2021-2022学年江苏省南京市白蒲中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年江苏省南京市白蒲中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像大致是

（

）参考答案：A2.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（?UB）（）A．?B．{5}C．{3}D．{3，5}参考答案：D考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先由补集的定义求出?UB，再利用交集的定义求A∩?UB．解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴?UB═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩?UB={3，5}，故选D．点评：本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．3.一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，置于一密闭容器搅拌均匀，从中任取一个，则取到两面涂红色的小正方体的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】切割后共计43=64个正方体，两面红色的正方体数为棱数的2倍，有24个，由此能求出从中任取一个，则取到两面涂红色的小正方体的概率．【解答】解：一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，切割后共计43=64个正方体原来的正方体有8个角，12条棱，6个面所以三面红色的正方体数等于角数，有8个，两面红色的正方体数为棱数的2倍，有12×2=24个，∴从中任取一个，则取到两面涂红色的小正方体的概率为：p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4.已知函数<<,则（

）A.恒为负

B.等于零

C.恒为正

D.不大于零

参考答案：C5.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略6.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答： 解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键．8.点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（

）A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线参考答案：D略9.若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A，B，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．【解答】解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，={x|0＜x≤2}故A∩B={x|0＜x≤1}，故选B10.设函数，则函数是A.最小正周期为的奇函数

B.最小正周期为的偶函数

C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将直线绕原点顺时针旋转，再向左平移１个单位，所得到的直线的方程为_________．

参考答案：解：直线绕原点顺时针旋转的直线为，再将向左平移１个单位得，即．12.已知数列的前项和为，，且当，时，，若，则参考答案：略13.已知实数对满足，则的最小值是

．参考答案：

314.已知数列的前n项和=n2+n，则a3+a4＝

.参考答案：15.平面平面，过平面、外一点P引直线PAB分别交、于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交、于C、D两点，已知BD=12，则AC的长等于

。参考答案：16.若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=

．参考答案：【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．【点评】本题考查指数函数综合应用，对a分a＞1与0＜a＜1讨论是关键，着重考查分类讨论思想的应用，属于中档题．17.（几何证明选讲）如图，半径为2的⊙D中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙D于点E，则线段DE的长为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=，若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值．参考答案：【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．【解答】解：f（x）＞k?kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，即k=﹣．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据不等式的解集和方程的根之间的关系是解决本题的关键．19.已知（其中是自然对数的底数）.（Ⅰ）若，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）若数列满足，且，证明：（ⅰ）数列的各项为正且单调递减；（ⅱ）.参考答案：（Ⅰ）.在上，，单调递增；在上，，单调递减；∴.∴.………4分（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明.当时，，结论成立；若时结论成立，即.令，则，在上，递增.而，∴在上，∴.于是，由,即，时结论成立.由数学归纳原理，.又由（Ⅰ）知时，.∴,数列单调递减.……9分（ⅱ）我们先证明.①.②令，则，在上，，递增.而，∴在上，.故②成立，从而①成立.由于，所以.………………14分略20.（2016秋?桓台县校级期末）已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），等差数列{bn}的公差也为q，且a1+2a2=3a3．（Ι）求q的值；（II）若数列{bn}的首项为2，其前n项和为Tn，当n≥2时，试比较bn与Tn的大小．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到q值；（Ⅱ）分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案．【解答】解：（Ι）由已知可得a1+2a1q=3a1q2．∵{an}是等比数列，∴a1≠0，则3q2﹣2q﹣1=0．解得：q=1或q=．∵q≠1，∴q=；（II）由（Ι）知等差数列{bn}的公差为，∴，，，当n＞14时，；当n=14时，Tn=bn；当2≤n＜14时，Tn＞bn．综上，当2≤n＜14时，Tn＞bn；当n=14时，Tn=bn；当n＞14时，Tn＜bn．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前n项和，训练了作差法两个函数值的大小，是中档题．21.（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50)，得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40)的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）

喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男14418女81422合计221840

根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+d

P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：0.02×5×280=28，28，所以前三组抽取的人数分别为，2，8

3分（II）由上可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其概率分别为

7分所以，

9分（Ⅲ）假设：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得的观测值，

11分查表得，从而能有的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系

12分

【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查数学期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；（Ⅱ）求侧面积S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）列出梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），求解体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函数求解即可．（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解导数得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根据导数与单调性的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=