专题六：导数与函数高考大题类型(自己总结)

专题六：导数与函数高考大题类型(自己总结)导数高考大题（教师版）类型一：对单调区间的分类讨论1、已知函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）的定义域是，.…………2分（1）当时，成立，的单调增区间为；……3分（2）当时，令，得，则的单调增区间是.…………4分令,得，则的单调减区间是.…………5分综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间是，的单调增区间是.………6分（Ⅱ）当时，成立，.………………7分当时，成立，即时，成立.设，所以=.（2）当时. 当变化时，的变化情况如下：-+极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是.…………8分（II）由得，…………9分由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立. …………11分令，在上，所以在为减函数.,所以.类型三：零点个数问题3、已知函数（，为常数），且为的一个极值点．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数的单调区间；(Ⅲ)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为（0，+∞）……1分∵f′(x)=……2分∴，则a=1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∴f′(x)=………6分由f′(x)>0可得x>2或x<1，由f′(x)<0可得1<x<2．∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(1,2)．………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x=1或x=2时，f′(x)=0．………10分∴f(x)的极大值为………11分f(x)的极小值为……12分由题意可知则………14分类型四：一般的恒成立问题4．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立.………1分令，则，……2分在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.……4分(Ⅱ)当，，由得.………6分①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值..由于因此，………8分②当，，因此上单调递增，…类型五：用构造法证明不等式问题5、 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （I）求，的值； （II）证明：当，且时，． （Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 考虑函数，则所以当时，故当当时，从而当类型六：最值问题6、设函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.解：（Ⅰ）由已知，所以，……………2分由，得，……………3分所以，在区间上，，函数在区间上单调递减；……………4分在区间上，，函数在区间上单调递增；……………5分即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.……………7分切线与轴的交点为，与轴的交点为，……………9分因为，所以，……………10分，……………12分在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，所以，的最大值为.近三年新课标导数高考试题[2011]1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B（A）(B)（C）(D)2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C（A）（B）4（C）（D）63、(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于D

（A）2(B)4(C)6(D)84、（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。（21）解：（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,故(x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0][2012]5、（12）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为B（A）1-ln2（B）（C）1+ln2（D）6、（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）满足（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若求（a+1）b的最大值。【解析】（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得=1\*GB3①当时，在上单调递增时，与矛盾=2\*GB3②当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为【2013年】7、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由图像关于直线=－2对称，则0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===当∈(－∞,)∪(－2,)时，＞0，当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.8、（21）（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2时,，求k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.【解析】（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设函数==（），==，有题设可得≥0