2022年全国甲卷文高考数学试卷真题深度解读及答案详解（精校版）

年高考数学真题完全解读（全国甲卷文）试卷使用地区2022年全国甲卷使用地区为云南、广西、贵州、四川、西藏二、试卷总评1.2022年高考数学甲卷文命题坚持思想性与科学性的统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,设置真实情境,命制具有教育意义的试题,发挥教育功能和引导作用.如第2题以社区环境建设中的“垃圾分类”为背景考查学生的数据分析能力.又如第17题,以长途客车的准点问题为背景命题,关注民生,与实际问题联系紧密.2.该试卷依据课程标准命题,深化基础考查,突出主干知识,创新试题设计,加强教考衔接,发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用.命题贯彻高考内容改革要求,依据高中课程标准,进一步增强考试与教学的衔接.试题的考查内容范围和比例、要求层次与课程标准保持一致,注重考查内容的全面性,同时突出主干、重点内容的考查,引导教学依标施教.试题突出对学科基本概念、基本原理的考查,强调知识之间的内在联系,引导学生形成学科知识系统；注重本原性方法,淡化特殊技巧,强调对通性通法的深入理解和综合运用,促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构.3.该试卷在选择题、填空题、解答题3种题型上都加强了对主干知识的考查,如函数、立体几何、解析几何都占有较大比例.该试卷注重创新试题形式,引导教学注重培养核心素养和数学能力,增强试题开放性,鼓励学生运用创造性、发散性思维分析问题和解决问题,引导教学注重培育学生的创新精神,如第15题设置一个开放型试题,体现了试题的灵活性.4.该试卷加强学科核心素养考查,强化数学思想方法的渗透,深入考查关键能力,优化试题设计,发挥数学科高考的选拔功能,助力提升学生综合素质.通过设置综合性的问题和较为复杂的情境,加强关键能力的考查,该试卷突出思维品质考查,强调独立思考和创新意识.如第21题,考查直线、抛物线、三角函数、不等式的基本性质以及解析几何的基本思想方法,要求学生在复杂的直线与抛物线的位置关系中,能抓住问题的本质,发现解决问题的关键,选择合理的方法.三、考点分布细目表题号命题点模块（题目数）1集合的交集运算集合（共1题）2统计图表的应用概率统计（共3题）3复数的概念复数（共1题）4三视图立体几何（共4题）5三角函数的图象与性质三角函数与解三角形（共3题）6古典概型概率与统计（共3题）7函数图象的识别函数与导数（共4题）8用导数求函数最值函数与导数（共4题）9空间几何体中的线面位置关系立体几何（共4题）10旋转体中的表面积与体积立体几何（共4题）11椭圆1.解析几何（共4题）2.平面向量（共2题）12比较大小1.函数与导数（共4题）2．不等式（共2题）13向量垂直及坐标运算平面向量（共2题）14直线与圆解析几何（共4题）15直线与双曲线解析几何（共4题）16解三角形三角函数与解三角形（共3题）17概率与独立性检验概率统计（共3题）18等差数列数列（共1题）19线面平行与几何体的体积立体几何（共4题）20导数的几何意义函数与导数（共4题）21抛物线1.解析几何（共4题）2.三角函数与解三角形（共3题）3.不等式（共2题）22极坐标与参数方程选修4-4（共1题）23不等式证明选修4-5（共1题）四、试题深度解读1设集合,则（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查集合的交集运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易【答案】A【解析】因为,,所以．故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为方简单不等式的解集、离散的数集（包含方程解集）或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【命题意图】本题考查统计图表的应用,考查数据分析的核心素养.难度：容易【答案】B【解析】讲座前中位数为,所以错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为,讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.故选B.【点评】统计图表在生产与生活中应用非常广泛,前些年是高考热点,沉寂两年之后,又出现在了高考试卷中,注意高考对统计图表的考查不局限于课本中的频率分布直方图、茎叶图,生产与生活中常见的折线图、柱形图、扇形图、雷达图,高考都考查过.【知识链接】1.样本的数字特征(1)众数在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(2)中位数将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(3)平均数样本数据的算术平均数,即．(4)方差：(是样本数据,是样本容量,是样本平均数2.统计图统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形,以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具.其中有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、扇形图图等.其特点是:形象具体、简明生动、通俗易懂、一目了然.其主要用途有:表示现象间的对比关系;揭露总体结构;检查计划的执行情况;揭示现象间的依存关系,反映总体单位的分配情况;说明现象在空间上的分布情况.一般采用直角坐标系.横坐标用来表示事物的组别或自变量x,纵坐标常用来表示事物出现的次数或因变量y,或采用角度坐标(如圆形图)、地理坐标(如地形图)等.3.若．则（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查复数的概念,考查数学抽象与数学运算的核心素养.难度：容易【答案】D【解析】因为,所以,所以．故选D.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.今年复数的考查回避了往年考查的热点：复数的乘除运算,主要考查共轭复数与复数模的概念.【知识链接】1.一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数记作．a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R)．.2.求解复数的概念、运算及复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合已知条件解答．3.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为（）A.8 B.12 C.16 D.20【命题意图】本题考查三视图及几何体的体积,考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易【答案】B【解析】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱的体积.故选B.【点评】有关三视图的试题,大多与几何体的体积、表面积交汇考查,由于新教材删除了三视图,使得老教材高考对三视图考查的频率及难度都有所降低,今年的三视图试题属于送分题,求解时注意该几何体是一个放倒的四棱柱.【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查逻辑推理与直观想象的素养.难度：中等偏易【答案】C【解析】由题意知,曲线为,由关于轴对称,得,解得,又,故当时,的最小值为.故选C.【点评】三角函数与解三角形在高考中的高考规律一般是这样的：若解答题中有解三角形试题,则客观题中一般有一道单独考查三角函数的试题,多为考查三角函数图象与性质的试题,若解答题中没有解三角形试题,则客观题中一般有3道相关试题,分别考查三角变换、三角函数的图象与性质、解三角形,今年对三角变换的考查放在了第21题中.【知识链接】三角函数的极值、零点、对称性是高考热点,下面是一些基本结论为：设,1.若是的极值点,则,或,即；2.若是的零点,则,即；3.若的图象关于直线对称,则,或,即；4.若的图象关于点对称,则,即.6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查古典概型,考查数学建模及数学运算的核心素养.难度：中等偏易【答案】C【解析】从6张卡片中无放回抽取2张,结果有：,共15种,其中数字之积为4的倍数的结果有：,共6种,故所求概率为.故选C.【点评】古典概型是高考高频考点,若作为客观题考查,一般为容易题.【知识链接】利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝eq\f(m,n)求概率.7.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【命题意图】本题考查函数图象的识别,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易【答案】A【解析】解法一：令,则,所以为奇函数,图象关于原点对称,排除BD；又当时,,所以,排除C.故选A.解法二：由时,,所以,排除CD；由时,,所以,排除B,故选A.【点评】函数图象识别题一直是高考中的常客,解此类问题,一般用间接法,即利用函数性质排除不符合条件的选项.【知识链接】函数图象的识别可从以下方面入手1.从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；2.从函数的单调性,判断图象的变化趋势；3.从函数的奇偶性,判断图象的对称性；4.从函数的周期性,判断图象的循环往复；5.从函数的特殊点,排除不合要求的图象．8.当时,函数取得最大值,则（）A. B. C. D.1【命题意图】本题考查导数的应用,考查数学运算的核心素养.难度：中等偏易.【答案】B【解析】因为函数定义域为,所以是的最大值,也是的极大值.所以,,而,所以,即,所以,因此在上递增,在上递减,时取最大值,满足题意,即有．故选B.【点评】往年导数客观题通常考查用导数的几何意义研究曲线的切线,今年考查了函数的最值,但有意控制了难度.【知识链接】函数在其定义域内的闭区间上一定有最大值和最小值,当最值不在端点处取得,则该最值一定是极值,注意在利用导函数值为零求出参数以后,要进行检验.9.在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则（）A. B.AB与平面所成的角为C. D.与平面所成的角为【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【答案】D【解析】如图所示：不妨设,依题以及长方体的结构特征可知,与平面所成角为,与平面所成角为,所以,即,,解得．对于A,,,,A错误；对于B,过作于,易知平面,所以与平面所成角为,因为,所以,B错误；对于C,,,,C错误；对于D,与平面所成角为,,而,所以．D正确．故选D．【点评】往年高考试卷中考查立体几何的试题,一般有1道解答题,2道客观题,客观题中一道考查多面体,一道考查旋转体,今年客观题中出现了3道立体几何题,分别考查三视图、线面位置关系及旋转体的表面积与体积,但这并不意味着立体几何考查的占比会加强,相信以后的试卷依然会遵循一大两小的规律.【知识链接】三类空间角1.求异面直线所成角一般是通过平移把所求角转化为三角形的一个内角,然后通过解三角形求角；步骤可概括为：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补；2.求直线与平面所成角关键是作出角,通过解直角三角形求角,而作出角的关键是确定斜线上一点在平面的垂足,有时垂足不容易确定,可利用等积法转化为求三棱锥的高；3.求二面角的关键是作出求平面角,方法是在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角,也可以用下面的方法作二面角：从一个半平面内的P,向另一个半平面作垂线,垂足为Q,从Q向棱作垂线,垂足为O,则就是二面角的平面角；有时构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线（称为补棱）,然后借助前述的定义法与三垂线法解题.10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和．若,则（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查圆锥的表面积与体积,考查数学运算的核心素养.难度：中等【答案】C【解析】设母线长为,甲圆锥底面圆半径为,乙圆锥底面圆半径为,则,所以,又,则,所以,所以甲圆锥的高,乙圆锥的高,所以.故选C.【点评】往年对旋转体的考查大多与球与几何体的切接有关,今年换成了圆锥侧面积与体积公式的应用,注意本题的计算思路是选一个基本量l,然后把其他基本量都用l表示,最后通过作商约去l,从而求出,其实是基本量思想与方程思想的应用,求解过程没有特殊的技巧,得分全靠“算”,这也说明计算能能力的重要,不少同学在平时的复习时不重视通法与运算能力的培养,眼高手低,导致会做做不对,这是高考数学考不好的一个重要原因.【知识链接】1.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用,圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式为：圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2.旋转体的体积大多直接利用公式求解,圆柱、圆锥、圆台的体积公式为名称几何体体积圆柱V＝S底·h圆锥V＝eq\f(1,3)S底·h圆台V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球V＝eq\f(4,3)πR311.已知椭圆的离心率为,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点．若,则C的方程为（）A. B. C. D.【命题意图】本题考查椭圆的方程,考查数学运算的核心素养.难度：中等【答案】B【解析】因为离心率,解得,,分别为C的左右顶点,则,B为上顶点,所以.所以,因为所以,将代入,解得,故椭圆的方程为.故选B.【点评】解析几何在高考中一般有3到4道试题,若有3道试题,则这3道试题分别涉及椭圆、双曲线、抛物线；若有4道试题,则这3道试题分别涉及直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线.【知识链接】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．12.已知,则（）A. B. C. D.【命题意图】本题考生数式大小的比较,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：难【答案】A【解析】由得,所以,因为,所以,所以,同理,所以,所以,故选A.【点评】比较式子的大小,是近几年高考的热点,求解此类问题关键是观察式子的结构,通过结构的特点或构造函数或作差或放缩,由于没有固定模式,故成为高考的难点.【知识链接】注意本题涉及的一种题型：比较的大小使用的一种方法,根据,把问题转化为比较的大小,再利用比较大小,如比较的大小,由可比较大小.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量．若,则______________．【命题意图】本题考查平面向量的垂直问题及坐标运算,考查数学运算的核心素养.难度：容易【答案】【解析】由题意知,解得.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题属于常规题型,难度与课本练习中的基础题相当,且学生训练比较多,所以此题属于得分题.【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a);|a±b|＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(4)形如的式子,可以按照多项式与多项式相乘的法则展开.14.设点M在直线上,点和均在上,则的方程为______________．【命题意图】本题考查直线与圆,考查数学运算的核心素养.难度：容易【答案】【解析】由点M在直线上,可设M,又因为点和均在上,所以点M到两点的距离相等且为半径R,所以,,解得,∴,,所以的方程为.【点评】本题是常规题型,不难在课本中找出其生长点,解法容易想到,如果失分,大多是因为运算失误.【知识链接】求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说,求圆的方程有两种方法：（1）几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质：=1\*GB3①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；=2\*GB3②圆心在任一弦的中垂线上；=3\*GB3③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线．（2）代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解．大致步骤为：=1\*GB3①根据题意,选择标准方程或一般方程；=2\*GB3②根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；=3\*GB3③解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．15.记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易【答案】2（答案不唯一满足皆可）【解析】C的渐近线方程为,结合渐近线的特点,只需,即,可满足条件“直线与C无公共点”,所以,又因为,所以,故答案为2（满足皆可）解法二：由于只要求写出其中一个的一个值,根据双曲线C的渐近线与C没有公共点,所以令,则.【点评】近两年在填空题中开始出现开放题,此类问题一般答案不唯一,做题时不仅要求答案正确,还要求用最短的时间写出正确答案,所以思路的选择很关键,不同的思路有时所用时间相差比较大.【知识链接】记双曲线1.当时,直线与C没有公共点,当时,直线与C的左右支各有一个公共点；2.当时,直线与C有一个公共点,当时,直线与C的右支有两个公共点,当时,直线与C的左右支各有一个公共点.16.已知中,点D在边BC上,．当取得最小值时,________．【命题意图】本题考查解三角形,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：难【答案】【解析】设,则,则在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,所以,且仅当即时,等号成立,所以当取最小值时,,即.【点评】本试卷4道填空题只有这一道难度较大,其余3道题都是容易题,缺少过渡性的中档题,这种命题思路,能使好成绩的学生脱颖而出,但其他相当一部分学生的分数拉不开距离.另外本题为文理同题,在全国卷甲理文试卷中选择题有6道相同,填空题有1道相同,解答题有4道相同,这一变化趋势是向新高考文理同卷靠近.【知识链接】三角形中多次使用正、余弦定理是图形问题求解时的常用策略,求解时要借助相等角、互补角、相等的线段在几个三角形中分别使用正、余弦定理,列出多个关系式,相加或相减,或解方程组进行求解.特别的,若三角形一个顶点与对边上的一点的连线,把一个三角形分为两个三角形,再解这类三角形时一般是在这两个小三角形中分别使用余弦定理,然后根据两个角互补,建立关系式.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？【命题意图】本题考查概率与独立性检验,考查数据分析与数学建模的核心素养.难度：容易【解析】（1）根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则.A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为.（2）列联表如下：准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=,根据临界值表可知,有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【点评】本题难度相当于课本习题,基本可以说是送分.概率统计解答题注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断,进而做到由样本数据估计总体特征.该类阅读量一般比较大,但难度多为中等,由于概率统计知识点比较多,高考每年考查的知识点不固定,频率分布直方图、折线图、分布列、期望与方差的应用、正态分布、回归分析、独立性检验都曾出现在高考解答题中.【知识链接】构造一个随机变量,其中为样本容量．如果的观测值,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．我们称这样的为一个判断规则的临界值．按照上述规则,把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过．上面这种利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．18.记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列,求的最小值．【命题意图】本题考查等差数列的通项与求和,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易【解析】（1）因为,即①,当时,②,①②得,,即,即,所以,且,所以是公差的等差数列．（2）由（1）可得,,,又,,成等比数列,所以,即,解得,所以,所以,所以,当或时取得最小值．【点评】在高考试卷中若解答题中有数列题,在客观题中一般没有数列题,若解答题中没有数列题,客观题中一般有两道数列题,一道考查等差数列,一道考查等比数列.数列解答题中考查的两大主题是：通项与求和.【知识链接】1.任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0,则a1适合Sn－Sn－1,否则不符合,这在解小题时比较有用．2.等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列．提醒;证明一个数列是等差数列,只能用方法(1)(2)19.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直．（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【命题意图】本题考查平行关系的证明及几何体的体积,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等【解析】如图所示,分别取的中点,连接,因为为全等的正三角形,所以,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,同理可得平面,根据线面垂直的性质定理可知,而,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面．（2）如图所示,分别取中点,由（1）知,且,同理有,,,,由平面知识可知,,,,所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．因为,,点到平面的距离即为点到直线的距离,,所以该几何体的体积．【点评】本题以实际问题为背景,令人耳目一新.高考试卷中立体几何解答题一般有2问,第一问多为线面位置关系的证明,第二问多为长度、面积、体积的计算,在高考中立体几何解答题一般难度不大,属于得分题.【知识链接】求简单几何体的体积一般直接利用公式,求复杂几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别地,对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.20.已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若,求a；（2）求a的取值范围．【命题意图】本题考查导数的几何意义及应用,考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：中等【解析】（1）由题意知,,,,则在点处的切线方程为,即,设该切线与切于点,,则,解得,则,解得.（2）因为,所以在点处的切线方程为,整理得,设该切线与切于点,,则,则切线方程为,整理得,则,整理得,（另法：求出在点处的切线方程后代入解析式，用求解）令,则,令,解得或,令,解得或,则变化时,的变化情况如下表：01000则的值域为,故的取值范围为.【点评】导数的几何意义基本是每年必考问题,只不过往年大多为客观题,今年为解答题,且考查了公切线问题,关于导数的几何意义,在高考中考查比较多的是曲线在某点处的切线（多为基础题）,除此之外还考查过切线条数问题及公切线问题（难度较大）.【知识链接】曲线切线的常见问题1．求函数在某点处的切线的步骤2.求函数过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．3.切线条数问题求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.3.公切线问题研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线,通常是把两方程都化为斜截式,令斜率与截距分别相等.若其中一个函数为二次函数,也可利用求解.4.根据切线满足条件求参数范围或最值处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．21.设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点．当直线MD垂直于x轴时,．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时,求直线AB的方程．【命题意图】本题考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系.考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难【解析】（1）抛物线C的准线为,当与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时,所以,所以抛物线C的方程为；（2）设,直线,由可得,,