提分训练1.(2017·浙江湖州)已知一个多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是

5

.

【解析】多边形的外角和为360°,每一个外角等于72°,则这是一个正多边形,所以360°÷72°=5,即这个多边形的边数是5.第七页，共23页。考点2

平行四边形的性质和判定(8年4考)1.平行四边形的定义两组对边

分别平行

的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边

相等

.

(2)平行四边形的对角

相等

.

(3)平行四边形的对角线

互相平分

.

(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.3.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边

分别相等

的四边形是平行四边形.

(3)一组对边

平行且相等

的四边形是平行四边形.

(4)两组对角

分别相等

的四边形是平行四边形.

(5)对角线

互相平分

的四边形是平行四边形.

第八页，共23页。一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,反例:等腰梯形;一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形,举例:如图,在等腰三角形ABC的底边上任取一点D,使BD≠CD,连接AD,沿AD剪下△ACD,并如图将其贴至△DAC'处,则∠B=∠C',AB=C'D,显然四边形ABDC'不是平行四边形.第九页，共23页。典例2

(2017·江苏镇江)如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=2,连接BN.若BN平分∠DBC,求CN的长.【解析】(1)分别证明DF∥AC,DB∥EC,根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得结论;(2)由(1)可得BC=DE,再证明∠NBC=∠BNC,可得CN=BC.第十页，共23页。【答案】

(1)∵∠A=∠F,∴DF∥AC.又∵∠1=∠2,∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴DB∥EC.∵DB∥EC,DF∥AC,∴四边形BCED为平行四边形.(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC.∵DB∥EC,∴∠DBN=∠BNC,∴∠NBC=∠BNC,∴BC=CN.∵四边形BCED为平行四边形,∴BC=DE=2,∴CN=2.【方法指导】

在运用平行四边形的性质解决有关的边、角问题时,通常都是把四边形问题转化成三角形问题,通过三角形的边、角关系及平行线的性质等来加以解决.第十一页，共23页。提分训练2.如图,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F,若CD=6,求BF的长.【答案】

∵E是▱ABCD的边AD的中点,∴AE=DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=6,AB∥CD,∴∠F=∠DCE.∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD=6,∴BF=AB+AF=12.第十二页，共23页。1.判断说理问题典例1

如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说明理由.【解析】通过观察图形可猜测线段平行且相等,找线段所在的三角形全等或所在的四边形是平行四边形均可以证明所猜想的结论.如果解题时遇到猜想两条线段的关系问题,无论是否指明,均需要从数量关系和位置关系两方面考虑.【答案】

AF=CE.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠ABC.又∵∠ADF=∠ADC,∠CBE=∠ABC,∴∠ADF=∠CBE.∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE.第十三页，共23页。2.分类讨论问题典例2

在▱ABCD中,一个角的平分线把一条边分成3cm和4cm两部分,求这个平行四边形的周长.【解析】由于题中没有给出图形,所以对角线与对边相交分成的两部分就有两种情况,在画图时不要出现漏解.【答案】

分两种情况:(1)如图1,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,AE=3cm,ED=4cm,∴∠ABE=∠EBC,AD=7cm,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∴∠AEB=∠ABE,∴AB=AE=3cm,∴▱ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(3+7)=20(cm).第十四页，共23页。(2)如图2,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,AE=4cm,ED=3cm,∴AB=AE=4cm,AD=7cm,∴▱ABCD的周长为2(AB+AD)=2×(4+7)=22(cm).综上所述,▱ABCD的周长为20cm或22cm.第十五页，共23页。3.开放性问题典例3

如图,在△ABC中,EF为△ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B,C重合),AD与EF交于点O,连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件

.(只添加一个条件)

【解析】这是一道关于三角形中位线和平行四边形判定定理应用的开放性试题,答案不唯一.因为EF为△ABC的中位线,所以EF∥BC,EF=BC,则可得OA=OD,则由平行四边形的判定条件,要使四边形AEDF为平行四边形,可添加条件OE=OF或BD=CD或DE∥AC或DF∥AB等.【答案】

OE=OF或BD=CD或DE∥AC或DF∥AB等(答案不唯一)第十六页，共23页。命题点1

多边形的性质(常考)1.(2015·安徽第8题)在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则一定有

(D)【解析】设∠ADE=x,∠ADC=y,由题意可得,∠ADE+∠AED+∠A=180°,∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°,即x+60°+∠A=180°

①,3∠A+y=360°

②,由①×3-②可得3x-y=0,所以x=y,即∠ADE=∠ADC.第十七页，共23页。2.(2012·安徽第7题)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域.设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为

(A)A.2a2 B.3a2C.4a2

D.5a2【解析】图案中间的阴影部分是正方形,面积是a2,四周的每一个阴影部分的面积为第十八页，共23页。命题点2

与平行四边形有关的计算(常考)3.(2017·安徽第14题)在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为

40或

cm.

第十九页，共23页。第二十页，共23页。4.(2014·安徽第14题)如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是

①②④

.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.第二十一页，共23页。【解析】∵▱ABCD中AD∥BC,∴∠1=∠3,∵F是AD的中点,且AD=2AB,∴DF=DC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,即∠DCF=∠BCD,故①正确;取BC中点G,连接FG交EC于点H,则FG∥AB,∵CE⊥AB,∴FH⊥EC,且H是EC的中点,∴EF=CF,故②正确;由②可知∠