二阶线性偏微分方程的分类

二阶线性偏微分方程的分类第1页，共37页，2023年，2月20日，星期日10.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中是未知多元函数，而

是未知变量；

为的偏导数.有时为了书第2页，共37页，2023年，2月20日，星期日写方便，通常记(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．第3页，共37页，2023年，2月20日，星期日(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．第4页，共37页，2023年，2月20日，星期日例如：方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程的通解为其中是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数指定为特殊的，则得到的解第5页，共37页，2023年，2月20日，星期日称为方程的特解．

n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数．10.2数学物理方程的分类第6页，共37页，2023年，2月20日，星期日

在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中为常数，且设第7页，共37页，2023年，2月20日，星期日则当

时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.

下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为第8页，共37页，2023年，2月20日，星期日（10.2.1）其中为的已知函数．

定理10.2.1如果是方程(10.2.2)的一般积分，则是方程第9页，共37页，2023年，2月20日，星期日(10.2.3)的一个特解．在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式1.当判别式以求得两个实函数解

时，从方程(10.2.10)可第10页，共37页，2023年，2月20日，星期日也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令即可使得．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定．所以，方程(10.2.6)即为(10.2.4)第11页，共37页，2023年，2月20日，星期日或者进一步作变换于是有所以第12页，共37页，2023年，2月20日，星期日又可以进一步将方程(10.2.11)化为

这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此类型．2．当判别式时：这时方程(10.2.10)一定有重根第13页，共37页，2023年，2月20日，星期日因而只能求得一个解，例如，，特征线为

一条实特征线．作变换就可以使由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出．这样就可以任意选取另一个变换，只要它和彼此独立，即雅可俾式第14页，共37页，2023年，2月20日，星期日即可．这样，方程(10.2.6)就化为

此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．第15页，共37页，2023年，2月20日，星期日3.当判别式面的讨论，只不过得到的时：这时，可以重复上和是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族．于是是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量第16页，共37页，2023年，2月20日，星期日于是所以

方程(10.2.11)又可以进一步化为第17页，共37页，2023年，2月20日，星期日

这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都属于这种类型．

综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式

即可.

第18页，共37页，2023年，2月20日，星期日10.3二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为，则二阶线性偏微分方程分为三类：第19页，共37页，2023年，2月20日，星期日时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程因为双曲型方程对应的判别式所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，第20页，共37页，2023年，2月20日，星期日设特征方程的解为令(10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式第21页，共37页，2023年，2月20日，星期日(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量代换，令或则偏微分方程又变为第22页，共37页，2023年，2月20日，星期日(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如与是两个不同的函数。

2．抛物型偏微分方程第23页，共37页，2023年，2月20日，星期日因为抛物型偏微分方程的判别式线是一族实函数曲线．，所以特征曲其特征方程的解为(10.3.5)因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)第24页，共37页，2023年，2月20日，星期日上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是一组共轭复变函数族．其特征方程的解为(10.3.7)若令第25页，共37页，2023年，2月20日，星期日(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．第26页，共37页，2023年，2月20日，星期日10.4二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简

如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型

对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简第27页，共37页，2023年，2月20日，星期日注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们不妨令大写字母代表某函数区别开来,例如．为了化简，从而有(10.4.2)第28页，共37页，2023年，2月20日，星期日其中

由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简(10.4.3)式中均为常系数．若令第29页，共37页，2023年，2月20日，星期日

则有(10.4.4)(10.4.5)其中第30页，共37页，2023年，2月20日，星期日对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）

（10.4.6）还可以进一步化简．上式中小写字母均为常系数．为了化简，不妨令从而有(10.4.7)2.抛物型第31页，共37页，2023年，2月20日，星期日3.椭圆型对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)(10.4.8)还可以进一步进行化简．上式中小写字母的为常系数．第32页，共37页，2023年，2月20日，星期日为了化简，不妨令从而有(10.4.9)其中第33页，共37页，2023年，2月20日，星期日

含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：其中L是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数．线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5线性偏微分方程解的特征第34页，共37页，2023年，2月20日，星期日其中均为常数．进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为方程的解时，则也为方程的解；(1).当为方程的解，则也是方程的解；(2)若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：第35页，共37页，2023年，2月20日，星期日为非齐次方程的特解，为齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解；(1)若(2)