高考数学专题数列超经典

-.z..高考复习序列-----高中数学数列一、数列的通项公式与前n项的和的关系①〔注：该公式对任意数列都适用〕②〔注：该公式对任意数列都适用〕③〔注：该公式对任意数列都适用〕=4\*GB3④sn+1-sn-1=二、等差与等比数列的根本知识1、等差数列通项公式与公差：定义式：一般式：推广形式：；；=2\*GB2⑵前项和与通项的关系：前n项和公式：.前n项和公式的一般式：应用：假设，即可判断为*个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。与的关系：〔注：该公式对任意数列都适用〕例：等差数列，〔直接利用通项公式作差求解〕⑶常用性质：①假设m+n=p+q，则有；特别地：假设的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列〞〔如，〕仍是等差数列；③为公差为d等差数列，为其前n项和，则，，．．．也成等差数列,构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)-Sm；对于任意Sm，Sn，等差数列公差，即也构成一个公差为等差数列。=6\*GB3⑥假设项数为偶数，设共有项，则①偶奇；②；=7\*GB3⑦假设项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。例：等差数列，其中解析：法一，用等差数列求和公式求出法二，，成等差数列，设公差为D，则：法三,63.等比数列的通项公式：⑴①一般形式：；②推广形式：，③其前n项的和公式为：，或.⑵⑶常用性质：假设m+n=p+q，则有；特别地：假设的等比中项，则有n、m、p成等比数列;等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列〞〔如，〕仍是等比数列；③为等比数列，为其前n项和，则，，．．．也成等比数列〔仅当当或者且不是偶数时候成立〕；设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．=4\*GB3④为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.=5\*GB3⑤既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③一般通项公式法：是等差数列=4\*GB3④一般前项和公式法：是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：〔1〕定义法：为等比数列；〔2〕中项法：为等比数列；〔3〕通项公式法：为等比数列；〔4〕前项和法：为等比数列。为等比数列。数列最值的求解〔1〕，时，有最大值；，时，有最小值；〔2〕最值的求法：①假设，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法〔〕；②或者求出中的正、负分界项，即：假设，则最值时的值〔〕可如下确定或。例1：等差数列中，，则前项的和最大。【解析】：例2．设等差数列的前项和为，=1\*GB3①求出公差的*围，=2\*GB3②指出中哪一个值最大，并说明理由。【解析】：=1\*GB3①=2\*GB3②由，可知，n=12是前n项和正负分界项，故所以，最大变式：假设等差数列的首项为为31，从第16项开场小于1，则此数列公差d的取值*围是解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。3、假设数列的前n项和，则，数值最小项是第项。【解析】：法一〔导数法〕：根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列，令,取得最小值，其中，可见当n=3时取得最小。法二〔列举法〕：对于可用列举法，分别求出n=1、2…时的的值，再进展比较发现。4、数列，【解析】：法一〔均值不等式〕：由累加法：，令法二〔列举法〕：实在没招时使用该法。5、等差数列的前n项和。【解析】：6、数列通项公式的求法：类型1：等差数列型思路：把原递推式转化为，再使用累加法〔逐差相加法〕求解。例，数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为变式：数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为评注：此题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。类型2：等比数列型把原递推式转化为，再使用累乘法〔逐商相乘法〕求解。例〔2004年全国I第15题，原题是填空题〕数列满足，求的通项公式。解：因为①所以②用②式－①式得则；故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。类型4：待定系数法处理或型数列把原递推式转化为转化思路：例，数列解：令，所以即是公比为2的等比数列，=〔〕，或令，是公比为2的等比数列，所以，变式1：数列满足，求数列的通项公式。思路：等式两边同时除于；原递推式变成令，评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，最后再求出数列的通项公式。变式2：数列满足，求数列的通项公式。思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为变式3：数列满足，，求数列的通项公式。思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为变式4：数列满足，求数列的通项公式。思路：：换元，则，再代入原递推式，再转化为类型5递推式求这种类型一般利用导出，消去，得到与的递推式，再利用前面的方法求解出〔知识迁移：〕例，数列前n项和，求：〔1〕，〔2〕通项。解：〔1〕〔2〕由上式：，令，即有，而，，所以，2，公差为2,的等差数列，类型6：求用作商法：数列求和的常用方法然数和公式：；；一、利用等差等比数列的求和公式求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：[例1]，求的前n项和.解：由，由等比数列求和公式得＝＝＝1－〔利用等比数列求和公式〕[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……….②①－②得〔错位相减〕再利用等比数列的求和公式得：∴[例4]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………①………………②-②∴三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5]求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②又因为，①+②得＝89∴S＝44.5题1函数〔1〕证明：；〔2〕求的值.解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得当a＝1时，＝时，＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解〔裂项〕如：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕=5\*GB2⑸[例6]求数列的前n项和.解：设则＝＝[例7]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵∴∴数列{bn}的前n项和＝＝六、分段求和法〔合并法求和〕针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例8]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+