突破“线段与角(提高)”压轴题50道(含详细解析)

难点突破“线段与角（提高）”压轴题50道（含详细解析）

1.已知点C在线段Afi上，AC=2BC,点。、E在直线45上，点。在点E的左侧.

（1）若AB=18,DE=8,线段。E在线段回上移动.

①如图1,当E为8c中点时，求4）的长；

②前F（异于A,B,C点）在线段他上，AF=3AD,CE+EF=3,求4）的长；

（2）若出m，线段DE在直线A3上移动，且满足关系式处坦=』，则里=.

HE2AB----

ADCE_BACB

图1备用图

2.如图1,己知点C在线段回上，线段AC=10厘米，8c=6厘米，点M,N分别是AC,

BC的中点.

I」」」1I」I

AMCNBACB

图1图2

（1）求线段MN的长度；

（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，求MN的长度;

（3）动点P、。分别从A、8同时出发，点尸以2c机/s的速度沿他向右运动，终点为8,

点。以Icvn/s的速度沿钻向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之

停止运动，求运动多少秒时，C、尸、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中

点？

3.如图，已知NBOC=2/4OC,OD平分ZAOB,且NCO£>=20。，求NAQB的度数.

0A

4.如图，OM是NAOC的平分线，ON是NBOC的平分线.

(1)如图1,当NAO8=90。，N3OC=60。时，NMON的度数是多少？为什么？

(2)如图2,当408=70。，NBOC=60。时，AMON=度.(直接写出结果)

(3)如图3,当NAQB=c,NBOC=小时，猜想：NMON的度数是多少？为什么？

5.如图，直线即与W相交于点O,/M0E=3O。，将一直角三角尺的直角顶点与。重

合，直角边。4与MN重合，08在NNOE内部.操作：将三角尺绕点O以每秒3。的速

度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为f(s).

(1)当f为何值时，直角边OB恰好平分NNOE?此时Q4是否平分NMOE?请说明理由;

(2)若在三角尺转动的同时，直线族也绕点O以每秒9。的速度顺时针方向旋转一周，当

一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动.

①当/为何值时，EF平分NAO8?

②瓦"能否平分NNO3?若能请直接写出f的值；若不能，请说明理由.

6.如图，NAO8=90。，ZBOC=2ZBOD,O£＞平分NAOC,求N8O£＞的度数.

0A

7.如图，线段他，C是线段AB上一点，M是A?的中点，N是AC的中点.

(1)若AB=8C7",AC=3.2cm,求线段MN的长；

(2)若BC=a,试用含。的式子表示线段MN的长.

ANCMB

8.如图，已知NAO8=9()°,NEOF=60。，0E平分NA08,OF平分NBOC,

求ZCOB和ZAOC的度数.

8是NAOC的平分线，求NB8的度数.

10.如图，已知。0平分NAOB,射线。。在NAOD内，NBOC=2NAOC,

NAOB=U4。.求NCO0的度数.

11.点O为直线■上一点，过点O作射线OC,使NBOC=65。，将一直角三角板的直角

顶点放在点。处.

(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线08重合时，则NMOC=；

(2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时比是NMO3的角平分线,

求旋转角NBON和NCON的度数；

(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，ZNOC=-ZAOM,求NNOB的度数.

12.如图，NAOB为直角，NAOC为锐角，且平分N8OC,ON平分NAOC.

(1)如果NAOC=50。，求NMQV的度数.

(2)如果N4OC为任意一个锐角，你能求出NMON的度数吗？若能，请求出来，若不能,

说明为什么？

B

0

13.(1)如图，已知点C在线段m上，S.AC=6an,BC=4c，n,点M、N分别是AC、

BC的中点，求线段MN的长度；

(2)若点C是线段Afi上任意一点，且AC=a,BC=b,点〃、N分别是AC、8c的中

点，请直接写出线段MN的长度：(用。、人的代数式表示)

(3)在(2)中，把点C是线段A3上任意一点改为：点C是直线A5上任意一点，其他条

件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果.

AMCNB

14.已知44。£>=160。，OB、OC、OM、ON是Z4OD内的射线.

(1)如图1,若QW平分NAO8,ON平■分匕BOD.当08绕点。在NAOD内旋转时，求

NMON的大小；

(2)如图2,若ZBOC=20。，OM平分NAOC,ON平分NBOZ).当/题绕点。在44OZ)

内旋转时，求NMON的大小；

(3)在(2)的条件下，若NAO8=10。，当N8OC在NAOD内绕着点。以2度/秒的速度

逆时针旋转f秒时，ZAOM=-ZDON.求f的值.

3

15.已知403=130。，NCQD=80。，OM,ON分别是乙4。8和NCO。的平

分线.

(1)如果。4,OC重合，且。0在NAOB的内部，如图1,求NMQN的度数;

(2)如果将图1中的NCOD绕点。点顺时针旋转“。(0<〃<155),如图2,

①AMON与旋转度数”。有怎样的数量关系？说明理由；

②当”为多少时，NMON为直角?

(3)如果ZAOB的位置和大小不变，NCOD的边0。的位置不变，改变NCOO

的大小；将图1中的。4绕着。点顺时针旋转机。(0<%<100),如图3,ZMON

与旋转度数"有怎样的数量关系？说明理由.

16.已知，O为直线A6上一点，ZDOE=90°.

(1)如图1,若NAOC=130。，(%)平分NAOC.

①求NBOD的度数；

②请通过计算说明OE是否平分ZBOC.

(2)如图2,若NBOE:NAOE=2:7,求NA8的度数.

17.如图①，已知线段他=20a*,点C为AS上的一个动点，点£>,E分别是AC和3c的

中点

②

（1）若点C恰好是/W中点，则上的长是多少？（直接写出结果）

（2）若BC=14cm,求DE的长

（3）试说明不论8C取何值（不超过20a”），DE的长不变

（4）知识迁移：如图②，已知Z4O8=130。，过角的内部任一点C画射线OC,若OD,OE

分别平分NAOC和NBOC，试求出/DOE的大小，并说明NDOE的大小与射线OC的位置

是否有关？

18.【新知理解】

如图①，点C在线段4?上，图中共有三条线段回、AC和8C,若其中有一条线段的长度

是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点

（1）线段的中点—这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）.

（2）若48=1为7,点C是线段的巧点，则AC=cm；

【解决问题】

（3）如图②，已知他=12cm.动点P从点A出发，以2c加/s的速度沿Afi向点6匀速移

动：点。从点8出发，以lan/s的速度沿84向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其

中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为"s）.当/为何值时，4、尸、。三点中其

中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由

I__________II

AC_B

（图①）

B

周②)

19.将一副三角板ABC和三角板BDE(ZACB=NDBE=90°,ZABC=60°)按不同

的位置摆放.

(1)如图1,若边BD、84在同一直线上，则NEBC=

(2)如图2,若NEBC=165°,那么乙®>=；

(3)如图3,若NEBC=12()。，求NABD的度数.

图1

20.下列各小题中，都有OE平分NAOC,OF平分NBOC.

(1)如图①，若点A、O、5在一条直线上，NEOF=；

(2)如图②，若点A、。、8不在一条直线上，ZAOB=140°,则

(3)由以上两个问题发现：当NAOC在4OC的外部时，NEC4与NAO8的数量关系是

AEOF=:

(4)如图③，若。4在NBOC的内部，NAOB和NEOP还存在上述的数量关系吗；请简单

说明理由；

21.已知C为线段的中点，E为线段回上的点，点。为线段他的中点.

(1)若线段Aa，CE=b,|a—15|+(b-4.5)2=0,求“，。的值；

।」」11I1「「A

ADCEBADCEB

图1图2

(2)如图1,在(1)的条件下，求线段QE的长；

(3)如图2,若AB=15,AD=2BE,求线段CE的长.

22.阅读解答过程，回答问题：

如图，OC在NAO8内，NAO3和NCO£)都是直角，且NBOC=30。，求NAO。的度数.

解：过O作射线OM,使点M,O,4在同一直线上，因为NMO£>+N38=90。，

ZBOC+NBOD=90°,所以NBO=C,所以

N40=8>0°-MA&幻=0.

(1)如果NBOC=60。，那么NAO£)等于多少度？如果NBOC=〃。，那么NAOD等于多少

度？

(2)如果NAO8=NDOC=_x°,ZAOD=y0,求NBOC的度数.

23.已知将一副三角板(直角三角板OAB和直角板08,ZAOB=90°,

ZABO=45°,ZCDO=90°,ZCOD=30°)

(1)如图1摆放，点。、4、。在一条直线上，480。的度数是；

(2)如图2,变化摆放位置将直角三角板C8绕点。逆时针方向转动，若要08

恰好平分ZCOD,则NAOC的度数是；

(3)如图3,当三角板OCD摆放在乙4。3内部时，作射线0M平分N40C.射

线0N平分N30D,如果三角板。CD在NAOB内绕点。任意转动，NM0N的

度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由.

24.已知NA08是一个直角，作射线0C,再分别作乙40C和NBOC的平分线。。、

0E.

(1)如图①，当N3OC=70。时，求N。。七的度数；

(2)如图②，当射线0C在NAQB内绕。点旋转时，NDQE的大小是否发生变

化.若变化，说明理由；若不变，求/。0E的度数；

(3)如图③，当射线0C在NAOB外绕。点旋转时，画出图形，判断/DOE的

大小是否发生变化.若变化，说明理由；若不变，求NOOE的度数.

25.已知Z4O£>=40。，射线OC从8出发，绕点O以20。/秒的速度逆时针旋转，旋转时

间为f秒&,7).射线OE、O尸分别平分NAOC、ZAOD.

(1)如图①，如果f=4秒，求NEO4的度数；

(2)如图①，若射线OC旋转时间为f秒，求NEOF的度数(用含，的代数式表示)；

(3)射线OC从出发时，射线OB也同时从。4出发，绕点O以10。/秒的速度逆时针旋

转，射线OC、OB在旋转过程中(f,,7),若NBODJZEOB,请你借助图②和备用图进行

2

分析后，直接写出幺竺的值.

%

0O

图①图②售用图

26.如图①，已知线段AB=20c，〃，CD=2cm,线段8在线段至上运动，E、尸分别是

AC、的中点.

(1)若4c=4cm,则£F=cm.

(2)当线段8在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF

的长度，如果变化，请说明理由.

(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知NC8在Z4O3内部转动，OE、OF

分别平分NAOC和NBOD,则NEO、NAO8和NC8有何关系，请直接写出.

27.点O是直线AB上一点，Z,COD是直角，OE平分ZBOC.

(1)①如图1,若NDOE=25。，求NAOC的度数；

②如图2,若NDOE=a,直接写出NAOC的度数(用含c的式子表示)；

(2)将图1中的NCOD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置.探究NDOE与

ZAOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.

28.如图，C是线段他上一点，AB=20cm,BC=8cm,点P从A出发，以2c〃?/s的速

度沿向右运动，终点为8;点。从点3出发，以Is?/s的速度沿84向左运动，终点为

A.已知P、。同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功.设点尸运动

时间为XS.

(1)AC=cm；

(2)当刀=s时，P、。重合；

(3)是否存在某一时刻，使得C、尸、。这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的

中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由.

।1____________I

ACB

29.已知根，〃满足算式(，/-6)2+|〃一2|=0.

(1)求"的值；

(2)已知线段=在直线他上取一点尸，恰好使=点。为RB的中点，求

线段A。的长.

30.探究题：如图①，已知线段43=1士力，点C为45上的一个动点，点。、E分别是AC

和8C的中点.

I____I_______I__________I___________I

ADCEB

①

②

(1)若点C恰好是AB中点，则DE=cm；

(2)若AC=4cm,求AE的长；

(3)试利用“字母代替数”的方法，设AC=ac机请说明不论a取何值(“不超过14。〃)，

DE的长不变；

⑷知识迁移：如图②，已知NAOB=120。，过角的内部任一点C画射线OC,若OD、OE

分别平分NAOC和ZBOC,试说明NDOE=60。与射线OC的位置无关.

31.如图，点C在线段43上，AC^Scm,CB=6an,点、M、N分别是AC、BC

的中点.

(1)求线段MN的长；

(2)若C为线段A3上任一点，满足AC+CB=acm,其它条件不变，你能猜

想的长度吗？并说明理由；

(3)若C在线段A8的延长线上，且满足AC-BC=bcm,M、N分别为AC、

3c的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；

・1■1・

AMCNB

32.已知O为直线至上一点，ZEOF为直角,OC平■令ZBOE.

(1)如图1,若NAOE=45。，求NCOF的度数；

(2)若NEO尸的位置如图2所示，8平分NAOC,且448=75。，求NCO的度数.

33.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观

察下面的图形和表格，并回答下列问题:

多边形的顶45678.......n

点数

从一个顶点12345.......①

出发的对角

线的条数

多边形对角2591420.......②

线的总条数

(1)观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含〃的代数式将上面的表格填写完整,

其中①;②;

(2)实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学.同学们约定，大年初一时不同

组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电

话多少个？

(3)类比归纳乐乐认为(1)、(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？

请用语言描述你的发现.

34.如图，NAOB=20。，NAOE=110。，08平分Z4OC,平分NAOE.

(1)求NC8的度数；

(2)若以点O为观察中心，Q4为正东方向，求射线8的方位角；

(3)若NAQE的两边OA,OE分别以每秒5。和每秒3。的速度，同时绕点O按逆时针方向

旋转，当。4回到原处时，OA,OE停止运动，则经过多少秒时，ZAOE=30°?

(1)如图1,ZAOB=90°,ZBOC=40°,平分NAOC,ON平分NBOC.

①请在图1中补全图形；

②求NMON的度数.

(2)如图2,ZAOB=a,N8OC=£(a>90。且a+尸<180。)，仍然作NAOC的平分线,

NBOC的平分线QV,则NA7QV=.

36.如图，延长线段他到点尸，延长线84到点£,点/、N分别是线段AE、3厂的中

点，若跖=1:2:3,且砂=1&搐，求线段MZV的长.

11111,J

EMABNF

37.如图，点C为线段43的中点，点E为线段45上的点，点£＞为线段短的中点.

(1)若线段AB=a,CE=b,且|a-151+(b-4.5)2=0,求a,Z?的值.

(2)在(1)的条件下，求线段CZ5的长.

,1a[I

ADCEB

38.如图，已知线段A5上有两点C、D,且AC=8。，M,N分别是线段AC,4)的

中点，^AB=aan,AC=BD=bcm,且。、8满足(a-10)2+|《-4|=0.

(1)求a、h的值；

(2)求线段MN的长度.

1111JI

A,VDMCB

39.已知44OB内部有三条射线，其中OE平分N3OC,O尸平分NAOC.

(1)如图1,若Z4OB=90。，ZAOC=30°,求比4的度数；

(2)如图2,若ZAOB=a,求NEOF的度数(用含a的式子表示)；

(3)若将题中的“OE平分N8OC,O尸平分NAOC”的条件改为“NEOB=、NBOC，

3

ZCOF=-ZAOC",且N4O8=a,求NEOF的度数(用含a的式子表示)

3

40.如图，B是线段A。上一动点，沿A-〃以2m/s的速度运动，C是线段的中点，

AD=10cm,设点5运动时间为r秒.

(1)当f=2时，①AB=cm.②求线段8的长度.

(2)在运动过程中，若"的中点为E,则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若

发生变化，请说明理由.

ABD

41.观察下图，回答下列问题：

（1）在图①中有几个角？

（2）在图②中有几个角？

（3）在图③中有几个角？

（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有"条射线，此时共有多少个角？

B

0A9。

DB

\\

图①图②图③图④

42.已知：NAOE)=160°,OB、(IC、OM、ON是NA8内的射线.

(1)如图1,若QW平分NAO8,ON平济NBOD.当08绕点。在NAOD内旋转时，求

NMON的大小；

。A

图1

（2）如图2,若N3OC=20。，平分ZAOC,ON平分ZBOD.当ZJSU绕点O在ZAOD

内旋转时求AMON的大小；

0A

图2

（3）在（2）的条件下，若以NAO3=10。为起始位置，当ZBOC在NA8内绕着点O以2。/

秒的速度逆时针旋转，秒时，ZAOM-.ZDON=2:3,求f的值.

43.已知如图1,OE平分NAOC,OF平分ZBOC.

(1)如果NAOB=70。，ZBOC=30°,那么NEO尸是多少度？

(2)如果NAO8=a,ZBOC=/3,那么NEO尸是多少度？

(3)通过(1)、(2)的计算，你发现了什么？

(4)拓展：

如图2,已知点E是AC的中点，点。是BC的中点，试判断线段DE与线段Afi的数量关系,

并说明理由.

44.如图，点C在线段4?上，AC=6cm,MB=\0cm,点M、N分别为AC、BC的中

点.

(1)求线段BC、MN的长；

(2)若C在线段AB的延长线上，且满足AC-8C=6c〃z,M、N分别是线段AC、8c的

中点，求MN的长度.

ANB

45.已知NAO3=90。，NBOC是锐角，ON平分NBOC,OM平分ZAOB.

(1)如图1若NBOC=30。，求NMON的度数？

(2)若射线OC绕着点O运动到NAO3的内部(如图2),在(1)的条件下求NMON的度

数；

(3)若4O8=a(90°,,a<18(F),N8OC=力(0。</?<90。)，请用含有a,/?的式子直接

表示上述两种情况NMON的度数.

46.已知408=100。，ZCOD=40°.OE平分NAOC,OF平分NBOD.

(1)如图1,当OB,OC重合时，求NEOF的度数；

(2)如图2,当从图1所示位置绕点O顺时针旋转〃。(0<“<90)时，ZAOE-ABOF

的值是否为定值？若是定值，求出Z4OE-N3O尸的值；若不是，请说明理由.

47.已知：O为直线至上的一点，OC_LOE于点O,射线OF平分NAOE.

(1)如图1,若NBOE=70。，则NCOF的度数是.

(2)如果将NCOE绕点。旋转至图2的位置，请探究NCO尸和4OE之间的数量关系？

请你说明理由.

(3)如果将NCOE绕点。旋转至图3的位置，请你继续探究NCOF和N3OE之间的数量

关系并说明理由.

南南南

图1图2图3

48.如图，以NAO8的顶点O为端点画一条射线OC,OM,QV分别是Z4OC和N8OC的

角平分线.

(1)如图①，若NAOC=50。，N3OC=30。，则ZMON的度数是；

(2)如图②，若ZAQB=100。，ZBOC=30°,则NMON的度数是；

(3)根据以上解答过程，完成下列探究：

探究一：如图③，当射线OC位于Z4OB内部时，请写出NAO8与NMON的数量关系，并

证明你的结论；

探究二：如图④，当射线OC位于NAO8外部时，请写出NAO8与NMON的数量关系，并

证明你的结论.

49.已知：如图，点A、8分别是NMON的边、ON上两点，OC平■分乙MON，在4SV

的内部取一点P(点A、P、8三点不在同一直线上)，连接R4、PB.

(1)探索NAP3与NMON、ZPAO.NP8O之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)设NOAP=x°,ZOBP=y°,若Z4P3的平分线PQ交OC于点Q,求NOQP的度数

(用含有x、y的代数式表示).

50.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2的两个角的射线，叫做这个角的三分线,

显然，一个角的三分线有两条，例如：如图1,若/3OC=2NAOC,则OC是NAO3的

一条三分线.

(1)已知:如图1,OC是NAO8的一条三分线，且N8OC>NAOC,若NAO3=60。，求N他

的度数.

(2)已知：ZAOB=90°,如图2,若OC,8是NAO3的两条三分线.

①求NC8的度数.

②现以O为中心，将NC8顺时针旋转〃度得到NCO。，当OA恰好是NCOZ7的三分线

图2

难点突破“线段与角（提高）”压轴题50道（含详细解析）

参考答案与试题解析

1.已知点C在线段上，AC=2BC,点。、£在直线他上，点。在点E的左侧.

（1）若AB=18,DE=8,线段。E在线段回上移动.

①如图1,当E为8c中点时，求AD的长；

②点尸（异于A,B,C点）在线段至上，AF=3AD,CE+EF=3,求4）的长；

（2）若图=2E，线段OE在直线A3上移动，且满足关系式坐坐=3,则空=—

BE2AB_42

或u.

-6—

DCE_BACB

图1备用图

【解答】解：（1）AC=2BC,A8=18,DE=8,

:.BC=6,AC=12,

①如图，

ADCEB

E为BC中点,

..CE=3,

:.CD=5,

AD=AB-DB=18-11=1；

②如图，

_EF

ADC''B

I、当点E在点尸的左侧，

CE+EF=3,BC=6,

点尸是BC的中点,

:.CF=BF=3,

.\AF=AB-BF^\S-3=i5,

AD=-AF=5:

3

n、当点E在点尸的右侧,

DECB

AC=12fCE+EF=CF=3,

:.AF=AC-CF=9,

:.AF=3AD=9,

AD=3.

综上所述：A£）的长为3或5；

(2)AC=2BC,AB=2DE,满足关系式，"+衣=」,

BE2

I＞当点E在点C右侧时，如图,

DCEB

设CE=x>DC=y,

则。E=x+y,

/.AB=2(x+y)

24

AC=-AB=-(x+y)

41

AD=AC-DC=-x+-y

33

12

BC=—AB=—(x+y)

:.BE=BC-CE=-y--x

33

71

:.AD+EC=-x+-y

33

2(AD+EC)=3BE

~71、“21、

2(-x+-y)=3(-y--x)

解得，17x=4y,

.CDyy^17

"AB-2(x+y)-z4上、-42

'〃2O(—y+y)

II、当点E在点A左侧时，如图，

~DEAB

设CE=x,DC=y,

则。E=y—x,

/.AB=2(y-x)

AC=|AB=*_X)

41

:.AD=DC-AC=-x——y

33

BC=^AB=^y-x)

:.BE=BC+CE=-y+-x

3'3

71

:.AD+EC=-x——y

33-

2(AD+EC)=3BE

c/71、〜21、

解得，llx=8y,

,CD二yJ

…AB2(y-x)6'

故答案为竺或u.

426

2.如图1,已知点C在线段4?上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC,

BC的中点.

I1」」1I1I

AMCNBACB

图1图2

(1)求线段MN的长度；

(2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC+3C=a,其他条件不变，求MN的长度;

(3)动点P、Q分别从A、3同时出发，点P以为%/s的速度沿回向右运动，终点为8,

点。以lan/s的速度沿向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之

停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中

点？

【解答】解：(1)线段AC=10厘米，8c=6厘米，点M,N分别是AC,BC的中点,

.■.CM」AC=5厘米，CN」8c=3厘米，

22

二=CM+C7V=8厘米；

(2)点、M,N分别是AC,BC的中点，

:.CM=-AC,CN=-BC,

22

:.MN=CM+CN=-AC+-BC=-a

222

(3)①当0<1,,5时，C是线段PQ的中点，得

10-2t=6-t,解得r=4；

②当5<f,,印寸，P为线段C。的中点，210=16-3/,解得r=g；

③当当<f,,6时，。为线段PC的中点，6-t=3f-16,解得f=g；

④当6<f,,8时，C为线段PQ的中点，2/-10=/-6,解得r=4(舍)，

综上所述：『=4或竺或口.

52

OD平分ZAOB,且NC8=20。，求NAOB的度数.

【解答】解：设ZAOC=x,则N3OC=2x.

ZAOB=3x.

又。。平分NAO5,

...ZAOD=\.5x.

...4coD=ZAOD-ZAOC=1.5x-x=20°.

:.x=40°

.•.ZAOfi=120°.

4.如图，是NAOC的平分线，ON是NBOC的平分线.

(1)如图1,当NAOB=90。，N8OC=60。时，NMON的度数是多少？为什么？

(2)如图2,当NAOB=70。，NBOC=60。时，AMON=35度.(直接写出结果)

(3)如图3,当NAO3=0,N80C=/时，猜想：NMON的度数是多少？为什么？

【解答】解：⑴如图1,ZAOB=90°,ZBOC=60°,

/.ZAOC=ZAO3+NBOC=900+60°=150°,

OM是NAOC的平分线，ON是N8OC的平分线,

/MOC」ZAOC=75°,

2

Z2VOC=-ZBOC=30°,

2

/.ZMON=ZMOC-ZNOC=75°-30°=45°；

(2)如图2,ZAO3=70。，ZBOC=60。，

/.ZAOC=70°+60°=130°,

OM平分NAOC,ON平分N8OC,

NMOC=-ZAOC=65°,NNOC=-ZBOC=30°,

22

/.ZMON=ZMOC-ZNOC=65°-30°=35°.

故答案为：35.

(3)如图3,ZAOB=a,ZBOC=p,

ZAOC=ZAOB+ZBOC=a+j3,

OM是NAOC的平分线，ON是/BOC的平分线,

ZMOC=ZAOC=1(a+y3),

5.如图，直线£F与MN相交于点O,NMOE=30。，将一直角三角尺的直角顶点与O重

合，直角边与mV重合，08在NNOE内部.操作：将三角尺绕点O以每秒3。的速

度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为f(s).

(1)当f为何值时，直角边03恰好平分NNOE?此时。4是否平分/MOE?请说明理由;

(2)若在三角尺转动的同时，直线所也绕点O以每秒9。的速度顺时针方向旋转一周，当

一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动.

①当/为何值时，£F平分NAO3?

②所能否平分NMM?若能请宜接写出f的值；若不能，请说明理由.

【解答】解：(1)当直角边。8恰好平分NNOE时，ZNOB=-ZNOE=-(180°-30°)=75°.

22

...90°一3°『=75°,

解得：r=5.

此时NMOA=3°*5=15°=，NMOE,

2

,此时Q4平分NMOE.

(2)①OE平分Z4O8,

依题意有30。+9。/—3。7=900+2,

解得t=2.5；

OF平分ZAOB,

依题意有30°+9°/-3°f=180°+90°+2,

解得1=32.5.

故当r为2.5s或32.5s时，所平分NAO5

②08在MN上面，

依题意有180。-30。-9°r=(90°-3。。+2,

解得7=14；

03在MN下面，

依题意有为一(360。-30°)=(3°/-90°)+2,

解得f=38.

故所能平分NNO3,f的值为14或38s.

6.如图，NAOe=90。，ZBOC=2ZBOD,平分NAOC,求N3O。的度数.

【解答】解：ZBOC=24BOD,

・•.ZCOD=ZBOC+ZBOD=3ZBOD，

OD平分NAOC,

ZAOD=ZCOD=3ZBOD，

/.ZAOB=ZAOD+ZBOD=4ZBOD，

ZAOB=90°,

.•.448=90。，

/./BOD=225。.

7.如图，线段AB,C是线段43上一点，M是的中点，N是AC的中点.

(1)若AB=8。%,AC=3,2cm,求线段MN的长；

(2)若8C=a,试用含。的式子表示线段VN的长.

ANCMB

【解答】解：(1)因为=M是A3的中点，

所以AA/」A8=45i,

2

又因为AC=3.2初，N是AC的中点，

所以AN——AC=1.6cm,

2

所以MN=AM—AN=4—1.6=2.4cm；

(2)因为M是AB的中点，

所以AM=1A〃，

2

因为N是AC的中点，

所以4V=1AC,

2

:.MN=AM-AN=-AB--AC=-(AB-AC)=-BC=-a.

22222

8.如图，已知NAO8=90°,N£C4=60。，OE平分NAQB,OF平分NBOC,

求/COB和NAOC的度数.

【解答】解：ZAOB=90°,OE平分ZAO8

；.ZBOE=45。

又NEOF=60。

.-.ZFOB=60°-45°=15°

OF平分NBOC

"08=2x15°=30°

ZAOC=ZBOC+ZAOB=30°+90°=l20°

9.如图，ZAOB=35°,ZBOC=90°,O£）是NAOC的平分线，求N8O£）的度数.

【解答】解：ZAQ3=35。，ZBOC=90°,

ZAOC=35。+90°=125°.

8是NAOC的平分线，

ZAOD=-ZAOC=62.5°,

2

/.ZBOD=ZAOD-ZAOB=62.5°-35°=27.5°.

10.如图，已知0。平分NAOB,射线OC在NA8内，ZBOC=2ZAOC,

ZAOB=l\4°.求NCOO的度数.

【解答】解：OQ平分NAOB,4408=114。,

ZAOD=NBOD=-ZAOB=57°.

ZBOC=2ZAOC,ZAOB=114°,

・・.NAOC=—NAO8=380.

3

・..ZCOD=ZAOD-ZAOC=57°-38°=19°.

11.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使N8OC=65。，将一直角三角板的直角

顶点放在点O处.

(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线05重合时，则NMOC=_25。—；

(2)如图②，将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时OC是NMO8的角平分线，

求旋转角NBQV和4cON的度数；

(3)将三角板A/QV绕点O逆时针旋转至图③时，/NOC=LzAOM,求NNO3的度数.

【解答】解：(1)ZMON=90。，ZBOC=65°,

:.ZMOC=AMON一/BOC=90。-65。=25。.

故答案为：25°.

(2)ZBOC=65°,OC是NMO3的角平分线,

・•.ZMOB=2ZBOC=130°.

ZBON=ZMOB-AMON

=130°-90°

=40°.

ZCON=ZCOB-ZBON

=65°-40°

=25°.

(3)NNOC='/AOM,

4

/.ZAOM=4ZNOC.

400=65°,

・tZAOC=ZAOB-ZBOC

=180°-65°

=115°.

ZMON=90°,

/.ZAOM+ZNOC=ZAOC-ZMON

=115°-90°

=25°.

/.4NNOC+ZNOC=25°.

:.ZNOC=5°-

/.ZNOB=ZNOC+ZBOC=70°.

12.如图，ZAOB为直角,ZAOC为锐角，且OM平分NBOC,ON平分NAOC.

(1)如果NAOC=50。，求NMQV的度数.

(2)如果Z4OC为任意一个锐角，你能求出NMON的度数吗？若能，请求出来，若不能,

说明为什么？

【解答】解：(1)因为OM平分NBOC,QV平分N4OC

所以NMOC」N8OC,/NOC=L/AOC

22

所以4MON=NMOC-ZNOC=g(NBOC-ZAOC)

=1(90°+50°-50°)

=45°.

(2)同理，AMON=ZMOC-ZNOC=(ZBOC-ZAOC)

=1(ZBOA+ZAOC-ZAOC)

=-ZBOA

2

=45°.

13.(1)如图，已知点C在线段AB上，且4c=6。〃，8C=4cM，点M、N分别是AC、

3c的中点，求线段MN的长度；

（2）若点C是线